当前位置:首页 >> 数学 >> 【书城】2017年高考数学基础突破——集合与函数:4.函数的奇偶性与周期性.doc

【书城】2017年高考数学基础突破——集合与函数:4.函数的奇偶性与周期性.doc


2017 年高考数学基础突破——集合与函数 4.函数的奇偶性与周期性(学生版,后附教师版)
【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性 相反 (填“相同”、“相反”).

(2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是 ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数 ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任 何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 【基础考点突破】 考点 1.函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x2+1);
2 ? ?-x +2x+1 ? (3)f(x)= 2 ?x +2x-1 ?

偶函数.

. 奇函数

(2)f(x)=(1-x)

1+x ; 1-x

(x>0), (x<0);

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3

【归纳总结】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义 域; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式 f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 变式训练 1. (1)下列函数为奇函数的是( A.y= x B.y=|sin x| ) C.y=cos x D.y=ex-e
-x

(2)(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( A . f(x)g(x) 是 偶 函 数 ) B . |f(x)|g(x) 是 奇 函 数 C . f(x)|g(x)| 是 奇 函 数

D.|f(x)g(x)|是奇函数 考点 2.函数奇偶性的应用 2x+1 【例 2】 (1)(2015· 山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数, 则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为 2 -a ( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)

(2)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等 于( ) A.4 B.3 C .2 D.1

【归纳总结】(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据 f(x)± f(x)=0 得 到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值; (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式, 或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的值或解析式. 1 变式训练 2. (1)(2016· 唐山模拟)已知 f(x)=x+ -1,f(a)=2,则 f(-a)=( x A.-4 B.-2 C.-1 D.-3 )

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=x2-4x, 则 f(x)=________.

考点 3.函数的周期性及其应用 【例 3】f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2) +…+f(2 017).

【归纳总结】(1)判断函数的周期性只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期为 T. (2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质. 1 (3)函数周期性的三个常用结论: ①若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2a, ②若 f(x+a)= , f? x? 则 T=2a, 1 ③若 f(x+a)=- ,则 T=2a (a>0). f? x? 变式训练 3. (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+ 2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)等于________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 则 f(19.5)=______. 1 ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x, f? x?

考点 4.函数性质的综合应用 命题点 1.函数奇偶性的应用
5 3 【例 4】 (1)已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) 等于________.

(2)(2015· 课标全国Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________.

命题点 2.单调性与奇偶性、周期性结合

2a-3 【例 5】 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围为( A.(-1,4) ) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) )

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) 25)<f(80)<f(11) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-

【归纳总结】 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性 将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便: ①f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|).②若奇函数在 x=0 处有意义,则 f(0)=0. 变式训练 4. (1)若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] ,则

a ? ____, b ? ____.
(2) 定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围.

【基础练习】 1.下列函数为偶函数的是( A.y=sin x ) C.y=ex D.y=ln x2+1 )

B.y=ln( x2+1-x)

2.设函数 f(x)为偶函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则 f(- 2)=( 1 A.- 2 1 B. 2 C .2 D.-2 )

?x2+1,x>0, ? 3.(2014· 福建卷)已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ? ?cos x,x≤0,

A.f(x)是偶函数 [-1,+∞)

B.f(x)是增函数

C.f(x)是周期函数

D . f(x) 的 值 域 为

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是(

)

A.y=log2|x|

B.y=cos 2x

C.y=

2x-2 2

-x

D.y=log2 )

2-x 2+x

1? 5.已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f? ?lg2?等于( A.-1 B.0 C.1 D.2

6.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 019) 等于( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98

7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,若 f(lg x)<0,则 x 的取值 范围是( ) B.(1,10)
2

A.(0,1)

C.(1,+∞) )

D.(10,+∞)

x +x+1 2 8.已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( 3 x +1 2 A. 3 2 B.- 3 4 C. 3

4 D.- 3 f? x 2?-f? x 1? <0, 则( x2-x1 )

9. 定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有 A.f(3)<f(-2)<f(1) 2) B.f(1)<f(-2)<f(3)

C.f(-2)<f(1)<f(3) D . f(3)<f(1)<f( -

10. f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取 值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

11.已知 f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且 f(x)是减函数,如果 f(m-2)+f(2m-3)>0, 那么实数 m 的取值范围是( 5? A.? ?1,3? ) C.(1,3) 5 ? D.? ?3,+∞?

