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数列不等式证明中的三种常用方法_论文

0  思 路 方 法   列不 等式证明中的三种常用 方   ■ 杨益 旺  数 列不等式 的证明是高中数学教学 的重点和难  点, 也是历年高考考查 的热点 , 并且多 以试卷压轴题  的形式 出现 。证 明此类不等式有许 多带有技巧性 的  方法 , 本文仅从一例分析 , 介绍几种常见 的数列不等  式 的证 明方 法 。   题 目: 设数列 { %} 的前几项 和为J S   , 满足2 S   = n  一   2  + 1 , 且n   , a 2 + 5 , 0 , 3 成等差数列 。 (I) 求口   的值 ; ( Ⅱ)   求数列 {   的通项公式 ; ( Ⅲ) 证明: 对一切 正数n , 有  1   — — 1   — — <——  3   a n   2   方法二 : 适当放缩后裂项求和  证明: n = 2 时, 3 2 - 2 a > 2 x 2 x ( 2 - 1 ) 成立  当n ≥3 时,   3   — 2   =( 1 + 2)   一 2 n =1 + Cn 1   2 + C n 2 - 2   +…+C n  ? 2   一   1 > C n   ? 2 2 = 2 n ( n 一1 )   故:   ≤一 1×   2   ( n ≥2 )   +—— +… + —— <—— o   1   1   3   2   j   一 Z“   L 1 7 , -l   J n   0l 啦  分析 : 易求得( 1 ) n 1 = 1 ; ( 2 ) a n = 3 n 一 2 n   从 不 同 角度 思 考   9 +   1   I   q 2 _ 9 2 + …+   L, <   ①  t )   , ) 一   _ 的证 法  即 :  虿 < ÷ × (  +   ‘ +   ) < 吉   也 即 : 荟   ≥ < 1 + ≥ = 三 2 ① 式 成 立   方法三 : 用数学归纳法证明  数学归纳法是解决 与 自然数有关的命 题的一种  常用方法 , 对于一些题 目可作尝试 。   ( Ⅲ) 证明  方 法一 : 适 当放缩后变成等比数列  分析: (I) 、 ( Ⅱ) 略; ( m) 显然 {   } 的前几项 和  an   求不 出 , 但通项  :   可通过适 当放缩化 为等 比  数列 , 具体过程见下 面的解析 。   解: ( 1 1 1 ) ? . ? 3 . _ 3 . - 1 = 2 ? 3 . 1 >2 / ? 2 . 1 = 2 n  . 3 " - 2   ≥3 . 1   1 ≤  于是  + 1+ . . .   ≤1 +  + . . . +   :   . . . ①当 n = 1 时, 左 边 =  = l , 右 边 = 妄, 命 题 成 立。   0l   , ② 假 设 当   ≥ l ’  N ) 时 成 立   口 荟  ‘   三成立。   2   3   0 1 啦  %  3   3 " -   1 一 (   )   : 三[ 1 一 (   ) n ] < 三  2   3   2   1 一  为了证 明当n = k + l 时命题 也成立 ,我们首 先证  明不等式 :   <   .   3件   一 2件   3   (   ≥1 , i ∈N)   当然 , q 的选取并不唯一 , 也可令q =   1, 此时6 。 =   3   3   一 2  要 证 :   1   <了 1 3 i + 1 _ 2     3  ‘ 3 ‘2 只 需 证 — 3 / + 1   - 2   <   一   寻 , 6   =  , 与 选 取 g =   3 不 同 的 地 方 在 于 , 当 n = 1   时,   > 6   , 当  ≥2 时,   < 6   , 所以此 时我们不能从第  an   一 件   1   3 川一3? 2   只需 证 3 i + 1 — 2 i + 1 > 3 i + 1 — 3 ? 2 i , 只需 证 一 2 i + ’ > 一 3 ? 2 i   项就开始放缩 , 应该保 留前几 项 , 之后再 放缩 , 下  面给出其证法 。   另解 : 当  : l 时,   : 1 <3; 当n : 2 1 ] g 1+ 1 1 +   , 只需 证一 2 > 一 3 , 该 式子 明显 成立 , 所 以. 一 <   什1   1 件1   1   l   3   3f _2 t   : n1   01   1   3   5   2     当n : 3 时,   +  + 1: 1 +   +   <3 一 于 是 n = k “ 时 ,   虿 =  +  虿 < 1 + ÷   一 , 0 l  n 2 啦  5   1 9   2   j 一< 】 +  × 一 3: _ 3   3   2   2   i 当n ≥4 时, ? . ?   < 6   an   = 1   3 i - 2   所以命题在n = k + l 时也成立。   综合①② , 由数学归 纳法可得 , 对一切正整数n ,   [ 1 _ (   .   有  +  十 ¨ .  < 三  0l 啦  % 2   0 1   0 , 2   an   5   1 9   ,   1   2   .  1   1   3   3   5   1 9   1 6   2   由上式得 : 对一切正整数  N+ , 有  +   + . . . +   本题中数学归纳法 的第二步推荐 时用 到了分析  法, 相对不容易想到。   数列不等式 的证 明问题是多种多样 的 ,证 明方  法是开放和广阔的, 学生必须掌握

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