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【解析版】广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟数学理


2013 年广东省茂名市高考数学一模试卷 (理 科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分) (2013?茂名一模)设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|﹣1≤x≤1},则( ) B=? A.B?A B.A?B C.A=B D.A∩ 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:计算题. 分析:由已知中集合 A={x|﹣1≤x≤2}, B={x|﹣1≤x≤1}, 分析判断 x∈A?x∈B 和 x∈B?x∈A 是否成立, 进而根据子集的定义,得到答案. 解答:解:∵ 集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|﹣1≤x≤1}, x∈A={x|﹣1≤x≤2}时,x∈B={x|﹣1≤x≤1}不一定成立, x∈B={x|﹣1≤x≤1}时,x∈A={x|﹣1≤x≤2}一定成立, 故 B?A 故选 A 点评:本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,熟练掌握集合子集的定义是解答的关键.
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2. (5 分) (2013?茂名一模)计算:i(1+i) =( ) A.﹣2 B.2 C.2i D.﹣2i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:利用完全平方式展开(1+i)2,然后直接利用单项式乘多项式进行运算. 2 2 2 解答:解:i(1+i) =i(1+2i+i )=i(1﹣1+2i)=2i =﹣2. 故选 A. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的乘法,符合实数运算中的单项式乘多项式法则, 是基础题.
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2

3. (5 分) (2013?茂名一模)已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则 A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2

=(



考点:函数的值. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: 由已知可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,结合已知有
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=﹣f( ) ,代入已知可求

解答:解:∵ f(x)是奇函数, ∴ f(﹣x)=﹣f(x) ∵ x>0 时,f(x)=log2x, 则 =﹣f( )=﹣ =1

故选 B 点评:本题主要考查了奇函数的性质的简单应用,属于基础试题

4. (5 分) (2012?福建)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,则 ⊥ 的充要条件是( A. x=﹣ B.x=﹣1 C.x=5 D.x=0



考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:计算题. 分析:直接利用向量垂直的充要条件,通过坐标运算求出 x 的值即可. 解答: 解:因为向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) , ⊥, 所以 2(x﹣1)+2=0,解得 x=0. 故选 D. 点评:本题考查向量垂直条件的应用,充要条件的应用,考查计算能力.

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5. (5 分) (2009?福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则 该几何体的俯视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单空间图形的三视图. 专题:压轴题;图表型. 分析:解法 1:结合选项,正方体的体积否定 A,推出正确选项 C 即可. 解法 2:对四个选项 A 求出体积判断正误;B 求出体积判断正误;C 求出几何体的体积判断 正误;同理判断 D 的正误即可. 解答:解:解法 1:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么此几何
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体是立方体,显然体积是 1,注意到题目体积是 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 解法 2:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时, 该几何体是圆柱, 底面积是 当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱, 故体积是 , , 高为 1, 则体积是 ;

当俯视图是 D 时,该几何是圆柱切割而成, 其体积是 .

故选 C. 点评:本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力;注意三视 图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 6. (5 分) (2013?东莞二模)已知函数 y=sinx+cosx,则下列结论正确的是( A. B. 此函数的最大值为 1; 此函数的图象关于直线 对称 C. 此函数在区间 上是增函数. D.此函数的最小正周期为 π. )

考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数 的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 解答: 解:因为函数 y=sinx+cosx= sin(x+ ) ,
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时函数值为:0,函数不能取得最值,所以 A 不正确; sin(x+ ) ,当 x= ) ,即 x 在 上是增函数,正确. 时函数取得最大值为 ,B 不正确;

函数 y=sinx+cosx= 因为函数 x+ 间 ∈(

上函数是增函数,所以函数在区

函数的周期是 2π,D 不正确; 故选 C. 点评:本题考查三角函数的化简求值,正弦函数的周期与最值、单调性与对称性,考查基本知识的 应用. 7. (5 分) (2013?淄博一模) 某程序框图如图所示, 该程序运行后, 输出的 x 值为 31, 则 a 等于 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用 循环计算 x 值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案. 解答:解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: n x 是否继续循环 第一圈 2 2a+1 是 第二圈 3 4a+2+1 是 第三圈 4 8a+4+2+1 否 则输出的结果为 8a+4+2+1=31,所以 a=3. 故选 D. 点评:本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是解答此类问 题最常用的办法.
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8. (5 分) (2013?茂名一模)已知 x、y 满足约束条件

