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河北省唐山市2014届高三3月第一次模拟考试数学文试题(WOR版)


唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学
一、选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中 有一项是符合题目要求的. 1. 设 (2 ? i) z ? 3 ? 4i, 则 z= A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i 1 0 2
2.下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位: 元) , 则销售额中的中位数是 A.30.5 B.31.5 C.31 D.32
2 3.己知集合 A= {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,B= {x | log 4 ?  } ,则
x

2 3 4

0 1 3

1 1 8

4 2 6

1 2

A.A∩B=? B.B?A 4. 下列函数是奇函数的是 A. f ( x) ? ? x B. f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) C. f ( x) ? 2x ? 2? x D.

C.A∩CRB=R

D.A?B

f ( x) ? x3 ?1
C.4850 D.2550

5.执行右边的程序框图,则输出的 S 是 A.5040 B.2450

6.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ?
n n-1 n

S 5 5 , a2 ? a4 ? , 则 n 2 4 an
D.2
n-1

A.4 -1 B.4 C.2 -1 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 C.3
→ →

B.2 3 D.3 3
→ →

8.已知向量 a =(1, x ), b =(x-1, 2), 若 a ∥ b , 则 x= A.-1 或 2 B.-2 或 1 C.1 或 2 D.-1 或-2 9.正三棱锥的高和底面边长都等于 6,则其外接球的表面积为 A.8? B.16? C.32? D.64? 10.双曲线 x ? y ? 4 左支上一点 P (a,b) 到直线 y =x 的距离
2 2

为 2 , 则a ?b ? A.-2 11.若 sin( 2 A.-9

B.2

C.-4

D.4

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) ? 6 3 3
2 B.9 7 C.-9 7 D.9

1/7

12.各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 3Sn ? an an ?1 , 则 A.

?a
k ?1

n

2k

?
n (5n ? 1) 2

n( n ? 5) 2

3n ( n ? 1) 2 (n ? 3)(n ? 5) D. 2
B.

C



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中横线上. 13.函数 y= log3(2cos x?1) , x ? (?

2? 2? , ) 的值域是 3 3

.

? ?y≤x+1 14. 设变量 x, y 满足约束条件?y≥2x-4, 则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 . ? ?x+2y≥2 15.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 A 到抛物线的准线的
距离为 4,则|AB|= . 16 .曲线 y ? a ln x( a ? 0) 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 ,则

a=

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且 4bsinA= 7 a . (I)求 sinB 的值; (II)若 a, b, c 成等差数列,且公差大于 0,求 cosA-cosC 的值.

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为 350 个,700 个,1050 个,现用分层抽样的方法 随机抽取 6 个零件进行检验. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数; (Ⅱ)从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个,已知这两个零件都不是甲车床加工的,求其 中至少有一个是乙车床加工的概率. .

2/7

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, O 是 AC 的中点, A1O⊥平面 ABC, ∠BCA=90°, AA1=AC=BC. (I)求证: AC1⊥平面 A1BC; (II)若 AA1=2,求三棱锥 C-A1AB 的高的大小.

A1

C1

B1

A

O B

C

20. (本小题满分 12 分) P 为圆 A: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的动点,点 B(1,0).线段 PB 的垂直平分线与半径 PA 相交 于点 M,记点 M 的轨迹为 ? . (I)求曲线 ? 的方程; 2 2 (II)当点 P 在第一象限,且 cos∠BAP= 3 时,求点 M 的坐标.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e ?1. .
x

(I)求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)设 g ( x) ?

f ( x) , x ? ?1, 且x ? 0 ,证明: g ( x) <1. x

3/7

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4―1:几何证明选讲 如图,AE 是圆 O 的切线,A 是切点,AD⊥OE 于 D, 割线 EC 交圆 O 于 B、C 两点. (Ⅰ)证明:O,D,B,C 四点共圆; (Ⅱ)设∠DBC=50°,∠ODC=30°,求∠OEC 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4―4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?10 ? t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ?y ? t
2

为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4? sin ? ? 2 ? 0 . (Ⅰ)把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)将直线 l 向右平移 h 个单位,所对直线 l ? 与圆 C 相切,求 h.

24. (本小题满分 10 分)选修 4―5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a, a ? R, g ( x) ? 2x ?1 . (Ⅰ)若当 g ( x) ? 5 时,恒有 f ( x) ? 6 ,求 a 的最大值; (Ⅱ) 若当 x ? R 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 3, 求 a 的取值范围.

