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创新,实验班,数学试题


创新实验班招生数学模拟试题

7. 设 a、b、c 均为正数,若 c(b+a)<b(a+c)<a(c+b),则 a、b、c 三个数的大小关系是( ) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 8. 矩形纸片 ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使 A 与 C 重合, 设折痕为 EF,则重叠部分△AEF 的面积等于( ).

一.选择题:(每小题 4 分,共 40 分) 1.已知 且 ,则 的最小值为 ( ) A. 9.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m 的值是( A. 2 方程 ( ) B. 3 C. 的整数解 D.13 的解的个数 A.164 10.抛物线 取值范围是 B.158 与直线 , C.168. , , D.154 围成的正方形有公共点,则实数 a 的 ( ) )

A .0 B. 1 C. 3 D. 无穷多 3.已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头 方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置 时,则这个圆共转了( ) A、6 圈 B、6.5 圈 C、7 圈 D、8 圈 4.口袋中有 20 个球,其中白球 9 个,红球 5 个,黑球 6 个.现从中任取 10 个球,使得白球不少 于 2 个但不多于 8 个,红球不少于 2 个,黑球不多于 3 个,那么上述取法的种数是 A.14 B.16 C.18 D.20 5. 如图是一个切去了一个角的正方体纸盒,切面与棱的交点 A,B,C 均是棱的中点, 现将纸盒剪开展成平面,则展开图不可能是( ) ( ).

A、

B、

C、

D、

二.填空题:(每小题 4 分,共 40 分)

11. 若 12. 方 程

,则

_________. 的较大根为 ,方程 。

的较小根为 ,则 A. B. C. D.

k 13. 如图, A、B 是双曲线 k>0上的点, A、B 两点的横坐标分别是 a、2a, 线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C,若 S△AOC=6.则 k= 14. 如图,正方形 ABCD 和正方形 CGEF 的边长分别是 2 和 3,且点 B,C,G 在同一直线上,M 是线段 AE 的中点,连结 .

6. 如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm,若要在该纸片中剪下两个 外切的圆⊙O1 和⊙O2,要求⊙O1 和⊙O2 的圆心均在对角线 BD 上,且⊙O1 和⊙O2 分别与 BC、AD 相切,则 O1O2 的长为( ) A. cm B. cm C. cm D.2cm

MF,则 MF 的长为



15. 如图,∠XOY=45°,一把直角三角尺△ABC 的两 顶点 A、B 分别在 OX,OY 上移动,其中 AB=10,那么点 O 到顶点 离的最大值为 _____ . A 的距 22. 六个面分别标有 1,1,x2+1,x,x+1,2x-1 的小正方体的表面展开图如图所示, (1)是否存在 x,使得正方体相对的两面上数字相等,若存在,求出这样的 x;若不存在,请说 明理由; (2)若六个面上的 6 个数之和为 15,且 x 为正数,求出满足条件的 x; (3)掷这个正方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某点的横坐标,朝下一面的数位 该点的纵坐标,按照这样的规定,每抛一次该小正方体,就得到平面内一个点的坐标,求在(2) 的条件下抛一次正方体所得的点恰在直线 y=2x-1 上的概率.

16. 已知实数 x, y 满足方程组

, 则 x +y = _________ . ,那么另一组数据 2x1– 1, .

2

2

17. 已知一组数据 x1,x2,x3,…,xn 的平均数是 ,方差是 2x2 – 1,2x3– 1,…,2xn– 1 的平均数是 ,方差是

18. 将一张矩形纸片 ABCD 沿 CE 折叠,B 点恰好落在 AD 边上,设此点为 F, 若 AB:BC=4:5,则 19. 仔细阅读以下内容解决问题: 偏微分方程,对于多个变量的求最值问题相当有用,以 2001 年全国联赛第二 试第一题为例给同学们作一介绍,问题建立数学模型后实际上是求: y=5a +6ab+3b ﹣30a﹣20b+46 的最小值,先介绍求导公式,(x )′=nx ,a′=0(a 为常数), 当 ya′=10a+6b﹣30=0,yb′=6a+6b﹣20=0 时,可取得最小值(ya′的意思是关于 a 求导,把 b 看作 常数,(5a )′=10a,(6ab)′=6b,(3a ﹣20b+46)′=0).解方程,得 a= ,b= ,代入可得 y= ,即是最小值.同学们:以上内容很有挑战性,确保读懂后请解答下面问题:运用阅读材料 2 2 中的知识求 s=4x +2y +4xy﹣12x﹣8y+17 的最小值 _________ .
2 2 2 2 n n﹣1

的值是__________.

23.如图 1,A,B,C 三个容积相同的容器之间有阀门连接,从某一时刻开始,打开 A 容器阀门, 以 4 升/分的速度向 B 容器内注水 5 分钟,然后关闭,接着打开 B 容器阀门,以 10 升/分的速度 向 C 容器内注水 5 分钟, 然后关闭. 设 A,B, C 三个容器内的水量分别为 ya, yb,yc(单位: 升), 时间为 t (单位: 分) . 开始时, B 容器内有水 50 升, yayc 与 t 的函数图象如图 2 所示, 请在 0≤t≤10 的范围内解答下列问题: (1)求 t=3 时,yb 的值. (2)求 yb 与 t 的函数关系式,并在图 2 中画出其函数图象. (3)求 ya:yb:yc=2:3:4 时 t 的值.

20. 已知关于 的不等式组 三.解答题:(每小题 10 分,共 70 分)

无解,则 的取值范围是

____ 。

21. .整数 a 使得关于 x,y 的方程组 个实数 b 总有实数解,求整数 a 的值.

对于每



26.如图,已知点 24. 首先,我们看两个问题的解答: 点 关于 的最小值. (2)求以 问题 1 解答: 对于 x>0, 我们有: ≥ .当 ,即 时,

(-2,0)

(-4,0),过点

的⊙

与直线

相切于点 ( 在第二象限),

轴的对称点是 A1,直线 AA1 与 轴相交点

(1)求证:点 A1 在直线 MB 上 问题 1:已知 x>0,求 的最小值.问题 2:已知 t>2,求 为顶点且过 的抛物线的解析式; 相切

(3)设过点 A1 且平行于 轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为 ,当⊙ 与⊙ 时,求⊙ 的半径和切点坐标

上述不等式取等号,所以

的最小值

.问题 2 解答:令 x=t﹣2,则 t=x+2,于是

.由问题 1 的解答知,

的最小



,所以

的最小值是

.弄清上述问题及解答方法之后,解答下述问题:

在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b(k>0,b>0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 点,且使得△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3. (1)用 b 表示 k; (2)求△AOB 面积的最小值.

27.在平面直角坐标系中,已知点 A、B、C 的坐标分别为(﹣1,0),(5,0),(0,2). (1)求过 A、B、C 三点的抛物线解析式; (2)若点 P 从 A 点出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点移动,连接 PC 并延长 到点 E,使 CE=PC,将线段 PE 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PF,连接 FB.若点 P 运动的时间为 t 秒,(0≤t≤6)设△PBF 的面积为 S; ①求 S 与 t 的函数关系式; ②当 t 是多少时,△PBF 的面积最 大,最大面积是多少? (3)点 P 在移动的过程中,△PBF 能否成为直角三角形?若能,直接 写出点 F 的坐标;若不能,请说明理由.

25. 如图,AB 是半圆 O 的直径,∠BAC=30°,BC 为半圆的切线,且 BC= AC 的距离是多少?

,则圆心 O 到


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