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2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习:第二章1 从平面向量到空间向量 2 Wo

[A.基础达标] 1.下列说法正确的是( ) A.如果两个向量不相等,那么它们的长度不相等 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C.向量模的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 解析:选 D.两个向量不相等,但它们的长度可能相等,A 不正确.任何两个向量,不 论同向还是不同向均不存在大小关系,B 不正确.向量模的大小只与其长度有关,与方向没 有关系,故 C 不正确.由于向量的模是一个实数,故可以比较大小,只有 D 正确. → → 2.如图,在四棱柱的上底面 ABCD 中,AB=DC,则下列向量相等的是( ) → → A.AD与CB → → B.OA与OC → → C.AC与DB → → D.DO与OB → → 解析:选 D.因为AB=DC,所以四边形 ABCD 为平行四边形.所 → → → → → → 以DO=OB,AD=BC,OA=CO. → → → → 3.在四边形 ABCD 中,若AB=DC,且|AC|=|BD|,则四边形 ABCD 为( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 → → 解析:选 B.若AB=DC,则 AB=DC,且 AB∥DC,所以四边形 ABCD 为平行四边形. → → 又|AC|=|BD|,即 AC=BD, 所以四边形 ABCD 为矩形. 4.下列有关平面法向量的说法中,不正确的是( ) A.平面 α 的法向量垂直于与平面 α 平行的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果 a,b 与平面 α 平行,则 a∥b 解析:选 D.依据平面向量的概念可知 A,B,C 都是正确的.由立体几何知识可得 a,b 不一定平行. → → 5.在正四面体 A-BCD 中,如图, 〈AB,DA〉等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120° → 解析: 选 D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点, 故应把向量DA的 → → 起点平移到 A 点处,再求夹角得〈AB,DA〉=120°,故选 D. → 6.在正四面体 A-BCD 中,O 为平面 BCD 的中心,连接 AO,则AO是平面 BCD 的一个 ________向量. → 解析:由于 A-BCD 是正四面体,易知 AO⊥平面 BCD,所以OA是平面 BCD 的一个法 向量. 答案:法 → → → → → → 7.如图在平行六面体 AG 中, ①AH与BG; ②AG与EG; ③BH与DF; → → ④AC与HF,四对向量中不是共线向量的序号为________. → → 解析:因为AH=BG, → → 所以AH与BG共线,其他三对均不共线. 答案:②③④ 8. 如图,棱长都相等的平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 → → → → ∠A1AB=60°,则〈AA1,CC1〉=________; 〈AB,C1D1〉=______; → → 〈BA,DD1〉=________. → → 解析:在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,AA1∥CC1,且方向相 → → 同, 所以 〈AA1, CC1〉 =0°; 因为 AB∥CD, CD∥C1D1, 所以 AB∥C1D1, → → → → → → → → 所以AB∥C1D1,但方向相反,所以〈AB,C1D1〉=180°;因为AA1=DD1,所以〈BA,DD1〉 → → =〈BA,AA1〉=180°-∠A1AB=120°. 答案:0° 180° 120° 9.如图所示是棱长为 1 的正三棱柱 ABC-A1B1C1. (1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,写出 → 与向量AB相等的向量; (2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,写出 → 向量AC的相反向量; → (3)若 E 是 BB1 的中点,写出与向量AE平行的向量. → → 解:(1)由正三棱柱的结构特征知与AB相等的向量只有向量A1B1. → → → (2)向量AC的相反向量为CA,C1A1. → → → → (3)取 AA1 的中点 F,连接 B1F(图略),则B1F,FB1,EA都是与AE平行的向量. 10.如图,在三棱锥 SABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形,∠BAC=90°, → O 是 BC 的中点,证明:SO是平面 ABC 的一个法向量. 证明:由题意知,侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形, 故设 SA=SB=SC=a, 因为 O 是 BC 的中点,SB=SC,所以 SO⊥BC. 2 因为∠BAC=90°,AB=AC=a,AO⊥BC,所以 AO= a. 2 2 又 SO= a,SA=a,所以△ASO 是等腰直角三角形, 2 即 SO⊥OA. 又 OA∩BC=O,所以 SO⊥平面 ABC, → 所以SO是平面 ABC 的一个法向量. [B.能力提升] 1.空间两向量 a,b 互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是( A.a=b ) B.|a|=-|b| C.a 与 b 方向相同 D.|a|=3 解析:选 D.a 与 b 互为相反向量,即 a 与 b 方向相反且|a|=|b|. 2.在直三棱柱 ABCA′B′C′中,已知 AB=5,AC=3,BC=4,CC′=4,则以三棱柱的 顶点为向量的起点和终点的向量中模为 5 的向量的个数为( ) A.2 B.4 C.8 D.10 → → → → 解析:选 C.向量AB,A′B′,AC′,CA′及它们的相反向量的模都等于 5,共有 8 个. 3.如图,三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°,PA=AC, → → → → → → 则在向量AB,BC,CA,PA,PB,PC中,夹角为 90°的共有________对. 解析: 因为 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥AB, PA⊥AC, PA⊥BC, 平面 PAB⊥ 平面 ABC. 又平面 PAB∩平面 ABC=AB,BC⊥AB,所

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