当前位置:首页 >> 数学 >> 选修1-1第二章(2)双曲线与抛物线

选修1-1第二章(2)双曲线与抛物线


教师姓名 年级 阶段 高二 基础()

学生姓名 学科 提高(√) 数学 强化( )

填写时间 上课时间 课时计划 第( )次课 共( )次课

1 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质并会灵活应用. 教学目标 2 了解圆锥曲线在高考中的地位及考察方式.

双曲线与抛物线
知识梳理 1、双曲线及其标准方程 (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小 于| F 1 F 2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F 1 F 2 |,这一 条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F 1 F 2 |,则动点的轨迹是两 条射线;若 2a>| F 1 F 2 |,则无轨迹. 若 MF 1 < MF 2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF 1 > MF 2 时, 轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. (2)双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果
2

y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,
2

通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质 (1)双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e ?

c a

?

1?

b a

2 2

离心率

e 越大,开口越大. (2)双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的渐近线方程为 y ? ?
m n

b a

x 或表示为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0 .若已知双

曲线的渐近线方程是 y ? ?
m x
2 2

x ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式:

?n y
2

2

? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
a
2

(3)焦半径公式 P F1 ? | e ( x ?

c

) | , P F2 ? | e (

a

2

? x) | .

c

(4)双曲线的方程与渐近线方程的关系 ①若双曲线方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? 渐近线方程:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0? y ? ?

b a

x

;②若渐近线方

1

程为 y ? ?

b a

x ?

x a

?

y b

? 0 ? 双曲线可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

③若双曲线与 ? ?;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1有

公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).

(5)双曲线的第二定义、准线方程.

题型一 求双曲线标准方程 例 1 已知双曲线过 M (1,1), N ( ? 2, 5) 两点,求双曲线的标准方程
x a
2 2

解法 1 当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线的方程为:

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,

1 8 ? 1 ? 1 ? 2 ?1 ? ? a2 ? a2 ? ? b 7 因为 M (1,1), N ( ? 2, 5) 在双曲线上,所以, ? 解得: ? ;所求的双曲线方 4 25 1 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? a2 ?b2 b 7 ? ?

程为:

8x 7

2

?

y

2

?1

7
y a
2 2

当双曲线的焦点在 Y 轴上时,设双曲线的方程为:

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,因为

1 1 ? 1 ? 1 ? 2 ?1 ? ? ?a2 ? a2 ? ? 7 b 解得: ? ; (不合舍去)综上: M (1, 1), N (? 2 , 5 )在双曲线上,所以, ? 1 8 25 4 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? a2 ?b2 b 7 ? ?

所求的双曲线方程为:

8x 7

2

?

y

2

?1

7

解法 2 因为双曲线的焦点位置不定, 所以设双曲线的方程为:m x 2 ? n y 2 ? ( m n ? 0 ) 1
8 ? m ? ? ?m ? n ? 1 ? 7 因为点 M (1,1), N ( ? 2, 5) 在双曲线上, ? 解得 ? 所求的双曲线方程为: 1 ?4m ? 25n ? 1 ?n ? ? ? 7 ?

8x 7

2

?

y

2

?1

7
2

评析

解法 1 采用了通法,因为无法判断焦点所在的位置,分两种情况讨论。解法 2

将双曲线的方程设为 m x 2 ? n y 2 ? ( m n ? 0 ) ,运算比较简便。 1 题型二 双曲线的性质应用 例 2 已知双曲线与椭圆
x
2

?

y

2

? 1 共焦点,它们的离心率之和为
4 5

14 5

,求双曲线方程.

9

25

解 由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 为 2,

,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率

从而 c=4,a=2,b=2 3 .所以求双曲线方程为:

y

2

?

x

2

? 1.

4

12

评析 关于双曲线离心率、渐近线问题常常是考察的重点,主要寻找 a , b , c 三元素之间 的关系 题型三 有共同渐近线的双曲线方程的求法 例 3 求与双曲线
x
2

?

y

2

? 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( 3 , ? 4) 的双曲线方程.