5? B.? ?-∞,3?

12.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 13.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f(x-2)≥0 的解集是________. 14.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当 1? ?3? ?5? 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则 f? ?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=________. -x +2x,x>0, ? ? 15.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0
2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值;(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

16.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2) +…+f(2 016).

2x 17.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(1)和 f(-1)的值;(2)求 f(x)在[-1,1]上的解析式.

18.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

2017 年高考数学基础突破——集合与函数 4.函数的奇偶性与周期性(教师版)

【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性 相反 (填“相同”、“相反”).

(2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 奇函数 ,两个奇函数的积函数是 ②两个偶函数的和函数、积函数是 ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任 何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 【基础考点突破】 考点 1.函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x2+1);
2 ? ?-x +2x+1 ? (3)f(x)= 2 ?x +2x-1 ?

偶函数. 偶函数 .

奇函数

(2)f(x)=(1-x)

1+x ; 1-x

(x>0), (x<0);

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3

【解析】 (1)∵ x2+1>|x|≥0, ∴函数 f(x)的定义域为 R, 关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(- x+ (-x)2+1)=-xlg( x2+1-x)=xlg( x2+1+x)=f(x),即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶 函数. 1+x (2)当 ≥0 时函数有意义,∴-1≤x<1,由于定义域关于原点不对称,∴函数 f(x)是非奇 1-x

非偶函数. (3)函数的定义域为{x|x≠0}, 关于原点对称, 当 x>0 时, -x<0, f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
2 ? ?4-x ≥0, (4)∵? ?-2≤x≤2 且 x≠0,∴函数的定义域关于原点对称. ?|x+3|≠3 ?

∴f(x)=

4-x2 4-x2 4-(-x)2 4-x2 = ,又 f(-x)= =- ,∴f(-x)=-f(x),即函 x x x+3-3 -x

数是奇函数. 【归纳总结】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义 域; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式 f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 变式训练 1. (1)下列函数为奇函数的是( A.y= x B.y=|sin x| ) C.y=cos x D.y=ex-e
-x

(2)(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( A . f(x)g(x) 是 偶 函 数 ) B . |f(x)|g(x) 是 奇 函 数 C . f(x)|g(x)| 是 奇 函 数

D.|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】 (1)D (2)C 【解析】(1)y= x的定义域为[0,+∞),所以 y= x为非奇非偶函数;y=|sin x|与 y=cos x 为偶函数;令 y=f(x)=ex-e x,x∈R,则满足 f(-x)=-f(x),所以 y=ex-e
- -x

为奇函数,

故选 D. (2)依题意得对任意 x∈R,都有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此,f(-x)g(-x)=- f(x)g(x)=-[f(x)· g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A 错;|f( -x)|· g(-x)=|-f(x)|· g(x) =|f(x)|g(x), |f(x)|g(x)是偶函数,B 错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C 正确; |f(-x)· g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,D 错. 考点 2.函数奇偶性的应用 2x+1 【例 2】 (1)(2015· 山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数, 则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为 2 -a ( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)

(2)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等

于(

) A.4 B.3 C .2 D.1

【答案】 (1)C (2)B 2 x+1 2x+1 2x+1 2x+1 【解析】(1)法一 f(-x)= -x = , x,由 f(-x)=-f(x),得 x=- x 2 -a 1-a2 1-a2 2 -a


