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2016学年第二学期浙江省名校协作体高三数学试题及答案


2016 学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三数学
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C p (1-p) (k=0,1,2,…,n)
k n-k

柱体的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

V ?

1 3

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式

k n

台体的体积公式 V=

1 3

h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

V ?

4 3

πR

3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 P ? ? y y ? ( ) x , x ? 0? , Q ? x y ? 1g (2 x ? x 2 ) , 则 P ? Q 为

? ?

1 2

? ?

?

?

( ▲ )

A. ? 0,1?

B. ?

C. ? 0, 2 ?

D. ?0?

2.已知 z ? m2 ?1 ? (m2 ? 3m ? 2)i ( m ? R, i 为虚数单位) ,则“ m ? ?1 ”是“ z 为纯虚数”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ▲ ) B. m ? ? , n / / ? 且 ? ? ? , 则m ? n D. m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? , 则m ? n

3.已知直线 m 、 n 与平面 ? , ? , 下列命题正确的是 A. m / /? , n / / ? 且 ? / / ? , 则m / / n C. ? ? ? ? m, m ? n 且 ? ? ? , 则n ? ? 4.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?

? 个单位长度 6

) 的图象,可以将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象 3 6
B.向右平移
第1页 共4页

?

( ▲ )

? 个单位长度 6

高三数学

C.向左平移

? 个单位长度 12

D.向右平移

? 个单位长度 12

?x ? y ? 1 ? 5.已知点 ( x, y ) 满足 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的范围为 ?2 x ? y ? 2 ?
( ▲ ) A. (?1,2) B. (?4,2) C. (?2,1) D. (?2,4) ( ▲ )

6.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 交于 E , F 两点,则 ?ECF 的面积为

A.

3 2

B. 2 5

C.

3 5 5

D.

3 4

7.设函数 f ( x) ? 2x ?1 ,若不等式 f ( x) ?

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,则 x 的取值集合是 ( ▲ ) D. (??, ?2] ? [1, ??)

A. (??, ?1] ? [3, ??)

B. (??, ?1] ? [2, ??)

C. (??, ?3] ? [1, ??)

8.已知平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD, CD ? AD ,且 AB ? 1, AD ? CD ? 2 . ADEF 是正方形,在正 方形 ADEF 内部有一点 M ,满足 MB, MC 与平面 ADEF 所成的角相等,则点 M 的轨迹长度为( ▲ )

4 8 ? D. ? 3 9 ???? ???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? 9.在平面内, AB1 ? AB2 ,| OB1 |? 3,| OB2 |? 4, AP ? AB1 ? AB2 ,若 1 ?| OP |? 2, 则 | OA | 的取值范围是
A. B. C. ( ▲ ) A. (2 3, 17) B. ( 17, 21) C. ( 17, 2 6)
2015

4 3

16 3

D. ( 21, 2 6)

10.若集合 A ? (m, n) ( m ? 1) ? ( m ? 2) ? ? ? ( m ? n) ? 10 是

?

, m ? N , n ? N * ? ,则集合 A 中的元素个数
( ▲ ) D.2019

B.2017 C.2018 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、 填空题: 本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 11.已知 x ? 0, y ? 0 , lg 2 ? lg8 ? lg 2 ,则 xy 的最大值是
x y
3

A.2016



.
3 正视图

x
1 1 侧视图

12. 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 3 cm , 则正视图中的 x 的值是 ▲

cm ,该几何体的表面积是



cm .

2

13 . 设 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 对 任 意 的 正 整 数 n , 均 有

Sn?3 ? 8Sn ? 3 ,则 a1 ?



,公比 q ?



.