9

3 x
2



由题意可设所求双曲线方程为:

?
2

y

2

9
? 双曲线经过点 ( 3 , ? 4)
2 2

3
?

? ? ?? ? 0?
(?4) 3
2

?
? x

? ?

( 3) 9

? ?5

? 所求双曲线方程为: y
x a y b

?1

15

45

评析 渐近线为

?

? 0 的双曲线方程可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ? ( ? ? 0 ) ,若与

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 有共同的渐近线也可以设出双曲线系

x a

2 2

?

y b

2 2

? ? ( ? ? 0 ) ,再把已知点代入,

即可求出. 题型四 综合题 例 4 设双曲线 x ?
2

y

2

? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2)

2

⑴求直线 AB 方程; ⑵如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什么?
? y ? kx ? 2 ? k ? 由 ? 2 y2 得 : ?1 ?x ? ? 2
3

解 法 一 : 显 然 AB 斜 率 存 在 设 AB : y-2=k(x-1)

(2-k )x -2k(2-k)x-k +4k-6=0 当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 ? ?
x1 ? x 2 2 ? k (2 ? k ) 2?k
2

2

2

2

∴ k=1,满足△>0∴ 直线 AB:

y=x+1
? 2 ? x1 ? ? 法二: A x1,y1) B x2,y2) ? 设 ( ,( 则 ? 2 x ? ? 2 ? y1 2 y2 2
2 ?1 2 ? 1 ∴ AB: =x+1 代入 x ? y
2

2

?1

两式相减得: x1-x2)(x1+x2)= (
2

1 2

(y1-y2)(y1+y2)

?1

∵ x1≠x2∴

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

2 ( x1 ? x 2 ) y1 ? y 2

∴ k AB ?

y

2

? 1 得: △>0

2

评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。 在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦, 故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
?y ? x ?1 ? 由? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4)又 CD 方程:y=-x+3 x ? ?1 ? ? 2 ?y ? ?x ? 3 ? 2 由? 2 y2 得:x +6x-11=0 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) ?1 ?x ? ? 2

则 x0 ?

x3 ? x4 2
1 2

? ? 3,

y 0 ? ? x 0 ? 3 ? 6 ∴ M(-3,6)

∴ |MC|=|MD|=

|CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|

∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评析:此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所 有条件.本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心,充分分析平面图 形的几何性质可以使解题思路更清晰,在学习中必须引起足够重视. 题型五 直线与双曲线的位置关系 2 2 例 5 已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x -2y =1 总有公共点,试求实数 k 的取值范围. 分析 联立方程组,结合数形讨论 解 联立方程组 ?
? y ? kx ? b ? ?x ?
2

? 2y

2

?1

消去 y 得(2k —1)x +4kbx+2b +1=0,

2

2

2

当2k ? 1 ? 0 ? k ? ?
2

2 2

时,直线与双曲线的渐近线平行,

4

(1)当 b ? 0 时,有一个交点; (2)当 b ? 0 时,没有交点,所以不合题意. 当2k ? 1 ? 0 ? k ? ?
2

2 2

时,依题意有△=(4kb) —4(2k —1)(2b +1)=—4(2k —2b —

2

2

2

2

2

1)≥0,对所有实数 b 恒成立,∴2k —1≤0,得 ?

2

2 2

? k ?

2 2

所以 ?

2 2

? k ?

2 2

评析 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别 式、韦达定理来求解或证明.注意:与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐近 线平行的两条与双曲线交于一点的直线.另一种是与双曲线相切的直线也有两条.

知识梳理 1.抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 方程 y 2 ? 2 px

?p

? 0 ? 叫做抛物线的标准方程.
p 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 程是 x ? ?
p 2

,0) ,它的准线方



2.抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式: y 2 ? ? 2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ? 2 py .这四种抛物线的 图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程
l
y
2

? 2 px

y

2

? ?2 px

x ? 2 py
2

x

2

? ?2 py

( p ? 0)

( p ? 0)

( p ? 0)

( p ? 0)

y
y

y

o F

x

F

o

l

l

F o

x

x

图形

焦点坐标

(

p 2

, 0)

(?

p 2

, 0)

(0,

p 2

)

(0 , ?

