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2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七附加题选做部分第3讲坐标系与参数方程课件理_图文

第3讲

坐标系与参数方程

高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)直线、曲线的 极坐标方程;(2)直线、曲线的参数方程;(3)参数方程与普 通方程的互化;(4)极坐标与直角坐标的互化,本内容的考 查要求为B级.

真题感悟
1.(2016· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的 1 ? ?x=1+2t, 参数方程为? (t 为参数),椭圆 C 的参数方程 3 ?y= t , 2 ?
? ?x=cos θ , 为? (θ ? y = 2sin θ ?

为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,

B 两点,求线段 AB 的长.

解 直线 l 的方程化为普通方程为 3x-y- 3=0, y 椭圆 C 的方程化为普通方程为 x + 4 =1,
2 2

1 ? 3x-y- 3=0, ? x ? 2=- , ? ? 7 x = 1 ? 1 联立方程组得? 2 y2 解得? 或? ? 8 3 x + =1, ?y1=0 ? ? ? 4 y2=- 7 , ?
? 1 8 3? ∴A(1,0),B?- ,- ?.故 AB= 7 ? ? 7 ? 1?2 ? 8 3?2 16 ?1+ ? +?0+ ?= . 7 ? 7 ? 7? ?

2.(2015· 江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ -4=0,求圆 C 的半径.

2

? sin? ?θ ?

π? ? -4? ?

解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极 轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ
2

? ? ?

? 2 2 ?-4= sin θ - cos θ 2 2 ?

0,化简,得 ρ2+2ρsin θ -2ρcos θ -4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 6.

考点整合
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极 轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平 面内的任意一点, 它的直角坐标、 极坐标分别为(x,
2 2 2 ρ = x + y , ? ? ?x=ρcos θ ,? ? y)和(ρ,θ ),则? y ? y = ρ sin θ , tan θ =x(x≠0). ? ? ?

2.直线的极坐标方程
若直线过点 M(ρ0,θ 0),且极轴到此直线的角为 α,则它的 方程为:ρsin(θ-α )=ρ sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ= ? ; (2)直线过点 M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:ρcos θ =a; (3)直线过
? π ? M?b, 2 ? ? ? ?且平行于极轴:ρsin ?

θ =b.

3.圆的极坐标方程
若圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆方程为:
2 ρ 2-2ρ0ρ cos(θ-θ0)+ρ2 - r =0. 0

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ ; (3)当圆心位于
? π? M?r,2?,半径为 ? ?

r:ρ=2rsin θ .

4.直线的参数方程
经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 ? 的直线的参数方程为
? ?x=x0+tcos ? , ? (t ? ?y=y0+tsin ?

为参数).

设 P 是直线上的任一点,则 t 表示有向线段P0P的数量. 5.圆的参数方程



圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为
? ?x=x0+rcos θ ? ? ?y=y0+rsin θ

, (θ 为参数,0≤θ ≤2π ).

6.圆锥曲线的参数方程
? ?x=acos θ , x2 y 2 (1)椭圆a2+b2=1 的参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=bsin θ ? ?x=asec θ , x2 y2 (2)双曲线 2- 2=1 的参数方程为? (θ 为参数). a b ? y = b tan θ ?

(3)抛物线

2 ? x = 2 pt , ? 2 y =2px(p>0)的参数方程为? (t ? ?y=2pt

为参数).

热点一 曲线的极坐标方程 [微题型 1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例 1-1】 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为
? π ? C?2, 3 ? ? ? ?,半径 R= 5,求圆 C 的极坐标方程. ? ? π? ? 将圆心 C?2, ? 半径 ?化成直角坐标为(1, 3), 3 ? ?



R= 5,

故圆 C 的方程为(x-1)2+(y- 3)2=5.再将 C 化成极坐标方 程,得(ρcos θ -1)2+(ρsin θ - 3)2=5,化简得 ρ2-
? 4ρcos? ?θ ?

π? ? - 3 ?-1=0.此即为所求的圆 C 的极坐标方程. ?

探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标 时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,

否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程
进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意 转化的等价性.

[微题型 2]

曲线的极坐标方程的应用

【例 1-2】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
? ?x=2cos ? , ? (α ? ?y=2+2sin ?

为参数),M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=



2OM,点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ π = 3 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB.



解 (1)设 P(x,y),则由条件知

?x y? M?2,2?,由于 ? ?