俯视图

14.在 ?ABC 中,角 A, B, C 分别对应边 a, b, c , S 为 ?ABC 的面积.已知 a ? 4 ,b ? 5 ,C ? 2 A ,则 c ?
高三数学 第2页 共4页

▲ ,S ? ▲ . 15.一个口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个,现从中任意取出 3 个小球, 其中恰有 2 个小球同颜色的概率是 ▲ .若取到红球得 1 分,取到黄球得 2 分,取到绿球得 3 分,记 变量 ? 为取出的三个小球得分之和,则 ? 的期望为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线交两渐近线于 A, B 两 a 2 b2 uu u r uur uu u r 4 点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若 OP ? ?OA ? ?OB , ?? ? ??, ? ? R ? , 25 则双 曲线的离心率 e 的值是 ▲ .
16.设双曲线 17.设函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 15 ? 2a 的两个零点分别为 x1 , x2 ,且在区间 ( x1 , x2 ) 上恰好有两个正整数, 则实数 a 的取值范围 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)已知 0 ? ? ? ? ,函数 f ( x) ? (Ⅰ)若 ? ?

3 cos(2 x ? ? ) ? sin 2 x . 2

?
6

,求 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f ( x ) 的最大值是

3 ,求 ? 的值. 2

19 . ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D为 梯 形 , AD // BC ,

AB ? BC ? CD ? 1 , DA ? 2 , DP ? 平面 ABP , O, M 分别是 AD, PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PD // 平面 OCM ; (Ⅱ)若 AP 与平面 PBD 所成的角为 60 ,求线段 PB 的长.
o

20. (本小题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

2 ? a ln x . x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上递减, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的最小值 g (a ) 的最大值; (Ⅲ)设 h( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x , x ?[1, ??) ,求证: h( x) ? 2 .

21. (本小题满分 15 分)已知椭圆 C : 点分别为 F1、F2 ,离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

1 ,直线 y ? 1 与 C 的两个交点间的距离为 2
高三数学 第3页 共4页

4 6 . 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 分别过 F1、F2 作 l1、l2 满足 l1//l2 , 设 l1、l2 与 C 的上半部分分别交于 A、B 两点, 求四边形 ABF2 F 1 面积的最大值.

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求方程 f ( x) ? x ? 0 的实数解;

4 . 4 x ? 15

(Ⅱ)如果数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ( n ? N ) ,是否存在实数 c ,使得 a2n ? c ? a2n?1 对所有
?

的 n ? N 都成立?证明你的结论. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,证明:

?

1 Sn ? ? 1. 4 n

命题:嘉兴一中

湖州中学(审校)

审核:舟山中学

高三数学

第4页

共4页

2016 学年第二学期浙江省名校协作体参考答案 高三年级数学学科
一.选择题(共 40 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 B 7 B 8 C 9 D 10 A

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 11. 15.

1 12

12. 2, 16.

5 3?3 7 ?4 2

13.

3 ,2 7

14.6;

15 7 4

3 ,6 5

5 4

17. (

31 19 , ] 10 6

三.解答题(共 74 分,其中第 18 题 14 分,第 19-22 题每题 15 分) 18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题意

1 3 1 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 4 4 2
?

………… 3 分

1 ? 1 cos(2 x ? ) ? ………… 5 分 2 3 2 ? 2? ? ? x ? k? ? . 由 2k? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ,得 k? ? 3 3 6 2? ? , k? ? ] , k ? Z . ………… 8 分 所以单调 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? 3 6
(Ⅱ)由题意

f ( x) ? (

3 1 3 1 cos ? ? ) cos 2 x ? sin ? sin 2 x ? , ………… 10 分 2 2 2 2
3 ,即 2
………… 12 分

由于函数 f ( x ) 的最大值为

(

3 1 3 cos ? ? )2 ? ( sin ? ) 2 ? 1 , 2 2 2

从而 cos ? ? 0 ,又 0 ? ? ? ? ,故

??