p 2

)

5

准线方程 范围 对称性 顶点 离心率

x ? ?
x ? 0

p 2

x ?

p 2

y ? ?

p 2

y ?

p 2

x ? 0

y ? 0
y 轴

y ? 0
y 轴

x轴

x轴

(0 , 0 )
e ?1

(0 , 0 )
e ?1

(0 , 0 )
e ?1

(0 , 0 )
e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离. 题型一 求抛物线的标准方程 例 1 已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(—3,m)到焦点的距离等于 5,求 抛物线的标准方程和 m 的值. 解法 1 设抛物线方程 y =—2px(p>0),则焦点 F(—
?m 2 ? 6 p ? ? p 2 2 ) ? 5 ? m ? (3 ? 2 ?
2

p 2

,0),由题设可得:

,解得 ?

?p ? 4 ? ?m ? 2 ?

?p ? 4 ? 或? ?m ? ?2 6 ?

6

故抛物线的方程为 y =—8x,m 的值为± 2
2

2

6

.
p 2

解法 2 设抛物线方程为 y =—2px(p>0),则焦点 F(—

,0) ,准线方程为 x=
p 2

p 2

.

根据抛物线的定义,M 到焦点的距离等于 5,也就是 M 到准线的距离等于 5,则
2 2

+3=5,

∴p=4.因此抛物线方程为 y =—8x,又点 M(—3,m)在抛物线上,于是 m =24,∴m=± 2 6 题型二:焦点弦问题 2 例 2 斜率为 1 的直线经过抛物线 y =4x 的焦点,与抛物线交于两点 A、B,求线段 AB 的 长. 解法 1 如图所示,由抛物线的标准方程可知,焦点 F(1,0) ,准线方程 x=—1. 2 2 由题可知,直线 AB 的方程为 y=x—1,代入抛物线方程 y =4x,整理得:x —6x+1=0 解上述方程得 x1=3+2 2 ,x2=3—2 2 ,分别代入直线方程得 y1=2+2 即 A、B 的坐标分别为(3+2 2 ,2+2 2 )(3—2 2 ,2—2 2 ) , ∴|AB|=
(3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 )
2

2

,y2=2—2

2

? 2(2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 )

2

?

64 ? 8

解法 2 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1?x2=1 ∴|AB|=
2

|x1—x2| ?

2

( x1 ? x 2 )

2

? 4 x1 x 2 ?

2

6

2

?4 ?8

解法 3 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知,|AF|等于点 A 到准线 x=—1 的距离 |AA′| 即|AF|=|AA′|=x1+1;同理|BF|=|BB′|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8 评析: 解 2 是利用韦达定理根与系数的关系,设而不求,是解析几何中求弦长的一种普遍 适用的方法;解 3 充分利用了抛物线的定义,解法简洁,值得引起重视. 备选题
6

例 3 在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
4t ? 4t ? 5
2

解:设点 P ( t , 4 t 2 ) ,距离为 d , d ? 当t ?
1 2

?

4t ? 4t ? 5
2



17
1

17

时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。
2

评析, 此问题可以设点 P ( t , 4 t 2 ) ,利用抛物线标点法求解; 也可以设 y ? 4 x ? b 与 y ? 4 x 2 相 切,求出切点的坐标。

双曲线与抛物线(学生作业) 圆锥曲线与方程(作业)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x 2 ? my A.
1 4
2

? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为(



B.

1 2

C.2

D.4

2.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( ) A.10 B.8 C.6 D.4

3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )
15 3 15 3 15 3 15 3 15 3

A. ( ?



)

B. ( 0 ,

)

C. ( ?

,0)

D. ( ?

, ? 1)

4. (理)已知抛物线 y 2 ? 4 x 上两个动点 B、C 和点 A(1,2)且∠BAC=90°,则动直线 BC 必过定点( ) A. (2,5) B. (-2,5)

C. (5,-2)

D. (5,2)

(文)过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点作直线交抛物线于 P ( x1 , y 1 ) 、 Q ( x 2 , y 2 ) 两点, 若 x1 ? x 2 ? 3 p ,则 | PQ | 等于( ) A.4p
5 4