4/7

唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷:ABDCC DBAAB B 卷:DCABB CDADA 二、填空题: (13)(-∞,1] DC CB (14)6 16 (15) 3 (16)8

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由 4bsin A= 7a,根据正弦定理得 4sin Bsin A= 7sin A, 7 所以 sin B= 4 . (Ⅱ)由已知和正弦定理以及(Ⅰ)得 7 sin A+sin C= 2 . 设 cos A-cos C=x, 7 ①2+②2,得 2-2cos(A+C)= 4 +x2. 又 a<b<c,A<B<C,所以 0?<B<90?,cos A>cos C, 3 故 cos(A+C)=-cos B=- 4 . 7 代入③式得 x2= 4 . 7 因此 cos A-cos C= 2 .

?4 分

① ② ③ ?7 分

?10 分

?12 分

(18)解: (Ⅰ)由抽样方法可知, 从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为 1,2,3. (Ⅱ)即抽取的 6 个零件为 a1,b1,b2,c1,c2,c3. 事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”的可能结果为 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3), (c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共 10 种可能; 事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3), 共 7 种可能. 故所求概率为 P=0.7. (19)解: (Ⅰ)因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 A1ACC1,所以 AC1⊥BC. 因为 AA1=AC,所以四边形 A1ACC1 是菱形,所以 AC1⊥A1C. 所以 AC1⊥平面 A1BC.

?3 分

?8 分

?10 分 ?12 分

?2 分 ?6 分

5/7

A1

C1

B1

A

O B

C

(Ⅱ)设三棱锥 C-A1AB 的高为 h. 1 由(Ⅰ)可知,三棱锥 A-A1BC 的高为 2 AC1= 3. 1 1 因为 VC-A1AB=VA-A1BC,即 3 S△A1ABh= 3 S△A1BC· 3. 在△A1AB 中,AB=A1B=2 2,AA1=2,所以 S△A1AB= 7. ?10 分 1 在△A1BC 中,BC=A1C=2,∠BCA1=90?,所以 S△A1BC= 2 BC·A1C=2. 2 21 所以 h= 7 . ?12 分

(20)解: (Ⅰ)圆 A 的圆心为 A (-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|,于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆,a= 2,c=1,b=1, x2 曲线 Γ 的方程为 2 +y2=1. ?5 分 2 2 5 2 2 (Ⅱ)由 cos ∠BAP= 3 ,|AP|=2 2,得 P 3 , 3 . 2 于是直线 AP 方程为 y= 4 (x+1). x2 2 2 +y =1, 7 由 解得 5x2+2x-7=0,x1=1,x2=- 5 . 2 y= 4 (x+1), 2 由于点 M 在线段 AP 上,所以点 M 坐标为 1, 2 .

(

)

?8 分

? ? ?

(

)

?12 分

(21)解: (Ⅰ)f ?(x)=-xex. 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. 所以 f (x)的最大值为 f (0)=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x>0 时,f (x)<0,g (x)<0<1. 当-1<x<0 时,g (x)<1 等价于设 f (x)>x. 设 h (x)=f (x)-x,则 h ?(x)=-xex-1. 当 x∈(-1,-0)时,0<-x<1,0<ex<1,则 0<-xex<1, 从而当 x∈(-1,0)时,h ?(x)<0,h (x)在(-1,0]单调递减. 当-1<x<0 时,h (x)>h (0)=0,即 g (x)<1. 综上,总有 g (x)<1.
6/7

?5 分 ?7 分

?12 分

(22)解: (Ⅰ)连结 OA,则 OA⊥EA.由射影定理得 EA2=ED·EO. ED EC 由切割线定理得 EA2=EB·EC,故 ED·EO=EB·EC,即BD=EO, 又∠OEC=∠OEC,所以△BDE∽△OCE,所以∠EDB=∠OCE. 因此 O,D,B,C 四点共圆.
A

?6 分

E B

D

O

C

(Ⅱ)连结 OB.因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180?,结合(Ⅰ)得 ∠OEC=180?-∠OCB-∠COE=180?-∠OBC-∠DBE =180?-∠OBC-(180?-∠DBC)=∠DBC-∠ODC=20?.

?10 分

7/7


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