若 0≤ax+by≤2,则

的取值范

围为( ) A.[0,1]

B.[1,10]

C.[1,3]

D.[2,3]

考点:简单线性规划. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:作出题中不等式组对应的平面区域,得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(0,1) ,B(2,1) , C(1,2) .因为不等式 0≤ax+by≤2 对约束条件的所有 x、y 都成立,所以可得关于 a、b 的不 等式组成立,在 aob 坐标系内作出相应的平面区域并利用 P(﹣1,﹣2) 、Q(a,b)两点连
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线的斜率,即可得到 解答: 解:作出不等式组

的取值范围.

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(0,1) ,B(2,1) ,C(1,2) ∵ 不等式 0≤ax+by≤2 对于约束条件的所有 x、y 都成立

∴ 记 F(x,y)=ax+by,可得



,在 aob 坐标系中作出不等式组表示的平面区域,

得到如图的四边形 MKNO 及其内部,

其中 M(1,0) ,K( , ) ,N(﹣ , ) ,O 是坐标原点 而 k= 表示点 P(﹣1,﹣2)与 Q(a,b)连线的斜率,

点 Q 是四边形 MKNO 内部或边界一点 运动点 Q 可得:当 Q 与 M 重合时,k 达到最小值,kmin= =1

当 Q 与 N 重合量,k 达到最大值,kmax=

=10



的取值范围为[1,10]

故答案为:[1,10]

点评: 本题给出二元一次不等式组,在 0≤ax+by≤2 恒成立的情况下,求

的取值范围.着重考查

了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率和简单的线性规划等知识,属于基础题. 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) . (一)必做 题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. (5 分) (2013?茂名一模)已知等比数列{an}的公比 q 为正数,且 ,则 q= .

考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列.

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分析:设出等比数列的首项,由等比数列的通项公式写出 a ,a ,a ,代入 3 9 5 求得 q 的值. 解答:解:设等比数列的首项为 a1, 由 即 ,得: , ,

后可直接

∵ a1≠0,q>0,∴ q= . 故答案为 . 点评:本题考查了等比数列的通项公式,解答时注意等比数列中不含有为 0 的项,是基础的计算题 10. (5 分) (2013?潮州二模) = e
2



考点:定积分. 专题:计算题. 分析: 2 2 欲求定积分,先求原函数,由于(lnx)′ = , ( x )′ =2x,故 2x+ 的原函数是 x +lnx,从而
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问题解决. 解答: 2 解:∵ (lnx)′ = , ( x )′ =2x, ∴ =x | +lnx|1 =e ﹣1+lne﹣ln1 2 =e 2 故答案为:e 点评:本小题主要考查定积分、 定积分的应用、 原函数的概念解法等基础知识, 考查运算求解能力. 属 于基础题. 11. (5 分) (2013?青岛一模)已知双曲线 x ﹣ky =1 的一个焦点是 为 y=±2x . 考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据双曲线方程,得 a2=1,b2= ,结合题意得 c=
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2 1e

e

2

2

2

,则其渐近线方程

=

,解出 k= ,从而得到双曲线方

程,由此不难得出该双曲线的渐近线方程. 解答: 2 2 2 解:双曲线 x ﹣ky =1 化成标准方程得 x ﹣

=1,

得 a =1,b = ,

2

2

∴ c= ∵ 双曲线的一个焦点是( ∴ = ,0) ,
2

,解之得 k= ,双曲线方程为 x ﹣

=1,

得 a=1,b=2 ∴ 该双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y=±2x 故答案为:y=±2x. 点评:本题给出含有参数的双曲线方程,在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程,着重 考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

12. (5 分) (2013?茂名一模) 为 ﹣160 . 考点:二项式定理的应用. 专题:计算题. 分析: 根据题意,

的展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中常数项

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的展开式的二项式系数之和为 64, 由二项式系数的性质, 可得 2 =64,

n

解可得,n=6;进而可得二项展开式,令 6﹣2r=0,可得 r=3,代入二项展开式,可得答案. 解答:解:由二项式系数的性质,可得 2n=64,解可得,n=6; (2x﹣ ) 的展开式为为 Tr+1=C6
6 6 ﹣r