2x+1 即 1-a2x=-2x+a,化简得 a(1+2x)=1+2x,所以 a=1, f(x)= x ,由 f(x)>3,得 0 2 -1 <x<1,故选 C. 2 +1 3 法二:因为 f(x)= x 是奇函数,所以 f(1)+f(-1)=0,即 + =0,解得 a=1,f(x) 2 -a 2-a 1 -a 2 2x+1 = x , 2 -1 由 f(x)>3,得 0<x<1,故选 C.
? ?-f(1)+g(1)=2, (2)由已知得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则有? 解得 g(1)=3,故选 ?f(1)+g(1)=4, ?
x

3 2

B. 【归纳总结】(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据 f(x)± f(x)=0 得 到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值; (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式, 或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的值或解析式. 1 变式训练 2. (1)(2016· 唐山模拟)已知 f(x)=x+ -1,f(a)=2,则 f(-a)=( x A.-4 B.-2 C.-1 D.-3 )

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=x2-4x, 则 f(x)=________. x -4x,x>0, ? ? 【答案】(1)A (2)?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0. 1 【解析】(1)令 g(x)=f(x)+1=x+ ,则 g(x)为奇函数. x 又 f(a)=2,则 g(a)=3,g(-a)=-3.∴f(-a)=-4. (2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), x -4x,x>0, ? ? 2 即 f(x)=-x -4x(x<0),∴f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0.
2 2

考点 3.函数的周期性及其应用 【例 3】f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2) +…+f(2 017). 证明:(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2= -x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数,∴f(0)+f(1) +f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=f(2 016)+f(2 017)=f(0)+f(1)=1. 【归纳总结】(1)判断函数的周期性只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期为 T. (2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质. (3)函数周期性的三个常用结论: 1 1 ①若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2a, ②若 f(x+a)= , 则 T=2a, ③若 f(x+a)=- , f? x? f? x? 则 T=2a (a>0).

变式训练 3. (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+ 2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)等于________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并且 f(x+2)=- =______. 【答案】(1)337 (2)2.5 【解析】(1)∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, 2 016 ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)+f(2 016)=1× =336, 又 f(2 6 017)=f(1)=1. ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)=337. 1 1 (2)由已知, 可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=- =- =f(x). 故函数的周期为 4. 1 f? x +2? - f? x? 1 , 当 0≤x≤1 时, f(x)=x, 则 f(20. 5) f? x?

∴f(19.5)=f(4× 5-0.5)=f(-0.5)=f(0.5),∵0≤0.5≤1,由题意,得 f(0.5)=0.5,∴f(19.5) =0.5.

考点 4.函数性质的综合应用 命题点 1.函数奇偶性的应用 【例 4】(1)已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) 等于________. (2)(2015· 课标全国Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. 【解析】(1) 解:令 g ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ,易知 g ( x) 为奇函数, f (?2) ? g (?2) ? 8=10 ,

g (?2)=18 ,∴ g (2)= ? 18 , f (2) ? g (2) ? 8= ? 18 ? 8 ? ?26 .
(2)f(x)为偶函数,则 ln(x+ a+x2)为奇函数,所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0, 即 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.

命题点 2.单调性与奇偶性、周期性结合 2a-3 【例 5】 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围为( A.(-1,4) ) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) )

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) 25)<f(80)<f(11) 【答案】(1)A (2)D B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-

【解析】(1)∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数,∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), 2a-3 2a-3 a-4 ∵f(1)<1,f(5)= ,∴ <1,即 <0,解得-1<a<4,故选 A. a+1 a+1 a+1 (2)∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f(x), ∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数, 则 f(- 25)=f(-1), f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数, f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(- 1)<f(0)<f(1), 即 f(-25)<f(80)<f(11). 【归纳总结】 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性 将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

(2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便: ①f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|).②若奇函数在 x=0 处有意义,则 f(0)=0.