B.5p
5 4

C.6p

D.8p
2

5.已知两点 M (1, ), N ( ? 4 , ?
x
2

) ,给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x

? y

2

? 3;



? y

2

? 1 ;④

x

2

? y

2

? 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是(



2

2

(A)①③

(B)②④

(C)①②③

(D)②③④
7

6.已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F 2 ,点 A 在双曲线第一象限
1 2

的图象上,若△ AF 1 F 2 的面积为 1,且 tan ? AF 1 F 2 ? 程为( ) A.
12 x 5
2

, tan ? AF 2 F1 ? ? 2 ,则双曲线方

? 3y

2

?1

B.

5x 12

2

?

y

2

?1

C. 3 x ?
2

12 y 5

2

?1

D.

x

2

?

5y 12

2

?1

3

3

7.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x ( y ? 0 ) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( ) A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 4

? 0

B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0
6 2

1 4

? 0

8.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

, F1 、 F 2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直线 )

与双曲线的右支交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF 2 | 的等差中项,则 | AB | 等于( A. 8 2 B. 4 2
2

C. 2 2
2

D.8.

9. (理)已知椭圆 x ?

1 2

y

2

? a (a>0)与 A(2,1) ,B(4,3)为端点的线段没有公共

点,则 a 的取值范围是( ) A. 0 ? a ?
3 2 3 2 2 82 2 3 2 2 2

B. 0 ? a ?

3 2

2

或a ?

82 2

C. a ?



a ?

D.

? a ?

82 2

(文)抛物线 ( x ? 2 ) 2 ? 2 ( y ? m ? 2 ) 的焦点在 x 轴上,则实数 m 的值为( A.0 B.
3 2



C.2

D.3

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 , 0 ) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点,
MN 中点横坐标为 ?
x
2

2 3

,则此双曲线的方程是(
x
2

)
x
2

(A)

?

y

2

?1

3

4

(B)

?

y

2

?1

4

3

(C)

?

y

2

?1

5

2

(D)

x

2

?

y

2

?1

2

5

11.将抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 3 绕其顶点顺时针旋转 90 0 ,则抛物线方程为(



8

(A) ( y ? 1) 2 ? 2 ? x (B) ( y ? 1) 2 ? x ? 2 (C) ( y ? 1) 2 ? 2 ? x (D) ( y ? 1) 2 ? x ? 2 12 . 若 直 线 mx ? ny ? 4 和 ⊙ O ∶ x 2 ? y 2 ? 4 没 有 交 点 , 则 过 ( m , n ) 的 直 线 与 椭 圆
x
2

?

y

2

? 1 的交点个数(

) D.0 个

9

4

A.至多一个 B.2 个 C.1 个 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.椭圆
x log
2

?
a

y

2

? 1 的离心率为

1 2

,则 a=________.

8

9

14.已知直线 y ? x ? 1 与椭圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 ( m ? n ? 0 ) 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中
1 3

点的横坐标等于 ?

,则双曲线

x m

2 2

?

y n

2 2

? 1 的两条渐近线的夹角的正切值等于________.

15.长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 2 上滑动, 则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是________. 16. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆, 测得近地点 A 距离地面 m ( km ) , 远地点 B 距离地面 n ( km ) ,地球半径为 R ( km ) ,关于这个椭圆有以下四种说法: ①焦距长为 n ? m ;②短轴长为 ( m ? R )( n ? R ) ;③离心率 e ?
n?m m ? n ? 2R

;④若以 AB ,

方向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则与 F 对应的准线方程为 x ? ?

? ( m ? R )( n ? R ) (n ? m )

其中正确的序号为________. 三、解答题(共 44 分) 17. (本小题 10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线
x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.

(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

9

18. (本小题 10 分) 双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右支上存在与右焦点和左准线等距

离的点,求离心率 e 的取值范围.

