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苏教版:1.3.3三角函数y=Asin(ωx+Φ)图象_图文

§1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象

导学导思:
学生自学课本34页 完成40页第4、5题

复习:
以前学习的图像平移规律是什么?

左加右减、上加下减

π 例1.画出 y=sin(x+ ) 3

和 y=sin(x -

π ) 的简图(用图象变换法). 4 Y=sin(x+π ) 的图象 3 Y=sin(x- π ) Y=sinx 4
2?

Y=sinx的图象 向左平移π/3个单位长度 y 1
?o ?
3
4
? 2

Y=sin(x+π ) 3

?

3? 2

x

-1 Y=sinx的图象 向右平移π/4个单位长度 Y=sin(x- π ) 的图象 4

结论:
一般地,函数y=sin(x+φ)的图象 可以看做是将函数y=sinx的图象上所 有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0) 平移|φ|个单位长度而得到. (简记为:左加右减)

注意:
初相φ 引起图象的左右平移,它改变图 象的位置,不改变图象的形状.

例2.作y=2sinx, y=
x 想一想? sin x

1 sinx 的简图,并与y=sinx的图象进行比较 2

0 0

?

2 1

? 0

3?

?1

2

2? 0

2 sin x

0
0

2
1 2

0
0

?2
1 ? 2

0
0

三者 之间 有什 么联 系?

1 sin x 2

y 2 1 o π 6 -1 -2
? 2

y=2sinx
y=sinx

y= 1 sinx 2

?

3? 2

2?

x

上述变换可简记为:
各点的纵坐标变为原来的2倍

y=sinx的图象

y=2sinx的图象

(横坐标不变)

各点的纵坐标变为原来的1/2倍 y=sinx的图象 y= 1 sinx的图象 2 (横坐标不变)

结论: 一般地,函数y=Asinx (其中A>0且A≠1) 的图象 可以看做是将y=sinx的图象上所有点的纵坐标变 为原来的A倍(横坐标不变)而得到.

注意: 振幅A引起图象的纵向伸缩,它决定函数 的最大(最小)值。

1 x的简图,并与y=sinx的图象比较。 2 2? 解:先作函数y=sin2x的图象。 其周期T=_____________ ω =π

例3.画出y=sin2x ,y=sin

x

0

?

2x

0

?
0

4

?

2

3?

2

?
0

3?

4

?

2

2?

sin 2 x
y

1

?1

0

想一想?
Y=sin2x Y=sin0.5x Y=sinx
?
2

1
-π

o -1

?

3? 2

2?



4?

三者 之间 x 有什 么联 系?

上述变换可简记为:
Y=sinx的图象
各点的横坐标变为原来的1/2倍 (纵坐标不变) 各点的横坐标变为原来的2倍 (纵坐标不变)

y=sin2x的图象

Y=sinx的图象

y=sin 1 x的图象 2

结论: 函数y=sinωx (其中ω>0且ω≠1) 的图象,可 以看做是将y=sinx图象上所有点的横坐标变为原 来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到.

注意:
ω决定函数的周期T=2π/ω, 它引起图像的横向伸缩。

例4.用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图. ? ? ? 7? 解:
x ?
2x ?

?
3

6

0

?

12
2

3

12
3? 2

5? 6
2?

?

3sin(2x+π/3) y 3 2

0

3

0

-3

0

y=3sin(2x+ π/3)

1
?
?

?
3

?

oπ 6 12 -1
?

?
2

?

3? 2

2?

x

-2 -3

用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩): y=sinx的图象向左平移π /3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象 第1步: 第2步:y=sin(x+π/3)的图象
横坐标变为原来的1/2倍 y=sin(2x+ π/3)的图象 (纵坐标不变) 纵坐标变为原来的3倍

y=3sin(2x+ π/3)的图象 第3步: y=sin(2x+ π/3)的图象 (横坐标不变) y 3 y=3sin(2x+ π/3) 2 y=sin(x+π/3)
?
?

1
?

y=sinx o
?
2

?
3

?
6

?

3? 2

2?

x

-1 -2 -3

y=sin(2x+ π/3)

变换法作Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤: 左 右 ①把y=sinx的图象向___ (φ>0时)或向___(φ<0时) 平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象. 1/ω ②把所得图象各点的横坐标变为原来的______倍 (纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的图象. A ③再把所得图象各点的纵坐标变为原来的_____倍 (横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) 的图象.

先平移,后伸缩

1 ? 如何由y ? sin x的图象得到y=3sin( x- )的图象 2 4
解:
向右平移π /4个单位长度 第1步: y=sinx 的图象 y=sin(x - ? ) 的图象
4

课堂练习:

各点的横坐标变为原来的2倍 第2步: y=sin(x -? )的图象 y=sin( 1 x -? )的图象 2 4 4 (纵坐标不变)

各点的纵坐标变为原来的3倍 1 x - ? )的图象 1 x -? )的图 第3步: y=sin( y=3sin( 2 4 2 4 象 (横坐标不变)

1 ? 如何由y ? sin x的图象得到y=3sin( x- )的图象 2 4
解法二:
第1步: y=sinx 的图象 横坐标变为原来的2倍, (纵坐标不变) 第2步: y=sin0.5x 的图象 单位长度 的图象 向右平移π /2个 y=sin0.5x的图象
? 4

y=sin(0.5x -

)

1 x - ? )的图象纵坐标变为原来的3倍, y=3sin( 1 x - ? ) 第3步: y=sin( 2 4 4 (横坐标不变) 2 的图象

1 不变,横坐标变为原来的______,得 2

由 y ? cos x 的图像经纵坐标

y ? cos 2 x 右 到____________的图像,再向_____平 ? ? 移___个单位,可得到 y ? cos(2 x ? ) 的 24 12 图象

已知函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0, x?R) 在一个 周期内的图象如图所示。 y
求函数 f(x) 的解析式.
-?
2 2 5? 2 7? 2

o

?
2

3? 2

x

答案:y=2sin(

? 1 2 x+ 4

).

函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0,?>0)的一个周期内的图 象如图,则有( )
(A) y ? 3 sin(x ? (B) y ? 3 sin(x ?

?
6

) ) ) )

?
3

(C) y ? 3 sin(2 x ? (D) y ? 3 sin(2 x ?

?
6

?
3

小结:
1、作函数y=Asin(?x+?) 的图象: (1)用“五点法”作图。

(2)利用变换关系作图。 2、函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(?x+?) 的图象间的变换关系。
3、给出函数 y=Asin(?x+?)的部分图象求解析式 (1)由振幅定A (2)由周期定? (3)由特殊点定?

4、函数 y=Acos(?x+?) 的相关问题同样处理。

思考题: ? 左 由函数 y ? cos(3x ? )向_____平
12 移______个单位可得到 y ? sin(?3x )

?

4

的图像
分析 : cos(3x ?

?

) ? sin( ? 3x ) ? sin[?3( x ? )] 4 4 12

?

?


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