?
2



………… 14 分

19.(本小题满分 15 分)

高三数学

第5页

共4页

解: (Ⅰ)连接 BD 交 OC 与 N ,连接 MN . 因为 O 为 AD 的中点, AD ? 2 , 所以 OA ? OD ? 1 ? BC . 又因为 AD // BC , 所以四边形 OBCD 为平行四边形, 所以 N 为 BD 的中点,因为 M 为 PB 的中点, 所以 MN // PD . 又因为 MN ? 平面OCM , PD ? 平面OCM , 所以 PD // 平面 OCM . (Ⅱ)由四边形 OBCD 为平行四边形,知 OB ? CD ? 1 , 所以 ?AOB 为等边三角形,所以 ?A ? 60 ,
o

………… 2 分 ………… 4 分

………… 6 分

………… 8 分

所以 BD ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ? 3 ,即 AB2 ? BD2 ? AD2 ,即 AB ? BD . 2
………… 11 分
o

因为 DP ? 平面 ABP ,所以 AB ? PD . 又因为 BD I PD ? D ,所以 AB ? 平面 BDP , 所以 ?APB 为 AP 与平面 PBD 所成的角,即 ?APB ? 60 , 所以 PB ?

………… 13 分

3 . 3

………… 15 分

20. (本小题满分 15 分) (Ⅰ) 函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上递减 ? ?x ? (0, 2) , 恒有 f ?( x) ? 0 成立, 而 f ?( x) ? 而

ax ? 2 2 ? 0 ? ?x ? (0, 2) ,恒有 a ? 成立, 2 x x
……4 分

2 ? 1 , 则 a ? 1 满足条件. x

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ?( x) ?

ax ? 2 2 ?0? x? 2 x a 2 (0, ) a
- ↘

x
f ?( x ) f ( x)

2 a
0 极小值

2 ( , ??) a
+ ↗

高三数学

第6页

共4页

2 2 f ( x) 的最小值 g (a) = f ( ) ? a ? a ln a a

……7 分

g ?(a) ? ln 2 ? ln a ? 0 ? a ? 2

a
g ?( a ) g ( x) g (a) 的最大值为 g (2) ? 2

(0, 2)
+ ↗

2
0 极大值

(2, ??)
- ↘ ……9 分

(Ⅲ) 当 a ? 2 时, h( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ?

2 ? a ln x ? (a ? 2) x x

h?( x) ?

ax ? 2 ?a?2?0 x2

所以 h( x) 在 [1, ??) 上是增函数,故 h( x) ? h(1) ? a ? 2

2 ? a ln x ? (a ? 2) x x ax ? 2 (( 2 ? a) x ? 2)( x ? 1) h?( x) ? ?a?2? ?0 2 x x2 2 ? 0 或 x ? 1 , h( x) ? h(1) ? 4 ? a ? 2 解得 x ? ? 2?a
当 a ? 2 时, h( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ? 综上所述: h( x) ? 2 ……15 分

21.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)易知椭圆过点 ( 又

8 1 2 6 ,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 , 3a b 3



………… 2 分 ………… 3 分 ………… 4 分

c 1 ? , a 2

② ③

a 2 ? b2 ? c 2 ,

2 2 ①②③得 a ? 4 , b ? 3 ,

所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………… 6 分

(Ⅱ)设直线 l1 : x ? my ?1 ,它与 C 的另一个交点为 D . 与 C 联立,消去 x ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,
2 2

………… 7 分

高三数学

第7页

共4页

? ? 144(m2 ? 1) ? 0 .
12 1 ? m2 , AD ? 1 ? m ? 3m2 ? 4
2

………… 9 分

又 F2 到 l1 的距离为 d ?

2 1 ? m2



………… 10 分

所以 S?ADF2 ? 12

1 ? m2 . 3m2 ? 4
12

………… 11 分

令 t ? 1 ? m2 ? 1,则 S?ADF ? 2

又 S四边形ABF2 F1

,所以当 t ? 1 时,最大值为 3. ………… 14 分 1 3t ? t 1 1 1 ? ( BF2 ? AF1 ) ? d ? ( AF1 ? DF1 ) ? d ? AB ? d ? S ?ADF2 2 2 2 ………… 15 分

所以四边形 ABF2 F 1 面积的最大值为 3. 22.(本小题满分 15 分)

4 1 ? x ? x ? ?4或x ? ; 4x ? 15 4 1 1 (Ⅱ)存在 c ? 使得 a2 n ? ? a2 n ?1 . 4 4 4 4 证法 1 :因为 f ( x) ? ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) 单调递减,所以 0 ? f (x ) ? .因为 a1 ? 1 ,所以由 4 x ? 15 15
解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 0 ?

an ?1 ?