19.(本小题 12 分)如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两点,与 x 轴 相交于点 M ,且 y 1 y 2 ? ? 1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1, 0 ) ; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ? AOB 的面积的最小值. y

A O B M

x

10

20. (本小题 12 分)已知椭圆方程为 x ?
2

y

2

? 1 ,射线 y ? 2

2 x (x≥0)与椭圆的交点为

8

M,过 M 作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于 A、B 两点(异于 M) . (1)求证直线 AB 的斜率为定值; (2)求△ AMB 面积的最大值.

三、解答题(20 分) 11. (本小题满分 10 分)已知直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切于点 T,且与双曲线
x ? y
2 2

? 1 相交于 A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

12. (10 分)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

(a>b>0)的离心率 e ?

6 3

,过点 A ( 0 , ? b ) 和 B (a , 0 ) 的

直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程.

3 2



(2)已知定点 E ( ? 1, 0 ) ,若直线 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) 与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存 在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

11

圆锥曲线单元检测答案 1. A 2.B 3 D 4 理 C 文 A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理 B 文 B 10 D 11 B 12 B 13. 4 2 或 9 6 14.
4 3

15.

l

2

16.①③④

4 x a
2 2

17.(1)依题意可设椭圆方程为

? y

2

? 1 ,则右焦点 F(

a

2

? 1 , 0 )由题设

a

2

?1 ? 2 2

2 ? 3

解得 a 2 ? 3

故所求椭圆的方程为

x

2

? y

2

?1.

3

x

2

? y

2

? 1 ??????????????????4 分.
? y ? kx ? m ? y ? ? 3 x
2 2

3

(2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? ?

得 ( 3 k 2 ? 1) x 2 ? 6 mkx ? 3 ( m 2 ? 1) ? 0
?1

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0 , 即 m 2 ? 3 k 2 ? 1
? xp ? xM ? xN 2
yp ?1 xp
2

①??????6 分

? ?

3 mk 3k
2

?1
2

从而 y p ? kx p ? m ?
?1

m 3k
2

?1

? k Ap ?
m ? 3k

? ?

m ? 3k

又 AM

? AN

, ? AP ? MN ,则

3 mk
1 k

?

?1

? ?

即 2 m ? 3k 2 ? 1

②??????????8 分 由②得
k
2

3 mk

把②代入①得 2 m ? m 2 解得 0 ? m ? 2
m ? 1 2

?

2m ? 1 3

? 0

解得

.故所求 m 的取范围是(

1 2

, 2 )??????????????10 分

18.设 M ( x 0 , y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点 F2 的距离等于它到左准线的 距离 MN ,即 MF 2 ? MN ,由双曲线定义可知
MF 1 MN ? e ? MF 1 MF
2

2

? e

??5 分

由焦点半径公式得

ex 0 ? a ex 0 ? a

? e

? x0 ?

a (1 ? e ) e
2
2

? e

??????????7 分

而 x0 ? a
e ?1

?

a (1 ? e ) e
2

?e

? a



e ? 2e ? 1 ? 0

解得1?

2 ? e?

2 ?1



?1 ? e ?

2 ? 1 ??????????????10 分

19. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x 0 , 0 ) , 直线 l 方程为 x ? my ? x 0 , 代入 y 2 ? x 得
y
2

? my ? x 0 ? 0



y 1 , y 2 是此方程的两根,
12

∴ x 0 ? ? y 1 y 2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y 1 y 2 ? ? 1 ∴ x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? y 1 y 2 ? y 1 y 2 ? y 1 y 2 ( y 1 y 2 ? 1) ? 0 ∴ OA ? OB . (3)由方程①, y 1 ? y 2 ? m , y 1 y 2 ? ? 1 , 且 | OM |? x 0 ? 1 , 于是 S ? AOB ?
1 2 | OM || y 1 ? y 2 | ?
2 2

1 2

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 =

1 2

m 2 ? 4 ≥1,

∴ 当 m ? 0 时, ? AOB 的面积取最小值 1. 20.解析: (1)∵ 斜率 k 存在,不妨设 k>0,求出 M (
2 2 2 2 2 2
? 2k k
2 2

,2) .直线 MA 方程为

y ? 2 ? k(x ?

) ,直线 AB 方程为 y ? 2 ? ? k ( x ?
? 4k ?8

).
2

分别与椭圆方程联立,可解出 x A ∴
yA ? yB xA ? xB ? k(xA ? xB ) xA ? xB ? 2

?

