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数学选修2-1《第三章空间向量与立体几何》本章归纳整合_图文


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要点归纳
1.空间向量的运算及运算律 空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量 类似,空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量,两

个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立.
2.两个向量的数量积的计算 向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律,常用于有关

向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.
3.空间向量的坐标运算,关键是建立恰当的空间坐标系,然后再 利用有关公式计算求解.常用向量的直角坐标运算来证明向量 的垂直和平行问题,利用向量的夹角公式和距离公式求解空间 角与空间距离的问题.
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4.空间向量的分解定理说明:用三个不共面的已知向量{a,b, c}可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果是唯 一的. 5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如 下:先将原问题转化为等价的向量问题,即将已知条件中的 角转化为向量的夹角,线段长度转化为向量的模,并用已知 向量表示出未知向量,然后利用向量的运算解决该向量问

题,从而原问题得解.
6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置,建立 适当、正确的空间坐标系,难点是在已建好的坐标系中表示 出已知点的坐标,只有正确表示出已知点的坐标,才能通过 向量的坐标运算,实现几何问题的代数化解法.
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专题一

空间向量及其运算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运

算类似,是平面向量的拓展,主要考查空间向量的共线与

共面以及数量积运算,是用向量法求解立体几何问题的基
础.

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【例1】沿着正四面体 O-ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大
小等于 1、2 和 3 的三个力 f1,f2,f3.试求此三个力的合力 f 的大 小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值.









如图所示, 用 a, b, c 分别代表棱OA、



OB、OC上的三个单位向量, 则f1=a,f2=2b,f3=3c,





则f=f1+f2+f3=a+2b+3c,

∴|f|2=(a+2b+3c)(a+2b+3c)
=|a|2+4|b|2+9|c|2+4a· b+6a· c+12b· c =14+4cos 60°+6cos 60°+12cos 60° =14+2+3+6=25, ∴|f|=5,即所求合力的大小为5.
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f· a |a|2+2a· b+ 3a· c 且 cos〈f,a〉= = |f|· |a| 5 3 1+ 1+ 2 7 = = , 5 10 4 9 同理可得: cos〈f,b〉= ,cos〈f,c〉= . 5 10

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专题二

空间向量与空间位置关系

向量作为工具来研究几何,真正使几何中的形与代 数中的数实现了有机的结合,给立体几体的研究带来了极

大的便利,不论证明平行还是垂直,只需简单的运算就可
解决问题.

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【例2】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 DB、
2 D1C 上,且 DE=D1F= a,其中 a 为正方体棱长. 3 求证:EF∥平面 BB1C1C.

证明

如图,建立空间直角坐标系 D-

xyz,则 a a a 2a E( , , 0), F(0, , ), 3 3 3 3 → a 2a 故EF= (- , 0, ). 3 3 又AB= (0,a,0),显然为平面 BB1C1C 的一个法向量,
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a 2a 而AB·EF=(0,a,0)· (- ,0, )=0, 3 3 ∴AB⊥EF. 又 E?平面 BB1C1C, 因此 EF∥平面 BB1C1C.

→ →

→ →

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【例3】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的 中点,点F是棱CD上的动点,试确定点F的位置,使得
D1E⊥平面AB1F.
解 如图建立空间直角坐标系: 则 A(1,0,0), B1(1, 1, 1), 1 D1(0, 0, 1), E( , 1, 0). 2 设 F(0,y,0),则AB1=(0, 1, 1), 1 AF= (-1,y,0),D1E= ( ,1,-1), 2







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要使 D1E⊥平面 AB1F,

→ ?→ 1- 1= 0, ?D1E·AB1=0, ? ? 1 ? ? 只需 即 即 y= . 1 2 → → - +y=0, ? ? ?D1E·AF= 0, ? 2
∴当 F 为 CD 中点时,有 D1E⊥平面 AB1F.

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【例4】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的 中点,求证:平面AED⊥平面A1FD1.
证明 xyz. 设正方体棱长为 1, 1 则 E(1, 1, )、 D1(0, 0, 1)、 2 1 F(0, , 0)、 A(1, 0, 0). 2 如图,建立空间直角坐标系 D-

→ → → 1 ∴DA= (1, 0, 0)=D1A1, DE= (1, 1, ), 2
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1 D1F= (0, ,- 1). 2 设 m= (x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面 AED 和 A1FD1 的一个法向量, ? → ? x = 0, ?m· DA= 0, ? 1 由? ?? 1 → x + y + z1= 0. ? ? 1 1 m · DE = 0 ? 2 ? 令 y1= 1,得 m=(0, 1,- 2). ? → ?n· D1A1=0, ? ?x2= 0, 又由? ??1 → y2- z2= 0. ? ? ? 2 D1F= 0 ?n· 令 z2= 1,得 n=(0, 2,1).∵ m· n= (0, 1,-2)· (0, 2,1) = 0,∴ m⊥n,故平面 AED⊥平面 A1FD1.
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专题三

空间向量与空间角

利用空间向量确定空间中的线线角、线面角、二面

角,避免了利用传统方法求角时先进行角的确定,然后求
角的弊端,只需要准确求解直线的方向向量和平面的法向 量,代入公式求角即可,大大体现了向量法的简捷之处.

