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2015高考数学二轮复习热点题型专题三十三 数列及其综合应用


专题三十三 数列及其综合应用 【高频考点解读】 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问 题. 【热点题型】 题型一 数列综合应用题 )

例 1、已知 log2x,log2y,2 成等差数列,则 M(x,y)的轨迹的图象为(

【提分秘籍】数列综合应用题的解题步骤 1.审题——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题. 2.分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个“步骤”分别是数 列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等. 3.求解——分别求解这些小题或这些“步骤”,从而得到整个问题的解答. 4. 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合, 无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所 了解. 【举一反三】 数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n 1,…的前 n 项和 Sn>1 020,


那么 n 的最小值是( A.7

) C.9 D.10

B.8

【热点题型】 题型二 常见的数列模型

例 2、 有一种细菌和一种病毒, 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个, 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( A.6 秒钟 B.7 秒钟 C.8 秒钟 D.9 秒钟 )

1-2n - 解析:设至少需要 n 秒钟,则 1+21+22+…+2n 1≥100,∴ ≥100,∴n≥7. 1-2 答案:B 【提分秘籍】 1.等差数列模型:通过读题分析,由题意抽象出等差数列,利用等差数列有关知识解 决问题. 2.等比数列模型:通过读题分析,由题意抽象出等比数列,利用等比数列有关知识解决 问题. 3.递推公式模型:通过读题分析,由题意把所给条件用数列递推表达出来,然后通过分 析递推关系式求解. 4.分期付款模型 设贷款总额为 a,年利率为 r,等额还款数为 b,分 n 期还完,则 b= 【举一反三】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S4=________. r +rn a. +rn-1

【热点题型】 题型三 等差与等比数列的综合问题

例 3、(2013 年高考浙江卷)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】(1)由题意得,5a3· a1=(2a2+2)2,即 d2-3d-4=0, 故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*.

【提分秘籍】 对于等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列的通项,前 n 项和以及等 差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法. 【举一反三】 a1+a5+a9 已知等差数列{an}的公差和首项都不等于 0, 且 a2, a4, a8 成等比数列, 则 =( a2+a3 A.2 B.3 C.5 D.6 )

【热点题型】 题型四 数列与函数的综合应用

例 4、已知函数 f(x)=ln x 的图象是曲线 C,点 An(an,f(an))(n∈N*)是曲线 C 上的一系列 点,曲线 C 在点 An(an,f(an))处的切线与 y 轴交于点 Bn(0,bn).若数列{bn}是公差为 2 的等差 数列,且 f(a1)=3. (1)分别求出数列{an}与数列{bn}的通项公式;

(2)设 O 为坐标原点,Sn 表示△OAnBn 的面积,求数列{anSn}的前 n 项和 Tn.

由 f(a1)=3 得 ln a1=3, 故 b1=2, 再由数列{bn}是公差为 2 的等差数列得 bn=2+2(n-1)=2n, 于是由 2n=ln an-1 得 an=e2n 1.


【提分秘籍】 解决函数与数列的综合问题应该注意的事项 (1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点; (2)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是 很容易被忽视的问题; (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关 限制条件的转化. 【举一反三】 (2013 年高考全国新课标卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________.

【热点题型】 题型五 数列的实际应用

例 5、某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一

种,每天支付 38 元;第二种,第一天付 4 元,第二天付 8 元,第三天付 12 元,依此类推; 第三种,第一天付 0.4 元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的 2 倍,工作时间为 n 天. (1)设工作 n 天,记三种付酬方式薪酬总金额依次为 An,Bn,Cn,写出 An,Bn,Cn 关于 n 的表达式; (2)如果 n=10,你会选择哪种方式领取报酬?

【提分秘籍】 求解数列应用问题,必须明确属于哪种数列模型,是等差数列,还是等比数列;是求通 项问题,还是求项数问题,或者是求和问题.然后将题目中的量建立关系,利用数列模型去 解决. 【举一反三】 根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(单位:万 n 件)近似地满足 Sn= (21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 90 万件的月份是( A.5 月、6 月 C.7 月、8 月 ) B.6 月、7 月 D.8 月、9 月

【高考风向标】 1.(2014· 湖南卷) 已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; 1 (2)若 p= ,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 2

2.(2014· 安徽卷) 设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px;

p-1 1 c - 1 (2)数列{an}满足 a1>c ,an+1= a + a1 p,证明:an>an+1>c . p p n p n p

1 (2)方法一:先用数学归纳法证明 an>c . p

1 综上所述,an>an+1>c ,n∈N*. p

1 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>an+1>c 均成立. p 3.(2014· 湖北卷) 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由.

