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高中数学人教a版选修1-2教学案: 第一章 章末小结与测评 含解析【

在散点图中样本点大致分布在一条直线附近, 则利用线性回归模型进行 ^ 研究, 可近似地利用回归直线方程^ y=^ bx+^ a来预报, 利用公式求出回归系数^ a, b, 即可写出回归直线方程,并用回归直线方程进行预测说明. [典例 1] 据: 以下是某地收集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数 房屋面积 x/m2 销售价格 y/万 元 115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 (1)画出数据对应的散点图; (2)若线性相关,求线性回归方程; (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格. 解:(1)数据对应的散点图如图所示. (2)由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系. 由表中数据知 x = 15 ?xi=109, 5i =1 y= 5 5 15 2 y = 23.2 , x = 60 975 , ?i ?i ?xiyi=12 952. 5i =1 i=1 i=1 设所求回归直线方程为^ y=^ bx+^ a, x- y ?x y -5- i i 5 则^ b= i=1 ≈0.196 2,^ a= y -^ b- x ≈1.814 2, 5 2 i 2 ?x -5 x i=1 故所求回归直线方程为^ y=0.196 2x+1.814 2. (3)根据(2),当 x=150 时,销售价格的估计值为^ y=0.1962×150+1.814 2 =31.244 2(万元). [对点训练] 1.随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人 民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 时间代号 t 储蓄存款 y(千亿元) 2010 1 5 2011 2 6 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10 (1)求 y 关于 t 的回归方程^ y=^ bt+^ a; (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. ?t y - n i i n t y ,^ a= y -^ b t. 附:回归方程^ y=^ bt+^ a中,^ b= i=1 t ?t -n- 2 i i=1 n 2 解:(1)列表计算如下: i 1 2 3 4 5 ∑ ti 1 2 3 4 5 15 yi 5 6 7 8 10 36 t2 i 1 4 9 16 25 55 tiyi 5 12 21 32 50 120 1n 15 1n 36 这里 n=5, t = ?ti= =3, y = ?yi= =7.2, ni=1 5 ni=1 5 -2 2 又 ltt= ?t2 i-n t =55-5×3 =10, i=1 n lty= ?tiyi-n t i=1 n y =120-5×3×7.2=12, 从而^ b= lty 12 = =1.2,^ a= y -^ b t =7.2-1.2×3=3.6, ltt 10 故所求回归方程为^ y=1.2t+3.6. ^ (2)将 t=6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为y= 1.2×6+3.6=10.8(千亿元). 对于建立的回归模型, 我们必须对模型的拟合效果进行分析,也就是对利用 回归模型解决实际问题的效果进行评价. 一方面可以对比残差或残差平方和的大 小,同时观察残差图,进行残差分析;另一方面也可以研究数据的 R2(相关系数 r).对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题. [典例 2] 在研究弹簧伸长长度 y(cm)与拉力 x(N)的关系时,对不同拉力的 6 根弹簧进行测量,测得如下表中的数据: x/N y/cm 5 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.9 30 11.8 若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为^ y=0.18x+6.34,求 R2, 并结合残差说明拟合效果. 解:列表求值如下: xi yi xiyi x2 i yi-^ yi yi- y 5 7.25 36.25 25 0.01 -2.24 10 8.12 81.2 100 -0.02 -1.37 6 15 8.95 134.25 225 -0.09 -0.54 6 20 9.90 198 400 -0.04 0.41 25 10.9 272.5 625 0.06 1.41 6 30 11.8 354 900 0.06 2.31 x =17.5, y ≈9.49,?xiyi=1 076.2,?x =2 275,? (yi-^ yi)2=0.017 2 i i=1 i=1 i=1 4, ? (yi- y )2=14.678 4. i=1 6 ∴R2=1- 0.017 4 ≈0.998 81,回归模型拟合效果较好.由表中数据可以 14.678 4 看出残差比较均匀地落在宽度不超过 0.15 的狭窄的水平带状区域中,说明选用 的线性回归模型的精度较高. [对点训练] 2.从某大学中随机选取 5 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 编号 身高 x/cm 体重 y/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 甲、 乙两位同学在计算根据女大学生的身高预报体重的回归方程时,分别得 到以下回归模型:甲:^ y=0.75x-70;乙:^ y=0.76x-71.试依据 R2 判定哪一个 模型的拟合效果较好? 解:对甲模型,yi-^ yi 与 yi- y 的值如下表: yi-^ yi yi- y 5 -5.75 -6.6 3.25 2.4 2.25 -4.6 -3.5 -0.6 2.75 9.4 所以 ? (yi-^ yi)2=(-5.75)2+3.252+2.252+(-3.5)2+2.752=68.5, i=1 ? i=1 5 (yi- y )2=(-6.6)2

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