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【例5】 四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,
PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC⊥平面 AMN. (1)求AM与PD所成的角;

(2)求二面角P -AM -N的余弦值;
(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值.
解 建立如图所示的直角坐标系. ∵ A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2), D(0,2,0),∴PC= (2,2,-2),PD= (0, 2,- 2). 设 M(x1,y1,z1),∵PM= λPD,
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∴ (x1, y1, z1- 2)= λ(0, 2,- 2), ∴ x1= 0, y1= 2λ, z1=- 2λ+ 2, ∴ M(0, 2λ, 2- 2λ). ∵ PC⊥平面 AMN,∴PC⊥AM, ∴PC·AM= 0, ∴ (2, 2,- 2)· (0, 2λ, 2- 2λ)= 0?4λ - 2(2- 2λ)= 0, 1 ∴λ = ,∴ M(0, 1, 1). 2 设 N(x2, y2, z2),∵PN= tPC, ∴ (x2, y2, z2- 2)= t(2, 2,- 2), ∴ x2= 2t, y2= 2t, z2=- 2t+ 2,∴ N(2t, 2t, 2-2t).
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→ → → ∵PC⊥AN,∴AN·PC= 0, ∴ (2t, 2t, 2- 2t)· (2, 2,- 2)= 0,∴ 4t+ 4t- 2(2- 2t)= 0, 1 2 2 4 ∴ t= ,∴ N( , , ). 3 3 3 3 ( 0, 1, 1) · ( 0, 2,- 2) (1)∵ cos〈AM,PD〉= = 0, 0+ 1+ 1× 0+ 4+ 4







∴ AM 与 PD 所成角为 90° . (2)∵ AB⊥平面 PAD, PC⊥平面 AMN, ∴AB,PC分别是平面 PAD,平面 AMN 的法向量. ∵AB·PC= (2, 0, 0)· (2, 2,- 2)= 4,
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→ →

→ →

|AB|= 2, |PC|= 2 3, 3 3 ∴ cos〈AB,PC〉= = ,∴二面角 PAMN 的余弦值为 . 3 4 3 3 (3)∵PC是平面 AMN 的法向量, ∴ CD 与平面 AMN 所成角即为 CD 与 PC 所成角的余角. ∵CD·PC= (- 2, 0, 0)· (2, 2,- 2)=- 4, -4 3 ∴ cos〈CD,PC〉= =- , 3 2× 2 3









4











3 ∴直线 CD 与 PC 所成角的余弦值为 , 3 6 即直线 CD 与平面 AMN 所成角的余弦值为 . 3
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专题四

空间向量与空间距离

空间距离在高考中考查较多的是两点距和点面
距.两点距主要利用向量的模即两点间的距离公式求 解.点面距利用平面的法向量代入公式求解.有了向量,

距离的求法也都公式化了.

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【例6】 如图,正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1
中, 底面边长为 2 2, 侧棱长为 4, 点 E、 F 分别为棱 AB、BC 的中点,EF∩ BD= G,求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d.



如图建立空间直角坐标系 D- xyz,

易得 D1(0, 0, 4), B1(2 2, 2 2, 4), E(2 2, 2, 0), F( 2, 2 2, 0), 故 EF = (- 2 , 2 , 0), EB1 = (0, 2 , 4),D1B1= (2 2, 2 2, 0).







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设 n= (x, y, z)是平面 B1EF 的一个法向量,则 ? → ?n· EF= 0, ? ?- 2x+ 2y= 0, ? ?? ? → ? 2y+ 4z= 0, ? n · EB = 0 ? 1 2 令 x= 1,得 n=(1, 1,- ). 4 则 |D1B1· n|= 4 2, |D1B1· n| 16 17 ∴ d= = . |n| 17 16 17 ∴点 D1 到平面 B1EF 的距离为 . 17
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命题趋势
空间向量的引入为空间几何问题的解决提供了新的思 路,作为解决空间几何问题的重要工具,对空间向量的考查往 往渗透于立体几何问题解决的过程之中,成为新课标高考必考 的热点之一.

一、高考对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关
系的证明与探究;空间中的线线角、线面角以及二面角的求 解;空间中简单的点点距和点面距的求解.给出位置关系、角 度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现.题目 主要以解答题的形式给出,兼顾传统的立体几何的求解方法,
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主要考查空间向量在解决立体几何中的应用,渗透空间向量 的基本概念和运算. 二、空间向量的引入为解决空间几何问题提供了一种新 的思路,它使空间几何体也具备了“数字化”的特征,从而把 空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了 纯粹的数字运算问题,降低了思维的难度,成为新课标高考 必考的热点.考查的重点是结合空间几何体的结构特征考查

空间角与距离的求解,其中二面角是历年新课标高考命题的
热点,多为解答题. 三、是对利用向量处理平行和垂直问题的考查,主要解 决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题.对于垂直, 主要利用a⊥b?a· b=0进行证明.对于平行,一般是利用共
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线向量和共面向量定理进行证明.二是对利用向量处理角 度问题的考查,利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、 面面夹角),其一般方法是将所求的角转化为求两个向量
a· b 的夹角, 而求两个向量的夹角则可以利用公式 cos θ= 进 |a||b| 行计算.三是对利用向量处理距离问题的考查,运用向量求 解距离问题,对求点面距,关键是求出平面的法向量,进而 利用公式求解.

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