4.(2014· 江西卷) 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+
1bn+2bn+1bn=0.

an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的前 n 项和 Sn.


an+1 an 【解析】(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以 - =2,即 cn+1- bn+1 bn cn=2, 所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列,故 cn=2n-1. (2)由 bn=3n 1,知 an=(2n-1)3n 1,于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1× 30+3× 31+5× 32+…
- -

+(2n-1)× 3n 1,3Sn=1× 31+3× 32+…+(2n-3)× 3n 1+(2n-1)× 3n,将两式相减得-2Sn=1+
- -

2× (31+32+…+3n 1)-(2n-1)× 3n=-2-(2n-2)× 3n,


所以 Sn=(n-1)3n+1. 5.(2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式;
? ?

1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2

6.(2014· 四川卷) 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- 的前 n 项和 Tn. 1 ?an? ,求数列?b ? ln 2 ? n?

从而 an=n,bn=2n, an an n 所以数列{ }的通项公式为 = n, bn bn 2

7. (2014· 浙江卷) 已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*). 若{an}为等比数列, 且 a1=2,b3=6+b2. (1)求 an 与 bn. 1 1 (2)设 cn= - (n∈N*).记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. an bn (i)求 Sn; (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈均有 Sk≥Sn.

8.(2013 年高考辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: P1:数列{an}是递增数列; P2:数列{nan}是递增数列;

an P3:数列{ }是递增数列; n P4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 )

B.p3,p4 D.p1,p4

9.(2013 年高考重庆卷)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2, a5 成等比数列,则 S8=________.

2Sn 1 2 10. (2013 年高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, =an+1- n2-n- , n 3 3 n∈N*. (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 a2 an 4

【随堂巩固】 1.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b8+a9=( A.24 C.48 ) B.32 D.64

2.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项为正数的等比数列,其公比 q≠1,若 a4=b4, a12=b12,则( A.a8=b8 C.a8<b8 ) B.a8>b8 D.a8>b8 或 a8<b8

解析:∵{bn}为等比数列,其公比 q≠1,∴b4≠b12, a4+a12 ∴a4≠a12,∴a8= > 2 答案:B 3.已知正项等差数列{an}满足:an+1+an-1=a2 n(n≥2),等比数列{bn}满足:bn+1bn-1= 2bn(n≥2),则 log2(a2+b2)=( A.-1 或 2 B. 0 或 2 C .2 D.1 ) a4a12= b4b12=b8.

1 4.各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等差数列,则 q 的值为( 2 1- 5 A. 2 C. 5+1 2 B. D. 5-1 2 5+1 5-1 或 2 2

)

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acos C,bcos B,ccos A 成等差数 列,若 b= 3,则 a+c 的最大值为( 3 A. 2 B.3 )

C.2 3 D.9

1 6.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 与 x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为 的等差数列,则 a 4 +b 的值是( 3 A. 8 13 C. 24 ) 11 B. 24 31 D. 72

π x 7.已知数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且 a5= .若函数 f(x)=sin 2x+2cos2 , 2 2 记 yn=f(an),则数列{yn}的前 9 项和为( A.0 C .9 B.-9 D.1 )

8. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》 卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,若 第一天织 5 尺布, 现在一月(按 30 天计), 共织 390 尺布”, 则每天比前一天多织________尺布. (不 作近似计算) 30× 29 16 解析:由题意知,a1=5,n=30,Sn=390=30× 5+ d?d= . 2 29 16 答案: 29 9.已知数列{an}满足 anan+1an+2an+3=24,且 a1=1,a2=2,a3=3,则 a1+a2+a3+…+ a2 013=________.

3 10.已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1, a2,a2 成等差数列. 2 (1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为-a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn,求不等式 Tn-bn>0 的 解集. 3 解析:(1)∵4a1, a2,a2 成等差数列,∴4a1+a2=3a2, 2 即 4a1=2a2,∴q=2. a1 -26 2n 1 1 则 S6= =21,解得 a1= ,∴an= . 3 3 1-2


1 (2)由(1)得-a1=- , 3 1? 7-n ∴bn=2+(n-1)? ?-3?= 3 ,
2 n ?-1?=13n-n , Tn=2n+ (n-1)· ? 3? 2 6

n- n- ∴Tn-bn>0,即- >0,解得 1<n<14(n∈N*), 6 故不等式 Tn-bn>0 的解集为{n∈N*|1<n<14}. 11.已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 + (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n· 2n 1>50 成立的正整数 n 的最小值. 2

1 1 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数 f(x)= x2+ x 的图象上. 2 2 (1)求数列{an}的通项公式;
? 1 ? 1 (2)设数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,不等式 Tn> loga(1-a)对任意正整数 n 恒成立,求实 3 ? n n+2?

数 a 的取值范围.


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