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高中数学奇偶性练习题及答案


函数的奇偶性与周期性 一、填空题 m 1.已知函数 f(x)=1+ 是奇函数,则 m 的值为________. ex-1 m m 解析:∵f(-x)=-f(x),即 f(-x)+f(x)=0,∴1+ +1+ =0, e-x-1 ex-1 ∴2- mex m m + =0,∴2+ (1-ex)=0,∴2-m=0,∴m=2. ex-1 ex-1 ex-1

答案:2 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=________. 解析:设 x<0,则-x>0,f(-x)=2-x-3=-f(x),故 f(x)=3-2-x,所以 f(-2)=3 -22=-1. 答案:-1 1 3.已知函数 f(x)=a- ,若 f(x)为奇函数,则 a=________. 2x+1 1 1 解析:解法一:∵f(x)为奇函数,定义域为 R,∴f(0)=0?a- =0?a= . 2 20+1 1 经检验,当 a= 时,f(x)为奇函数. 2 1 1 解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 a- =-?a-2x+1?. ? ? 2-x+1 1 2x 1 ∴2a= + =1,∴a= . 2 2x+1 1+2x 1 答案: 2 4.若 f(x)=ax2+bx+3a+b 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则 a=________,b= ________. 1 解析:由 a-1=-2a 及 f(-x)=f(x),可得 a= ,b=0. 3 1 答案: 0 3

5.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是________.

解析:由奇函数的定义画出函数 y=f(x),x∈[-5,5]的图象.由图象可知 f(x)<0 的解集 为:{x|-2<x<0 或 2<x<5}. 答案:{x|-2<x<0 或 2<x<5} 6.

(2010· 全国大联考三江苏卷)定义在[-2,2]上的偶函数 f(x),它在[0,2]上的图象是一 条如图所示的线段,则不等式 f(x)+f(-x)>x 的解集为________. x 解析:f(x)+f(-x)>x 即 f(x)> ,如图,由数形结合法可知不等式的解集为 2 [-2,1).

答案:[-2,1) 二、解答题 7.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+x+1,求 f(x)的解析式. 解:设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)3-x+1=-x3-x+1. 由 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴-x3-x+1=-f(x),即 f(x)=x3+x-1. x3+x+1 (x>0) ? ? ∴x<0 时,f(x)=x3+x-1,又 f(x)是奇函数.∴f(0)=0,∴f(x)=?0 (x=0) ? ?x3+x-1 (x<0) 8.f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x),又当 x∈(0,1)时,f(x)=2x-1, 1 求 f(log 6)的值. 2 解:∵x∈(0,1)时,f(x)=2x-1.∴x∈(-1,0)时,f(x)=-f(-x)=-2-x+1, 1 ∵4<6<8,∴-3<log 6<-2.又 f(x+2)=f(x),知 f(x)是周期为 2 的函数. 2 1 1 1 ∵-1<log 6+2<0,∴f(log 6)=f(log 6+2)= 2 2 2 13 3 1 =-2-log +1=- +1=- . 22 2 2 2.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间 [0,7]上只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. 解:(1)∵f(1)=0,且 f(x)在[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0,且 f(2-x)=f(2+x), 令 x=-3,f(-1)=f(5)≠0,∴f(-1)≠f(1),且 f(-1)≠-f(1). ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)f(10+x)=f[2+(8+x)]=f[2-(8+x)]=f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f[7+(13+x)] =f(20+x),∴f(x)以 10 为周期.又 f(x)的图象关于 x=7 对称知,f(x)=0 在(0,10)上有 两个根,则 f(x)=0 在(0,2 005]上有 201× 2=402 个根;在[-2 005,0]上有 200× 2=400 个根;因此 f(x)=0 在闭区间上共有 802 个根. 同步练习 g3.1012 函数的奇偶性和周期性

.

1—13、DAABD 16(1)偶函数

BDDD C

AAC.

14、 f ( x) ? ? x2 ? 2x( x ? 0) 17(1)偶函数 (2)T=2

15、0;0

(2)奇函数

? ?3 ? 33 ? 18、 ?1, ? ? 2 ? ?

1 1 19(1) f ( ) ? 2, f ( ) ? 4 2 2 4

函数的奇偶性与周期性
1、若 f ( x) ( x ? R) 是奇函数,则下列各点中,在曲线 y ? f ( x) 上的点是 1 (A) (a, f (?a)) (B) (? sin ?,? f (? sin ?)) (C) (? lg a,? f (lg )) (D) (?a,? f (a)) a
3.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) , 则 f ( ) 的值是(

5 2



A. 0

B.

1 2

C. 1

D.

5 2

4、 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) =0 在区间(0,6)内解的 个数的最小值是 A.5 B.4 C.3 1? x .若f (a ) ? b.则f (?a ) ? 6、已知函数 f ( x) ? lg 1? x 1 1 A.b B.-b C. D.- b b D.2

8.函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( (A) f ( x ) 是偶函数 (B) f ( x ) 是奇函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2)

) (D) f ( x ? 3) 是奇函数 ).

9.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

10. 已 知 函 数 f ( x ) 是 (??, ??) 上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 f ( x? 2 时, ) ? f ( x), 且 当 x ? [ 0 , 2 ) ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 f ( x) ? l o 2 g x (? ) 1 A. ? 2 B. ? 1 C. 1 ( )

D. 2 )

x 11. 已知函数 f ( x ) 满足: x ≥ 4, 则 f ( x ) = ( ) ;当 x < 4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3)=(

(A)

1 24

(B)

1 12

(C)

1 8

1 2 3 (D) 8

12 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是( (A) (

1 3



1 2 1 2 1 2 1 2 , ) (B) [ , ) (C)( , ) (D) [ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3 14、已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ,则 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为 _______________ x?m 15、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ? 2 ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1

, 1] 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且是奇函数,若 f (a 2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,求实数 a 18、定义在 [ ?1

的范围.


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