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新人教B版2016届高三单元测试16选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》


圆锥曲线与方程测试题
(本卷共 150 分,考试时间 120 分钟)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、设定点 F 1 ? PF 2 ? a ?a > 0? ,则动点 1 ? 0, ?3? , F 2 ? 0,3? ,动点 P ? x, y ? 满足条件 PF

P 的轨迹是(
A. 椭圆 2、抛物线 y ? A. ?

). B. 线段

C. 不存在 ) .

D.椭圆或线段或不存在

1 2 x 的焦点坐标为( m
B.

? 1 ? ,0 ? ? 4m ?

? 1 ? ? 0, ? ? 4m ?

C.

?m ? ? ,0 ? ?4 ?

D. ? 0,

? ?

m? ? 4?

3、双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( A. ?

). D.

1 4

B. ?4

C. 4

1 4

4、 AB 为过椭圆 A.b
2

x2 y2 + =1 中心的弦, F(c,0)为椭圆的右焦点, 则△AFB 面积的最大值是 ( ) a2 b2 B.ab C.ac D.bc

5 、设 A( x1 , y1 ), B (4, ),C (x2 , y2 )是右焦点为 F 的椭圆 “ AF , BF , CF A.充要条件 C.充分不必要条件 6、过原点的直线 l 与双曲线 A.(-

9 5

x2 y 2 ? ? 1 上三个不同的点,则 25 9
).

成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的( B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要

3 3 , ) 2 2 3 3 C.[- , ] 2 2 y2 7、过双曲线 x 2 ? ? 1 的右焦点作直线 l,交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则这样的直 2 线的条数为( ).
A. 1 8、设直线 l1 : B.2 C.3 D.4

x2 y2 - =-1 有两个交点,则直线 l 的斜率的取值范围是 4 3 3 3 B.(-∞,- )∪ ( ,+∞) 2 2 3 3 D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2

y ? 2 x ,直线 l 2 经过点(2,1),抛物线 C: y 2 ? 4 x ,已知 l1 、 l 2 与 C 共有
).

三个交点,则满足条件的直线 l 2 的条数为(

A. 1

B.2

C.3

D.4

9、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1 C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A.直线 10、 以过椭圆 位置关系是 ( ). B.相切
2 2

). D. 圆

B. 抛物线

C.双曲线

D1 B1 P

C1

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的 A 1 a 2 b2
D

C B

A
C. 相离 D.不能确定

A. 相交

11、点 P 在椭圆 7x +4y =28 上,则点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离的最大值为 A.

12 13 13

B.

16 13 13

C.

24 13 13

D.

28 13 13

12、 若抛物线 y ? ax 2 ? 1 上总存在两点关于直线 x ? y ? 0 对称,则实数 a 的取值范围是 ( ). A. ? ,?? ?

?1 ?4

? ?

B. ? ,?? ?

?3 ?4

? ?

C . ? 0, ?

? ?

1? 4?

D. ?

?1 3? , ? w ?4 4?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13、已知双曲线的渐近线方程为 y=±

3 x ,则此双曲线的离心率为________. 4

14、长度为 a 的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0且a ? 2 p) 上滑动,则线 段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离是 15、 F 1, F 2 是椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 是椭圆上任意一点,从 F1 引∠ F1PF2 的外 a 2 b2
.

角平分线的垂线,交 F2 P 的延长线于 M,则点 M 的轨迹是

16、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过 椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、 B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦 距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径忽略不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一 次回到点 A 时,小球经过的路程是_____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点的最短距离为

3 ,求此椭圆的标准方程。

18. (本小题满分 12 分) F1,F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线与 a2 b2
0

点 P 且∠P F1F2=30 ,求双曲线的渐近线方程。

19. (本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的一个焦点,并于双曲 a2 b2
3 2

线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为 ( , 6 ) ,求抛物线的方程和双曲线的方程。

20、 (本小题满分 12 分) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案是: 如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为

y2 x2 ? ? 1 ,变轨 100 25

(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称

64 ? ? 轴、 M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D( 8, 0 ) . 观 7 ? ?
测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:若航天器在 x 轴上方,则在观测点 A 、 B 测得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨指令?

