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第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术教案新人教A版必修3


1.3.1 辗转相除法与更相减损术 一、三维目标 (a)知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 (b)过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法, 比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计算机处理的结合方 式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 (c)情态与价值观 1.通过阅读中国古代数 学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力,在利用算法解决 数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 二、教学重难点 重点:理解辗转相除法与更相减损术求最 大公约数的方法。 难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 三、学法与教学用具 学法:在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律,并能模仿已 经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经学过求最大公约数的知识,你能求出 18 与 30 的公约 数吗? 2.接着教师进一步提出问题,我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数,如果公约数比较 大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们的最大公约数?比如求 8251 与 6105 的最大公约数?这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 (二)研探新知 1.辗 转相除法 1 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 (分析:8251 与 6105 两数都比较大 ,而且没有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根据已 有的知识即可求出最大公约数) 解:8251=6105×1+2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数,同样 6105 与 2146 的公约数也 必是 8251 的约数, 所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一 个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 r0≠0,则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和一个余数 r1; 第三步:若 r1=0,则 r1 为 m,n 的最大公约数;若 r1≠0,则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和一个余数 r2; ?? 依次计算直至 rn=0,此时所得到的 rn-1 即为所求的最大公约数。 练习:利用辗转相除法求两数 4081 与 2072 3 的最大公约数(答案:53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之数,以少减多, 更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为

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