变式训练 4. (1)若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] ,则

a ? ____, b ? ____.
(2) 定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围. 分 析 : → 解得m的范围 解: (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a ? 1 ? ?2a ,解得 a ? f? m? +f? m -1?>0 → f? 1 -m?<f? m? → 列不等式组

1 .由函数 f ( x) 3

为偶函数,所以 f (? x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b ? ax 2 ? bx ? 3a ? b ,即 bx ? 0 对任意 x 均成立, 所以 b ? 0 . (2)由 f(m)+f(m-1)>0,得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在 [?2, 2] 上为奇函数,∴ f(x)在[-2,2]上为减函数.

? ? ?2 ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2 ? ? 1 ? ∴ ? ?2 ? m ? 1 ? 2 ,即 ? ?1 ? m ? 3 ,∴ ?1 ? m ? . 2 ?1 ? m ? m ? 1 ? ?m ? ? 2
【基础练习】 1.下列函数为偶函数的是( A.y=sin x ) C.y=ex D.y=ln x2+1

B.y=ln( x2+1-x)

【解析】A 选项定义域为 R,f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),∴f(x)为奇函数;B 选项定 义域为 R,f(-x)=ln[ (-x)2+1-(-x)]=ln( x2+1+x)≠f(x),∴函数不是偶函数;C 1 - 选项定义域为 R,f(-x)=e x= x≠f(x),∴函数不是偶函数;D 选项定义域为 R,f(-x)= e ln (-x)2+1=ln x2+1=f(x),∴函数为偶函数.故选 D. 2.设函数 f(x)为偶函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则 f(- 2)=( 1 A.- 2 1 B. 2 C .2 D.-2 )

1 【解析】由已知得 f(- 2)=f( 2)=log2 2= .故选 B. 2

2 ? ?x +1,x>0, ? 3.(2014· 福建卷)已知函数 f(x)= 则下列结论正确的是( ? ?cos x,x≤0,

) D . f(x) 的 值 域 为

A.f(x)是偶函数 [-1,+∞)

B.f(x)是增函数

C.f(x)是周期函数

?x2+1,x>0, ? 【解析】函数 f(x)=? 的图象如图所示,由图象知只有 D 正确. ?cos x,x≤0 ?

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( A.y=log2|x| B.y=cos 2x C.y= 2x-2 2
-x

) D.y=log2 2-x 2+x

【解析】 对于 A, 函数 y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数; 对于 B, 函数 y=cos 2x 2x-2 x 2-x 在区间(1,2)上不是增函数;对于 C,函数 y= 不是偶函数;对于 D,函数 y=log2 2 2+x


不是偶函数,故选 A. 1? 5.已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f? ?lg2?等于( A.-1 B.0 C.1 D.2 1 = 1+9x2-3x )

【解析】设 g(x)=ln( 1+9x2-3x)=f(x)-1,g(-x)=ln( 1+9x2+3x)=ln -g(x).

1? ? 1? ? 1? ∴g(x)是奇函数,∴f(lg 2)-1+f? ?lg 2?-1=g(lg 2)+g?lg 2?=0,因此 f(lg 2)+f?lg 2?=2, 故选 D. 6.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 019) 等于( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98

【解析】∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以 4 为周期的周期函数,∴f(2 019)=f(504× 4+3)=f(3) =f(-1). 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2× 12=-2,即 f(2 019)=-2. ,故选 A 7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,若 f(lg x)<0,则 x 的取值 范围是( ) B.(1,10) C.(1,+∞) D.(10,+∞)

A.(0,1)

【解析】依题意,函数 f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0,不等式 f(lg x)<0=f(0)等价于 lg x <0,故 0<x<1,故选 A. x2+x+1 2 8.已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( 3 x +1 2 A. 3 2 B.- 3 4 C. 3 ) 4 D.- 3

-x x 【解析】先将表达式化简为 f(x)=1+ 2 ,由此可得 f(-x)=1+ 2 ,∴有 f(x)+f(-x) x +1 x +1 4 =2,即有 f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)= ,故选 C. 3 9. 定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有 A.f(3)<f(-2)<f(1) 2) 答案 A 解析 由题意知 f(x)为偶函数, 所以 f(-2)=f(2), 又 x∈[0, +∞)时, f(x)为减函数, 且 3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 10.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.f(1)<f(-2)<f(3) f?x2?-f? x 1? <0, 则( x2-x1 )