21、 (本小题满分 12 分)

x2 y2 6 如图,已知椭圆 2 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 a b 3
B(a,0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问: 是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

22、(本小题满分 14 分) 设双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l 与两条渐近线相交于 P、 a2 b2

Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; (2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

b 2e 2 ,求双曲线 c 的方程. a

参考答案 一、选择题: 1、 D. 提示:当 a ? 6 时轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆; 当 a ? 6 时轨迹是线段 F1F2 ; 当a ? 6 时轨迹不存在,故选 D. 2、D 提示:∵抛物线方程的标准形式为: x2 ? my ,∴其焦点坐标为 ? 0,

? ?

m? ? ,故选 D. 4?

x2 ?1 3、A. 提示:? mx ? y ? 1 是双曲线,∴ m<0,且其标准方程为 y ? 1 ?m
2 2
2

又 ?其虚轴长是实轴长的 2 倍,∴ ? 4、D 提示:设 A(x0,y0),B(-x0,-y0),

1 1 ? 4 ,∴ m ? ? ,故选 A. m 4

1 1 c·|y0|+ c·|-y0|=c·|y0|. 2 2 2 2 x y ∵点 A、B 在椭圆 2 + 2 =1 上, ∴|y0|的最大值为 b. a b
S△ABF=S△OFB+S△OFA= ∴S△ABF 的最大值为 bc,故选 D。 5、A. 提示:?a=5,b=3,∴c=4,F(4,0) , e=

4 4 .由焦半径公式可得|AF|=5- x1, 5 5 4 9 4 4 |BF|=5- ×4= ,|CF|=5- x2,故 AF , BF , CF 成等差数列 ?(5- x1)+ 5 5 5 5 4 9 (5- x2)=2× ? x1 ? x2 ? 8 ,故选 A. 5 5

3 3 y2 x2 - =1,其渐近线的斜率 k=± ,当直线 l 的斜率为± 时, 2 2 3 4 直线与渐近线重合,直线 l 与双曲线无交点,排除 C、D.又双曲线的焦点在 y 轴上,当-
6、B 提示:双曲线方程

3 3 <k< 时,直线与双曲线无交点,故选 B。 2 2
7、C. 提示:∵ 2a ? 2, 而 AB ? 4 ,∴A,B 分别在双曲线两支上的直线有 2 条; 又∵通径长=4,∴A,B 在双曲线同一支上的直线恰有 1 条, ∴满足条件的直线共有 3 条. 故选 C. 8、C. 提示:∵点 P(2,1)在抛物线内部,且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A,B 两点, ∴过点 P 的直线 l 2 再过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意 ∴满足条件的直线 l 2 共有 3 条. 9、B. 提示:易知点 P 到直线 C1D1 的距离为 PC1 .由 C1 是定点, BC 是定直线.据题意,动点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离.由抛物线的定义,知轨迹为抛物线.故选 B.

10、C. 提示:设过焦点 P 的弦的两个端点及弦的中点分别为 A、B、P,它们在右准线上的射 影分别为 A? 、 B ? 、 P ? ,则圆心 P 到准线的距离 PP ? ?

1 ? AA? ? BB? ? ,而圆的半径= 2

AB 1 e ? ? AF ? BF ? ? ? AA? ? BB? ? ,又∵e<1,∴圆心 P 到准线的距离>圆的半径, 2 2 2
∴圆与右准线相离,故选 C. 11、C 提示:化椭圆方程为参数方程 ?

? ? x ? 2 cos ? , (α 为参数). ? ? y ? 7 sin?
| 6 cos ? ? 2 7 sin? ? 16 | | 8 cos(? ? ? ) | ?16 = . 13 13

∴点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离为 d=

∴dmax=

24 24 = 13 ,故选 C。 13 13

12、B. 提示:设 P、Q 关于 x ? y ? 0 对称,则可设直线 PQ 的方程为:
2 y ? x ? b,由y ? x ? b 和 y ? ax2 ? 1 联立,消去 y 得 , ax ? x ? b ? 1 ? 0 .

? △=1+4 a(b ? 1) ? 0 ,??①

又 PQ 中点 M ( B. 二、填空题 13、

1 1 1 , ? b) 在 x ? y ? 0 上,得 b ? ? ??② a 2a 2b

联立①②,解得 a

?

3 ,故选 4

5 5 或 . 3 4 5 5 a 3 4 ? 或 ,∴ e ? 或 . 3 4 b 4 3

提示:据题意,

14、

1 (a ? p ) 2
1 ( a ? p) . 2

提示:当线段 AB 过焦点时,点 M 到准线的距离最小 ,其 值为 15、以点 F2 为圆心,以 2a 为半径的圆.