2 2

, xB

?

2k k
2

? 4k ?8

?

2 2



2





. k AB ? 2 2 (定值)

(2)设直线 AB 方程为 y ? 2 2 x ? m ,与 x ?
2

y

2

? 1 联立,消去 y 得 16 x ? 4
2

2 mx

8

? (m ? 8) ? 0 .
2

由 ? ? 0 得 ? 4 ? m ? 4 ,且 m ? 0 ,点 M 到 AB 的距离为 d ? 设 ? AMB 的面积为 S . ∴
S
2

|m | 3



?

1 4

| AB |

2

d

2

?

1 32

m (16 ? m ) ?
2 2

1 32

?(

16 2

)

2

? 2 .

当 m ? ? 2 2 时,得 S max ?

2 .

11.解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得
(k
2

? 1) y

2

? 2 kay ? a

2

?1 ? 0

????????3 分
a k
2

而k 2 ?1 ? 0
ak 1? k
2

,于是
a 1? k
2

yT ?

yA ? yB 2

? ? k

ak
2

?1

从而 x T ? ky T ? a ? ?
2

?1

即 T(

,

) ??5 分

? 点 T 在圆上

?(

ak 1? k
2

)

? (

a 1? k
2

)

2

?

2a 1? k
2

? 0

即k 2 ? a ? 2 则 k ?0



由圆心 O ?(? 1, 0 )

. O ?T ? l

得 k O ?T ? k l ? ? 1

或 k 2 ? 2a ? 1
13

当 k ? 0 时,由①得 a ? ? 2 ,

? l 的方程为 x ? ? 2 ;

当 k 2 ? 2 a ? 1 时,由①得 a ? 1 K ? ? 3 ,? l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 .故所求直线 l 的方 程为 x ? ? 2 或 x ? ? 3 y ? 1 ??????????10 分 12.解: (1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 .
?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? ab ? ? 2 ? a ? b2 ?

解得
3 2
2

?a ? 3, ? ?b ? 1

∴ 椭圆方程为

x

? y

2

? 1.

3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ?

? y ? kx ? 2, ?x ? 3y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3 k 2 ) x 2 ? 12 kx ? 9 ? 0 .



? ? (12 k ) ? 36 (1 ? 3 k ) ? 0 .
2 2



12 k ? x ? x2 ? ? , 2 ? 1 ? 1 ? 3k 设 C ( x 1 , y 1 ) 、 D ( x 2 , y 2 ) ,则 ? 9 ?x ? x ? 1 2 2 ? 1 ? 3k ?



而 y 1 ? y 2 ? ( kx 1 ? 2 )( kx 2 ? 2 ) ? k 2 x 1 x 2 ? 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则
y1 x1 ? 1

?

y2 x2 ? 1

? ?1 ,

即 y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0 . ∴
(k
2

? 1) x 1 x 2 ? 2 ( k ? 1)( x 1 ? x 2 ) ? 5 ? 0 .
7 6

③ ,使①成立.

将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?
7 6

.经验证, k ?

7 6

,使得以 CD 为直径的圆过点 E.

14


更多相关文档:

选修1-1第二章(2)双曲线及抛物线.doc

选修1-1第二章(2)双曲线抛物线 - 教师姓名 年级 阶段 高二 基础() 学生姓名 学科 提高(√) 数学 强化( ) 填写时间 上课时间 课时计划 第( )次课 共(...

高中数学人教A版选修1-1-第二章-2.3-抛物线-第2课时-学....pdf

高中数学人教A版选修1-1-第二章-2.3-抛物线-第2课时-学案 - 0 3 3 2 抛物线的简单几何性质 抛物线的性质与椭圆 ? 双曲线的性质有何异同 ? 1. 抛物线的...

选修1-1第二章 圆锥曲线与方程单元测试.doc

选修1-1第二章 圆锥曲线与方程单元测试 - 第二章 一.选择题(每题 5 分) 圆锥曲线与方程单元测试 3.下列双曲线,离心率 e ? A. x2 y2 ? ?1 2 4 ...