4 4 76 1 得 a2 ? , a3 ? 且 0 ? an ? 1 .下面用数学归纳法证明 0 ? a2 n ? ? a2 n?1 ? 1 . 4an ? 15 19 301 4

4 1 ? ? a1 ? 1 ? 1 ,所以当 n ? 1 时结论成立. 19 4 4 1 假设当 n ? k 时结论成立,即 0 ? a2 k ? ? a 2k ? 1 ? 1 .由于 f ( x) ? 为 (0,1] 上的减函数,所以 4 x ? 15 4 1 4 1 4 f (0) ? f (a2k ) ? f ( ) ? f (a2k ?1 ) ? f (1) ,从而 ? a2k ?1 ? ? a2k ? , 4 15 4 19 4 1 4 因此 f ( ) ? f (a2k ?1 ) ? f ( ) ? f (a2k ) ? f ( ) , 15 4 19 4 1 4 即 0 ? f ( ) ? a2k ? 2 ? ? a2 k ?1 ? f ( ) ? 1 . 15 4 19 1 综上所述,对一切 n ? N * , 0 ? a2 n ? ? a2 n?1 ? 1 都成立, 4 1 1 即存在 c ? 使得 a2 n ? ? a2 n ?1 . ……10 分 4 4
因为 0 ? a2 ?

高三数学

第8页

共4页

4 1 1 1 1 ? a1 ? an ? 4 a ? 15 4 1 4? 3 4 ? n ?1 4 ,且 ?? 证法 2: 4 a1 ? 4 20 an ?1 ? 4 4 an ? 4 ?4 4an ?1 ? 15 an ?1 ?

1? ? a ? n ? 4 ? 是以 3 为首项, ? 1 为公比的等比数列. ? ? 20 4 ? an ? 4 ? ? ?
1 n ?1 3 ? 1? 4 ? ?? ? ? . 所以 an ? 4 20 ? 4 ? an ?
易知 an ? 0 ,所以当 n 为奇数时, an ? 即存在 c ?

1 1 ;当 n 为偶数时, an ? 4 4

1 1 ,使得 a2 n ? ? a2 n ?1 . 4 4
4 1 ? a2n ? ? a2n?1 ? 1 ,从而 a1 ? a2 ? ? ? an ? n . 19 4

(Ⅲ)证明:由(2) ,我们有 设 bn ? an ?

bn ?1 4 1 1 1 1 ? ? ? . ,则由 an ?1 ? 得 4an ? 15 bn 4(bn ? 1) 4an ? 3 3 4

3 3 3 由于 b1 ? , b2 ? ? , b3 ? , 4 76 1204
因此 n=1,2,3 时, b1 ? b2 ? ? ? bn ? 0 成立,左边不等式均成立.

3 ? b2 3 3 76 当 n>3 时,有 b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? b3 ? ? ? ? ? 0, 1 2 4 1204 1 2 1? ( ) 1? ( ) 3 3
因此 a1 ? a2 ? ? ? an ? n . 从而 n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? n .即

1 4

1 4

1 Sn ? ?1. 4 n

……15 分

解法 2: 由(Ⅱ)可知 0 ? an ? 1 ,所以 bn ? an ?

1 1 3 ? (? , ] 4 4 4

bn?1 ? an?1 ?

?bn b 1 4 ?1 ? ? ? (?1,0) ,所以 n ?1 ? 4 4an ? 15 4bn ? 16 bn 4bn ? 16

所以 b2n?1 ? b2n ? 0 所以当 n 为偶数时, b1 ? b2 ? L ? bn ? 0 ;所以当 n 为奇数时, (b1 ? b2 ? L ? bn?1 ) ? bn ? 0 即 Sn ?

1 n ? 0 .(其他解法酌情给分) 4
高三数学 第9页 共4页

高三数学

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