C.f(-2)<f(1)<f(3) D . f(3)<f(1)<f( -

【解析】∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x.作出函数 f(x)的大致图象如 图中实线所示,结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数,由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a, 解得-2<a<1. 答案 C 11.已知 f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且 f(x)是减函数,如果 f(m-2)+f(2m-3)>0, 那么实数 m 的取值范围是( 5? A.? ?1,3? 答案 A 解析 ∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,∴-1<x<1,f(-x)=-f(x). ∴f(m-2)+f(2m-3)>0 可转化为 f(m-2)>-f(2m-3),∴f(m-2)>f(-2m+3), -1<m-2<1, ? ? ∵f(x)是减函数,∴m-2<-2m+3,∵?-1<2m-3<1, ? ?m-2<-2m+3. 5 ∴1<m< . 3 ) C.(1,3) 5 ? D.? ?3,+∞?

5? B.? ?-∞,3?

12.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 答案 - -x-1 解析 ∵f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)= x+1,∴当 x<0 时,-x>0,

f(-x)= -x+1=-f(x),即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 13.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f(x-2)≥0 的解集是________. 答案 (-∞,1]∪[3,+∞) 【解析】由已知可得 x-2≥1 或 x-2≤-1,解得 x≥3 或 x≤1,∴所求解集是(-∞,1]∪[3, +∞). 14.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当 1? ?3? ?5? 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则 f? ?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=________. 答案 2

【解析】依题意知:函数 f(x)为奇函数且周期为 2, 1? ?3?+f(2)+f?5?=f?1? +f(1)+f?-1?+f(0)+f?1? =f?1? +f(1)-f?1? +f(0)+ ∴f? + f(1) + f ?2? ?2? ?2? ?2? ? 2? ?2? ?2? ?2? 1? ?1? 1 1 0 f? ?2?=f?2?+f(1)+f(0)=22-1+2 -1+2 -1= 2. -x +2x,x>0, ? ? 15.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0
2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值;(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2.
?a-2>-1, ? (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合 f(x)的图象知? 所以 1<a≤3,故实数 ? ?a-2≤1,

a 的取值范围是(1,3].

16.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+… +f(2 016). (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2 +6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 012)

+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0. 2x 17.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(1)和 f(-1)的值;(2)求 f(x)在[-1,1]上的解析式. 解 0. (2)由题意知,f(0)=0.当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 2 x 2x 由 f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=- -x =- x , 4 +1 4 +1


(1)∵f(x)是周期为 2 的奇函数,∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,f(-1)=

? 2 综上,在[-1,1]上,f(x)=? - ,x∈(-1,0), 4 +1 ?0,x∈{-1,0,1}.
x x

2x ,x∈(0,1), 4x+1

18.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1, 得 f(1)=2f(1), ∴f(1) =0. (2)f(x)为偶函数. 1 证明:令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4× 4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}.


更多相关文档:

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:4.函数....doc

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:4.函数的奇偶性与周期性.doc_数学_高中教育_教育专区。2017 年高考数学基础突破集合与函数 4.函数的奇偶性与...

2017年高考数学基础突破集合与函数4函数的奇偶性与周期性.doc

2017 年高考数学基础突破集合与函数 4.函数的奇偶性与周期性 【知识梳理

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:3.函数....doc

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:3.函数的单调性与最值.doc_...x ? 4 ? 3x 2 ,则该函数的的值域是 . 【归纳总结】求函数最值的常用...

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:2.函数....doc

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:2.函数的概念及其表示.doc_数学...这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法: 表示函数的常用方法有:解析法、...

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:7.对数....doc

【书城】2017年高考数学基础突破集合与函数:7.对数与对数函数.doc_数学_...( A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c ) 4.(2015 四川卷)设 a,b...