高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》知识点归纳及....doc

高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》知识点归纳及单元测试_数学_高中教育...4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为( ) 3.双曲线 A. y 2 ? 16 ...

高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》知识点归纳及....doc

高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》知识点归纳及单元测试[1] 2 - 一、选择题 1.椭圆 2x2 ? 3 y 2 ? 12 的两焦点之间的距离为( ) A. 2 10 ...

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试 及答案.doc

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试 及...C.(5,-2) D.(5,2) (文)过抛物线 y 2 ? ...AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线方 2 的图象上,若△ ...

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线练习题及答案.doc

(数学选修 1-1)第二章 圆锥曲线 [综合训练 B 组]及答案 一、选择题 1....y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标...

高中数学第二章圆锥曲线与方程复习学案新人教版选修1-1(2).doc

高中数学第二章圆锥曲线与方程复习学案新人教版选修1-1(2) - 第二章 圆锥曲线与方程(复习) 学习目标 1.掌握椭圆、双曲线抛物线的定义及标准方程; 2.掌握...

第二章 圆锥曲线与方程 综合素质检测(人教A版选修1-1).doc

第二章 圆锥曲线与方程 综合素质检测(人教A版选修1-1)_理学_高等教育_教育...则该双曲线的离心率等于( A. 2 C.2 [答案] B [解析] ∵抛物线 y2=4 ...

高中数学北师大版选修1-1课件:第二章 章末复习课_图文.ppt

高中数学北师大版选修1-1课件:第二章 章末复习课 - 第二章 圆锥曲线与方程 章末复习课 学习目标 1.掌握椭圆、双曲线抛物线的定义及其应用,会用定义求标准 ...

2018-2019学年人教B版选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 ....doc

2018-2019学年人教B版选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷(二)_...分,共 60 分) x2 1. 已知双曲线 2-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=...

高二数学(人教A版)选修1-1课件第二章 圆锥曲线与方程_图文.ppt

高二数学(人教A版)选修1-1课件第二章 圆锥曲线与方程_数学_高中教育_教育专区...双曲 线定义||PF1|-|PF2||=2a 中,应有 2a<|F1F2|,抛物线定义中, ...

2012年人教A版高中数学选修1-1 2.2双曲线练习卷(带解析).doc

2012 年人教 A 版高中数学选修 1-1 2.2 双曲线练习卷(带解析) 一、选择...动圆与两圆 A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆 【答案】C 【解析】...

(数学选修1-1)第二章 圆锥曲线 A.doc

那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2 B. 3 C. 2 ) D. 3 5.抛物线 y 2 = 10 x 的焦点到准线的距离是( A. 15 D. 10 2 6.若抛物线 y 2 =...

第二章《圆锥曲线与方程》课件(新人教A版选修1-1)_图文.ppt

第二章《圆锥曲线与方程》课件(新人教A版选修1-1) - 圆锥曲线小结 ks5u

...第二章《圆锥曲线与方程》课件(新人教A版选修1-1)_....ppt

数学:第二章《圆锥曲线与方程》课件(新人教A版选修1-1) - 圆锥曲线小结 ks5u精品课件 1)掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的 几何性质 复习目标 2)掌握双曲线的...

第二章 圆锥曲线与方程 综合素质检测(北师大版选修1-1).doc

第二章 圆锥曲线与方程 综合素质检测(北师大版选修1-1)_数学_高中教育_教育...则该双曲线的离心率等于( A. 2 C.2 [答案] B [解析] ∵抛物线 y2=4 ...

【数学】2.3《抛物线》测试1(新人教A版选修1-1).doc

【数学】2.3《抛物线》测试1(新人教A版选修1-1)...双曲线一支 )与 相切圆的圆心轨迹是( D.抛物线 )...【数学】第二章《圆锥曲... 5页 2下载券 喜欢...

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程_单元测试.doc

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程_单元测试_...这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双...的准线.渐近线方程 6、抛物线的几何性质: y 2 ? ...

2018-2019学年北师大版选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 ....doc

2018-2019学年北师大版选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 单元测试 -

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com