?(2x)

6﹣r

?(﹣ ) =(﹣1) ?2

r

r

6﹣r

?C6

6﹣r

?(x)

6﹣2r



令 6﹣2r=0,可得 r=3, 则展开式中常数项为﹣160. 故答案为:﹣160. 点评:本题考查二项式定理的应用,注意系数与二项式系数的区别. 13. (5 分) (2013?茂名一模)2 ×1=2,2 ×1×3=3×4,2 ×1×3×5=4×5×6,2 ×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此 n 类推,第 n 个等式为 2 ×1×3×…(2n﹣1)=(n+1)?…(2n﹣1)?2n . 考点:归纳推理. 专题:综合题. 分析:由已知中 21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…,式子左边是 2 的指数幂与连续奇数的积,式子右边是连续整数的积,分析出等式两边数的个数及起始数与 n 的关系,即可推断出答案. 解答:解:观察已知中的等式: 1 2 ×1=2, 2 2 ×1×3=3×4, 3 2 ×1×3×5=4×5×6, 4 2 ×1×3×5×7=5×6×7×8, …
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1

2

3

4

由此推断,第 n 个等式为: 2 ×1×3×…(2n﹣1)=(n+1)?…(2n﹣1)?2n n 故答案为:2 ×1×3×…(2n﹣1)=(n+1)?…(2n﹣1)?2n 点评:本题考查的知识点是归纳推理,其中分析出等式两边数的个数及起始数与 n 的关系,是解答 本题的关键.
n

14. (5 分) (2013?茂名一模)已知曲线 C 的参数方程为 点到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值为 3 .

(θ 为参数) ,则曲线上 C 的

考点:参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析:由参数方程可得 cosθ=x﹣2,sinθ=y,利用同角三角函数的基本关系消去 θ,化为普通方程, 表示圆,求出圆心到直线的距离,把此距离加上半径即得曲线上 C 的点到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值. 解答: 解:∵ 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,∴ cosθ=x﹣2,sinθ=y,
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平方相加可得 (x﹣2) +y =1,表示以(2,0)为圆心,以 1 为半径的圆. 圆心到直线的距离等于 =2,

2

2

故曲线上 C 的点到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值为 2+r=2+1=3. 故答案为 3. 点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位 置关系,属于基础题. 15. (2013?茂名一模)如图,⊙ O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 p 点作⊙ O 的切线, 切点为 C,连接 AC,若∠ CPA=30°,PC= cm.

考点:圆的切线的性质定理的证明. 专题:计算题;压轴题. 分析:在圆中线段利用由切线定理求得∠ OCP=Rt∠ ,进而利用直角三角形 PCO 中的线段,结合解直 角三角形求得 PC 即可. 解答:解:连接 OC, PC 是⊙ O 的切线, ∴ ∠ OCP=90°
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∵ ∠ CPA=30°,OC=

=3,

∴ tan30°= 即 PC= 故填:

, . .

点评:此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及切线定理,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2013?菏泽二模)如图所示,角 A 为钝角,且 (1)AP=5,PQ= (2)设 ,求 AQ 的长; 的值. ,点 P、Q 分别在角 A 的两边上.

考点:解三角形. 专题:计算题. 分析:(1)由 A 为钝角,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值,然后利用余弦定理得到 关于 AQ 的方程,求出方程的解即可得到满足题意的 AQ 的长; (2)由 cosα 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,根据三角形的内角和定理 及诱导公式求出 sinA 的值及 cosA 的值,然后把 2α+β 变为 α+(α+β) ,利用两角和的正弦函 数公式化简后,分别将各自的值代入即可求出所求式子的值. 解答: 解: (1)∵ ∠ A 是钝角, ,∴ ,
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在△ APQ 中,PQ =AP +AQ ﹣2AP?AQcosA, ∴ ,