【书城】2017年高考数学基础突破导数与积分:第9讲 ....doc

【书城】2017年高考数学基础突破导数与积分:第9讲 函数的图象与性质的综合应用.doc_数学_高中教育_教育专区。2017 年高考数学基础突破集合与函数 9.函数...

2019高考数学考点突破函数概念:函数的奇偶性与周期性.doc

2019高考数学考点突破函数概念:函数的奇偶性与周期性_高考_高中教育_教育专区。函数的奇偶性与周期性【考点梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 有 f(-x...

...轮复习讲练测:专题2.4函数奇偶性与周期性(讲).doc.doc

2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题2.4函数奇偶性与周期性(讲).doc_数学_高中教育_教育专区。2017 年高考数学讲练测【新课标版文】 【讲】 第 04 节 ...

2017高考真题集合与函数解析.doc

2017高考真题集合与函数解析_高三数学_数学_高中教育...【2017 课标 3,文 1】已知集合 A={1,2,3,4}...?x 【考点】函数奇偶性与周期性 【金牌数学名师...

2017版高考数学一轮复习练习2.3函数的奇偶性与周期性.doc.doc

2017高考数学一轮复习练习2.3函数的奇偶性与周期性.doc_数学_高中教育_教育...减函数;⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是___. 【解析】 f(x+1)=-...

2017年高考数学基础突破集合与函数9函数的图象与性质的....doc

2017 年高考数学基础突破集合与函数 9.函数的...讨论函数的性质(奇偶性、单调 性、周期性、对称性...求参数的取值范围 1 2 x 【例 4】已知 a>0,...

2017年高考数学基础突破集合与函数3函数的单调性与最值.doc

2017年高考数学基础突破集合与函数3函数的单调性与最值_高考_高中教育_教育专区...x ? 4 ? 3x 2 ,则该函数的的值域是 . 【归纳总结】求函数最值的常用...

高考数学基础突破 集合与函数 9 函数的图象与性质的综....doc

2017 年高考数学基础突破集合与函数 9.函数的...讨论函数的性质(奇偶性、单调 性、周期性、对称性...求参数的取值范围 1 2 x 【例 4】已知 a>0,...

高考数学基础突破 集合与函数 3 函数的单调性与最值.doc

2017 年高考数学基础突破集合与函数 3.函数的...[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] ...【书城】2017年高考数学... 暂无评价 16页 5下载...

2017年高考数学基础突破导数与积分第4讲导数与函数的单....doc

2017 年高考数学基础突破导数与积分 第 4 讲 导数与函数的单调性 【知识梳理】 1.函数的单调性与导数的关系 若 f ( x ) 在某个区间(a,b)内可导,...

专题01 集合与函数-2017年高考数学(文)试题分项版解析(....doc

专题01 集合与函数-2017年高考数学(文)试题分项版...【2017 课标 3,文 1】已知集合 A={1,2,3,4}...【答案】 6 【解析】 【考点】函数奇偶性与周期性...

2017年高考数学基础突破集合与函数1集合及其运算.doc

2017 年高考数学基础突破集合与函数 1.集合及其运算 【知识梳理】 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序. (2)元素与集合...

...一轮复习精品资料:专题06 函数的奇偶性与周期性(教学案)(原卷....doc

函数的奇偶性与周期性(教学案)-2017 年高考数学(...【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义...(-1)=4,则 g(1)等于( A.4B.3C.2D.1 (2)...

2018届高考数学二轮函数的奇偶性与周期性专题卷(全国通用).doc

2018届高考数学二轮函数的奇偶性与周期性专题卷(全国...课时规范练 7 函数的奇偶性与周期性 基础巩固组 1...(2017 河北武邑中学模拟,文 4)在下列函数中,既是...

【书城】2017年高考数学基础突破导数与积分:第10讲....doc

【书城】2017年高考数学基础突破导数与积分:第10讲 微积分的应用.doc_高考...4 3 C. J 3 ) D.2 3 J ) 4.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com