M点

?x ? ?2=2cos α , ?x=4cos α , 在 C1 上,所以? 即? ?y=4+4sin α . ?y =2+2sin α , ? ?2 从而
? ?x=4cos α , C2 的参数方程为? ? ?y=4+4sin α

(α 为参数).

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ ,曲线 C2 的极 π 坐标方程为ρ =8sin θ .射线 θ= 与 C1 的交点 A 的 3 π π 极径为 ρ1=4sin 3 =2 3,射线 θ= 3 与 C2 的交点 B π 的极径为 ρ2=8sin 3 =4 3.所以 AB=|ρ2-ρ1|=2 3.

探究提高 解决这类问题一般有两种思路,一是 将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直

角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐
标方程联立,根据限制条件求出极坐标.要注意题 目所给的限制条件及隐含条件.

【训练 1】 (2016· 全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1
? ?x=acos t, 的参数方程为? (t ? ?y=1+asin t

为参数,a>0).在以坐标原点

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ= 4cos θ . (1)说明 C1 是哪一种曲线, 并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α 0= 2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a.

解 (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2+(y-1)2= a2(a>0),C1 是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将 x=ρcosθ ,y=ρsin θ 代入 C1 的普通方程中,得 到 C1 的极坐标方程为 ρ2-2ρsin θ +1-a2=0.

(2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
2 ? ?ρ -2ρsin θ ? ? ?ρ =4cos θ .

+1-a2=0,

若 ρ≠0,由方程组得 16cos2θ -8sin θ cos θ +1-a2=0, 由已知 tan θ =2,可得 16cos2θ -8sin θ cos θ =0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去),a=1. a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,在 C3 上. 所以 a=1.

热点二

参数方程 参数方程与普通方程的互化

[微题型 1]

【例 2-1】 (2015· 福建卷)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C
? ?x=1+3cos t, 的参数方程为? (t ? ?y=-2+3sin t

为参数).在极坐标系(与平

面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴非负半轴为极轴)中, 直线 l 的方程为 2ρ =m(m∈R). (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.
? sin? ?θ ?

π? ? - ? 4?



(1)消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为

(x-1)2+(y+2)2=9. 由 2ρ
? sin? ?θ ?

π? ? - 4 ?=m,得 ρsin θ -ρcos θ -m=0. ?

所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0.

(2)依题意, 圆心 C 到直线 l 的距离等于 2, |1-(-2)+m| 即 =2, 2 解得 m=-3± 2 2.

探究提高 参数方程化为普通方程:化参数方程为普

通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代
入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消 去法,参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化 为普通方程,不要忘了参数的范围.

[微题型 2]

直线的参数方程

【例 2-2】 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2 ? ?x=3- 2 t, ? (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy ?y= 5+ 2t 2 ? 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B.若点 P 的坐标为(3, 5), 求 PA+PB.



法一

(1)由 ρ=2 5sin θ ,得 x2+y2-2 5y=0,

即 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C
? ? ? ? 的直角坐标方程,得?3- ?

2 ?2 ? + 2 t?

2 ?2 ? =5,即 t2-3 2t+4=0. t 2 ?

由于 Δ=(-3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两
? ?t1+t2=3 实根,所以? ? ?t1·t2=4.

2,

又直线 l 过点 P(3, 5),故由上式及

t 的几何意义得 PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 法二 (1)同法一.

(2)因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普 通方程为:y=-x+3+ 得x
2 2 2 ? x +( y - 5 ) =5, ? 5.由? ? ?y=-x+3+ 5

? ?x=1, -3x+2=0.解得:? ? ?y=2+

5

? ?x=2, 或? ? ?y=1+

5.

不妨设 A(1,2+ 5), B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5). 故 PA+PB= 8+ 2=3 2.

探究提高 过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线参数
? ?x=x0+tcos α, 方程的标准形式为? (t ? ?y=y0+tsin α

为参数),t 的几

何意义是P0P的数量,即|t|表示 P0 到 P 的距离,t 有正 负之分.使用该式时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数 分别为 t1、t2,则 P1P2=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参 1 数为2(t1+t2).



【训练 2】 (2014· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已 ? ?x=1- 知直线 l 的参数方程为? ?y=2+ ? 2 2 t, (t 为参数), 直线 l 2 2t

与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

? ?x=1- 解 将直线 l 的参数方程? ?y=2+ ? y
2

2 2 t, 代入抛物线方程 2 2t

? =4x,得?2+ ?

2 ?2 ? 2? ? =4?1- ?, t t 2 ? 2 ? ?

解得 t1=0,t2=-8 2.所以 AB=|t1-t2|=8 2.


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