2

2

2

解得 AQ=2 或 AQ=﹣10(舍)即 AQ=2; (2)由 cosα= ,得 sinα= ,

又 sin(α+β)=sinA= ,cos(α+β)=﹣cosA= ,

∴ sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=



点评:此题要求学生灵活运用余弦定理化简求值,掌握三角形的内角和定理,灵活运用两角和的正 弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道综合题. 17. (12 分) (2013?茂名一模)某连锁超市有 A、B 两家分店,对该超市某种商品一个月 30 天的销 售量进行统计:A 分店的销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天;B 分店的统计结果如下表: 300 400 销售量(单位:件) 200 10 15 5 天 数 (1)根据上面统计结果,求出 B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率; (2)已知每件该商品的销售利润为 1 元,ξ 表示超市 A、B 两分店某天销售该商品的利润之和,若 以频率作为概率,且 A、B 两分店的销售量相互独立,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析:(1)根据频率的意义即可得出; (2)利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其 数学期望即可得出. 解答: 解: (1)B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率分别为 , , .即 , 和 .
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(2)A 分店销售量为 200 件、300 件的频率均为 , ξ 的可能值为 400,500,600,700,且 P(ξ=400)= P(ξ=600)= ξ 的分布列为 ξ P 400 500 600 700 ,P(ξ=500)= ,P(ξ=700)= , ,

Eξ=400× +500×

+600× +700×

=

(元) .

点评:正确理解频率的意义,熟练掌握相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、 随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键. 18. (14 分) (2013?茂名一模)如图,四边形 PDCE 为矩形,四边形 ABCD 为梯形,平面 PDCE⊥ 平 面 ABCD,∠ BAD=∠ ADC=90°,AB=AD= CD=a,PD= (1)若 M 为 PA 中点,求证:AC∥ 平面 MDE; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小. a.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题:计算题. 分析:(1)连接 PC,交 DE 与 N,连接 MN,所以 MN∥ AC,再根据线面平行的判定定理可得答案. (2)以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系,分别求出两个平面的法向量,再求出两个向量的夹角,进而转化为二面角的平面角. 解答:解: (1)证明:连接 PC,交 DE 与 N,连接 MN, 在△ PAC 中,∵ M,N 分别为两腰 PA,PC 的中点 ∴ MN∥ AC,…(2 分) 又 AC?面 MDE,MN?面 MDE, 所以 AC∥ 平面 MDE.…(4 分) (2)以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系, 则 P(0,0, a) ,B(a,a,0) ,C(0,2a,0) ,
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所以 设平面 PAD 的单位法向量为 设面 PBC 的法向量

, ,则可取 ,

,…(6 分) …(7 分)

则有

即:

,取 z=1,





…(10 分)

设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 θ,



…(11 分)

∴ θ=60°, 所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 60°…(12 分)

点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,求二面角的平面角的 关键是找到角,再求出角,解决此类问题也可以建立坐标系,利用空间向量求出空间角与空 间距离. 19. (14 分) (2013?茂名一模)已知数列{an},{bn}中,a1=b1=1,且当 n≥2 时,an﹣nan﹣1=0, .记 n 的阶乘 n(n﹣1) (n﹣2)…3?2?1≈n! (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列 为等差数列;

(3)若

,求{cn}的前 n 项和.

考点:数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析:(1)把递推式 an﹣nan﹣1=0 变形后进行循环,可以得到 an=n(n﹣1) (n﹣2)…3?2?1=n!,验 证 a1 成立,则数列{an}的通项公式可求;
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(2)把给出的递推式两边同时除以 2 ,移向整理即可证得数列

n

为等差数列;

(3)把数列{an}的通项代入

,把数列{bn}的通项代入

,利用裂项相消和错位相

减法分别求出数列{

}和{

}的和后直接作和即可.

解答:(1)解:∵ an﹣nan﹣1=0(n≥2) ,a1=1, ∴ an=nan﹣1=n(n﹣1)an﹣2=n(n﹣1) (n﹣2)an﹣3=… =n(n﹣1) (n﹣2)…3?2?1=n! 又 a1=1=1!,∴ an=n! (2)证明:由 ,两边同时除以 2 得:
n

,即



∴ 数列{

}是以 为首项,公差为

的等差数列,



,故



(3)解:因为





记 An= = = 记{ 则 ∴ 由② ﹣① 得: = ∴ Sn=c1+c2+c3+…+cn= 所以数列{cn}的前 n 项和为 . . . . }的前 n 项和为 Bn. ① ②

点评:本题考查了等差关系的确定,考查了等差数列和等比数列通项公式的求法,考查了利用裂项 相消和错位相减法求数列的前 n 项和,是中档题.

