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【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习:专题二第三讲 平面向量-含解析_图文

专题二 三角函数、平面向量 平面向量 第三讲 高考导航 平面向量的基本定理及基本运算,即向量的有关概念,加、减法 的几何意义,线性表示以及坐标运算等. 2.平面向量的数量积的基本运算及其应用,这也是历年高考命 题的热点. 3.向量的工具性作用,在三角函数、不等式、解析几何解答题 中用来描述题目的条件和结论. 1.(2016· 全国卷Ⅱ)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+ b)⊥b,则 m=( A.-8 C.6 ) B.-6 D.8 [解析] 由题可得 a+b=(4, m-2), 又(a+b)⊥b, ∴4×3-2×(m -2)=0,∴m=8.故选 D. [答案] D 2.(2015· 山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则 → → BD· CD=( ) 3 A.- a2 2 3 C. a2 4 3 B.- a2 4 3 D. a2 2 → → → → → [解析] ∵BD=BC+BA,且CD=BA, → → → → → ∴BD· CD=(BC+BA)· BA → → → =BC· BA+BA2 → → → =|BC||BA|cos60° +|BA|2 1 3 = a2+a2= a2.故选 D. 2 2 [答案] D → → → 3.(2017· 福建龙岩二模)已知向量OA与OB的夹角为 60° ,且|OA| → → → → → → m =3, |OB|=2, 若OC=mOA+nOB, 且OC⊥AB, 则实数 n 的值为( 1 A. 6 C.6 [ 解析 ] 1 B. 4 D.4 → → → → 由题意知 OA · OB = 3×2×cos60° = 3. 又∵ OC = mOA + ) → → → → → → → → → → nOB,OC ⊥ AB ,∴OC· AB = (mOA + nOB)· ( OB -OA )= nOB 2+ (m - → → → → → → → 2 n)OA· OB-mOA =0,又∵|OA|=3,|OB|=2,OA· OB=3,∴4n+3(m m 1 -n)-9m=n-6m=0,∴ n = .故选 A. 6 [答案] A 4.(2016· 天津卷)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点, 连接 DE 并延长到点 F, 使得 DE=2EF, → → 则AF· BC的值为( A.- 1 C. 4 5 8 1 B. 8 ) 11 D. 8 → → → [解析] 解法一:∵BC=AC-AB, → → → 1→ 3→ 1→ 3→ AF=AD+DF= AB+ DE= AB+ AC, 2 2 2 4 → → → → ? → →? ?1 3 ∴BC· AF=(AC-AB)? AB+ AC? 4 ? ?2 ? 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 = ×1×1× - + - ×1×1× = - + - = ,选 B. 2 2 2 4 4 2 4 2 4 8 8 解法二:以 BC 为 x 轴,E 为坐标原点建立如图所示平面直角坐 标系,易知 A?0, ? ? ? 1 ? 1 ? ?1 ? 3? 3? ?,B?- ,0?,E(0,0),C? ,0?,D?- , ?. ? 2 ? ?2 ? 2? 4? ? 4 → → 又DE=2EF,设 F(x,y), ?1 3? ∴? ,- ?=2(x,y), 4? ?4 ?1 1 3 3? ∴x= ,y=- ,∴F? ,- ?, 8 8 8? ?8 → → ?1 5 ? 1 1 ∴AF· BC=?8,-8 3?· (1,0)= +0= . 8 8 ? ? [答案] B 5.(2017· 山东卷)已知 e1,e2 是互相垂直的单位向量,若 3e1- e2 与 e1+λe2 的夹角为 60° ,则实数 λ 的值是________. [解析] 2 ∵( 3e1-e2)· (e1+λe2)= 3e2 e2 - e1 · e2-λe2 = 3 1 + 3 λe1 · -λ,| 3e1-e2|= |e1+λe2|= ? 3e1-e2?2= 3e2 e2+e2 1-2 3e1· 2=2, 1+λ2, 3 . 3 ?e1+λe2?2= 2 e2 e2+λ2e2 = 1+2λe1· ∴ 3-λ=2× 1+λ2×cos60° = 1+λ2,解得 λ= [答案] 3 3 考点一 平面向量的概念及线性运算 1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好 基底,变形要有方向不能盲目转化. 2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第 一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量; 在用三角形减 法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量. [对点训练] → → 1.(2017· 唐山模拟)在等腰梯形 ABCD 中,AB=-2CD,M 为 → BC 的中点,则AM=( ) 1→ 1→ 3→ 1→ A. AB+ AD B. AB+ AD 2 2 4 2 3→ 1→ 1→ 3→ C. AB+ AD D. AB+ AD 4 4 2 4 → → → → [解析] 因为AB=-2CD,所以AB=2DC.又 M 是 BC 的中点, → 1 → → → → 1→? 1 → → → 1? ?→ ? 3 所以AM= (AB+AC)= (AB+AD+DC)= ?AB+AD+ AB?= AB 2 2 2? 2 ? 4 1→ + AD,故选 B. 2 [答案] B 2. (2017· 河北三市联考)已知 e1, e2 是不共线向量, a=me1+2e2, m b=ne1-e2,且 mn≠0,若 a∥b,则 n 等于( A.- 1 1 B. C.-2 D.2 2 2 ) [解析] m 故 n =-2. [答案] ?λn=m, ∵a∥b, ∴a=λb, 即 me1+2e2=λ(ne1-e2), 则? ?-

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