提示: ∵|MP|=|F1P|,∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a,∴点 M 到点 F2 的距离为定值 2a,∴点 M 的轨迹是以点 F2 为圆心,以 2a 为半径的圆.

16、4a 或 2(a-c)或 2(a+c) 提示: 设靠近 A 的长轴端点为 M, 另一长轴的端点为 N.若小球沿 AM 方向运动,则路程应 为 2(a-c); 若小球沿 ANM 方向运动,则路程为 2(a+c); 若小球不沿 AM 与 AN 方向运动,则路 程应为 4a. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:当焦点在 x 轴时,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,由题意知 a=2c,a-c= 3 a2 b2

x2 y2 ? ?1 解得 a= 2 3 ,c= 3 ,所以 b =9,所求的椭圆方程为 12 9
2

同理,当焦点在 y 轴时,所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 12

18. 解:设 PF2 =m,所以 PF1 =2m, F1 F2 =2c= 3 m, PF 1 - PF2 =2a=m

?e ?

2c ? 3 2a

?e2 ? 3 ?

a2 ? b2 b2 ? 1 ? a2 a2

?

b2 ?2 a2

?

b ? 2 a

x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y= ? 2 x . a b
3 2

19.解:由题意可知,抛物线的焦点在 x 轴,又由于过点 ( , 6 ) ,所以可设其方程 为

y 2 ? 2 px( p?0)

?6 ? 3 p

∴ p =2

所以所求的抛物线方程为 y ? 4 x
2

所以所求双曲线的一个焦点为(1,0) , 所 以 c=1 , 所 以 , 设 所 求 的 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 ? 2? ?1 a 1? a2

3 2 ( )2 3 6 2 而点 ( , 6 ) 在 双曲线上,所以 2 ? ?1 2 a 1? a2 4 2 2 所以所求的双曲线方程为 4 x ? y ? 1 . 3
20、解: ( 1)由题意,设曲线方程为 y ? ax ?
2

解得 a ?
2

1 4

64 , 将点 D(8,0)的坐标代入,得 7
曲线方程为 y ? ?

0 ? a ? 64 ?

64 7

∴a ? ?

1 7



1 2 64 x ? . 7 7

? x2 y2 ? ? 1,?? ?1? ? ? (2)设变轨点为 C(x,y),根据题意可知 ? 100 25 ? y ? ? 1 x 2 ? 64 ,?? ?2 ? ? 7 7 ?
入(1)得 4y -7y-36=0,解之, 得 y=4(y=-9/4 舍去).
2

将(2)代

于是 x=6,所以点 C 的坐标为(6,4). 所以 AC ? 2 5 , BC ? 4 .

因此, 在观测点 A、 B 测得离航天器的距离分别为 2 5,4 时, 应向航天器发出变轨指令. 21、解析: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2



要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则

y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1


即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

∴ (k ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
2

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

22、解析: (1)双曲线 C 的右准线 l 的方程为:x=

b a2 ,两条渐近线方程为: y ? ? x . a c

∴ 两交点坐标为

P(

ab ab a2 a2 ). , ) 、 Q( , ? c c c c

∵ △PFQ 为等边三角形,则有 | MF |?

3 . | PQ | (如图) 2

a2 3 ab ab c2 ? a2 3ab ∴ c? . ? ? ( ? ) ,即 ? c 2 c c c c
解得 b ? 3a ,c=2a. ∴e ?

c ? 2. a

(2)由(1)得双曲线 C 的方程为把

x2 y2 ? ? 1. a 2 3a 2

把 y ? ax ? 3a 代入得 (a 2 ? 3) x 2 ? 2 3a 2 x ? 6a 2 ? 0 . 依题意
2 ? ?a ? 3 ? 0, ? 4 2 2 ? ?? ? 12a ? 24(a ? 3)a ? 0

∴ a ? 6 ,且 a ? 3 .
2 2

∴ 双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为
2 l ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? a 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? a 2 ) [x( 1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]

? (1 ? a 2 )

12 a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 (a 2 ? 3) 2

∵l ?

b 2c 2 72a 2 ? 12a 4 ? 12a . ∴ 144a 2 ? (1 ? a 2 ) ? . a (a 2 ? 3) 2
4 2 2 ∴a ? 2或a ?
2

整理得 13a ? 77a ? 102 ? 0

51 . 13

∴双曲线 C 的方程为:

x2 y2 13x 2 13y 2 ? ?1或 ? ? 1. 2 6 51 153


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