20. (14 分) (2013?茂名一模)已知椭圆 圆的四个顶点得到的四边形的面积为 (1)求椭圆 C1 的方程; .

的离心率为

,连接椭

(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R,求该圆 面积的最小值时点 S 的坐标. 考点:直线与圆锥曲线的关系;圆的一般方程;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:(1)利用椭圆的离心率、参数 a、b、c 的关系及菱形的面积计算公式即可得出; (2)利用线段的垂直平分线、抛物线的定义即可得出; (3)利用向量的垂直与数量积的关系、基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出. 解答:
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解: (1)由题意可知

解得

所以椭圆 C1 的方程是



(2)∵ |MP|=|MF2|,∴ 动点 M 到定直线 l1:x=﹣1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离, ∴ 动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线, 2 所以点 M 的轨迹 C2 的方程 y =4x. (3)∵ 以 OS 为直径的圆 C2 相交于点 R,∴ 以∠ ORS=90°,即 设 S (x1,y1) ,R(x2,y2) , , . .



=x2(x2﹣x1)+y2(y2﹣y1)=

=0,

∵ y1≠y2,y2≠0,化简得







当且仅当

,即

,y2=±4 时等号成立.

圆的直径|OS|= ∵ ≥64,∴ 当

= =64,y1=±8,

= ,

=



所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,±8) .

点评:熟练掌握圆锥曲线的定义及其性质、线段的垂直平分线、菱形的面积计算公式、向量的垂直 与数量积的关系、基本不等式的性质、二次函数的单调性是解题的关键.

21. (14 分) (2013?东莞二模)已知函数 导函数. (1)若 a=1,求 g(x)的单调减区间; (2)若对任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2,都有

,函数 f(x)是函数 g(x)的

,求实数 a 的取值范

围; (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意 x∈[M,0] 时|f(x)|≤4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)求导数,利用导数小于 0,可得函数的单调减区间. (2)先
2

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用函数 f(x)的表达式表示出来,再进行化简

得﹣ (x1﹣x2) <0,由此式即可求得实数 a 的取值范围; (3)本小题可以从 a 的范围入手,考虑 0<a<2 与 a≥2 两种情况,结合二次的象与性质,综 合运用分类讨论思想与数形结合思想求解. 解答: 3 2 2 解: (1)当 a=1 时,g(x)= x +2x ﹣2x,g′ (x)=x +4x﹣2 …(1 分) 由 g′ (x)<0 解得﹣2﹣ <x<﹣2+ ∴ 当 a=1 时函数 g(x)的单调减区间为 (﹣2﹣ 2 (2)易知 f(x)=g′ (x)=x +4x﹣2 依题意知 …(2 分) ,2+ ) ;…(3 分)

=a(

) +4×

2

﹣2﹣

=﹣ (x1﹣x2) <0 …(5 分) 因为 x1≠x2,所以 a>0,即实数 a 的取值范围是(0,+∞) ;…(6 分) (3)易知 f(x)=ax +4x﹣2=a(x+ ) ﹣2﹣ ,a>0. 显然 f(0)=﹣2,由(2)知抛物线的对称轴 x=﹣ <0 …(7 分)
2 2

2

① 当﹣2﹣ <﹣4 即 0<a<2 时,M∈(﹣ ,0)且 f(M)=﹣4

令 ax +4x﹣2=﹣4 解得 x= 此时 M 取较大的根,即 M= =

2

…(8 分) …(9 分)

∵ 0<a<2,∴ M=

=

>﹣1

…(10 分)

② 当﹣2﹣ ≥﹣4 即 a≥2 时,M<﹣ 且 f(M)=4 令 ax +4x﹣2=4 解得 x=
2

…(11 分) = …(12 分)

此时 M 取较小的根,即 M=

∵ a≥2,∴ M=

=

≥﹣3 当且仅当 a=2 时取等号 …(13 分)

由于﹣3<﹣1,所以当 a=2 时,M 取得最小值﹣3 …(14 分) 点评:本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等 基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.


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