当前位置:首页 >> 理学 >> 数学:2.1.2《函数的表示方法》课件(新人教B版必修1)

数学:2.1.2《函数的表示方法》课件(新人教B版必修1)


2.1.2 函数的表示方法

知识整合

1.表示函数的常用方法有:解析法、列 表法、图象法. (1)解析法就是 ________________________________ ______________________________________ _. (2)列表法就是 _________________________________ ______________________________________ _________. (3)图象法就是 __________________________________ ______________________________________

3.函数的图象可能是连续的曲线,也可 能是点,也可能是曲线的一部分. 4.分段函数的定义域是各段定义域的 ________,分段函数的值域也是各段函数值 域的________. 5.如果一些点的集合是一个函数y=f(x) 的图象,需满足两个条件: ______________________________; ___________________________________ _____________________________________.

特别警示:(1)解析法的优点:一是简明、 全面地概括了变量间的关系;二是通过解析 式可以求出任意一个自变量所对应的函数 值. (2)列表法的优点:可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值. (3)图象法的优点:形象直观地表示出函 数的变化情况.

答案:1.用一个代数式(或解析式)来表示 自变量与因变量的函数关系 通过列出表格 来表示两个变量间的函数关系 用函数图象 表示两个变量之间的关系 2.分段函数 4.并集 并集 5.图象上的任意一点坐标(x,y)都满足 关系式y=f(x) 满足关系y=f(x)的点(x,y)都 在图象上

名师解答

1.函数的图象都是连续的曲线吗?凡是 图象都是函数的图象吗?函数的图象对解题 有用吗? (1)函数的图象不一定都是连续的曲 线.一般来说,如果自变量的取值是连续的, 那么它的图象是连续的,如一次函数、二次 函数,但如果自变量的取值是一些孤立点, 那么它的图象就是一些孤立点.例如:y= 3x(x∈{1,2,3,4,5}).有时函数的图象由几条 线段组成.

(2)检查一个图形是否为某个函数的图象, 只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右 平移,观察图形与该直线交点个数,当交点 个数为两个或两个以上时,该图形一定不是 函数图象.这是因为,直线x=a(a∈R)与图 形有两个或两个以上交点时,表示变量x取 实数a时对应两个(或)两个以上的y值,这与 只有唯一y值与x对应矛盾,故不是函数图 象.

如下图所示,

在图①中,当自变量x在(-1,1)上取任一 个值时,y有两个值与之相对应,不符合函 数的定义;而图②③中,当自变量x分别在R 上和[-1,1]上取一个值,函数值y有唯一的 值与之对应,故②③中y与x具备函数关系.

(3)函数的图象对于今后解题的用途是非 常大的,应逐步学会利用函数的图象来解 题.如某些函数图象较易画出来,就可以利 用函数图象直接求出其值域.我们还可以利 用函数的图象来比较某两个数值的大小等 等.

(3)作分段函数的图象时,特别注意接点处点的虚实, ?1, x>0 ? 如函数 y=?0, x=0 ?-1, x<0 ?

的图象为

深入学习

题型一 求函数解析式 解析法就是把两个变量的函数关系,用一 个等式来表示,这个等式叫函数的解析 式.求函数解析式的常见方法有:待定系数 法、换元法、赋值法、列方程法等.

【例 1】 求下列函数的解析式. (1)已知 f(x)=2x+3,g(2x-1)=f(x2-1),求 g(x)的解 析式; (2)一次函数 f(x)使得 f{f[f(x)]}=-8x+3,求 f(x); 1 设 (3)已知 f(x)=x, g(x)=-x+1, φ(x)=- x+2, f(x), 2 g(x),φ(x)的最大值为 F(x),求 F(x)的解析式.

分析:求一个函数的解析式,就是弄清 和找出对接受法则的对象实施什么样的运 算.

解:(1)∵f(x)=2x+3, ∴f(x2-1)=2(x2-1)+3=2x2+1, 即 g(2x-1)=2x2+1. t+1 设 2x-1=t,则 x= , 2 t+1 2 12 3 ∴g(t)=2( ∴ ( ) 2( ) +1= t +t+ , 1 2 2 2 1 2 3 即 g(x)= x +x+ . 2 2

评析:本题首先将x2-1视为一个整体, 代入f(x),然后使用换元法得g(x),层层深入, 从而解决问题.

(2)设f(x)=kx+b(k≠0),则 f{f[f(x)]}=kf[f(x)]+b =k[kf(x)+b]+b =k[k(kx+b)+b]+b =k3x+k2b+kb+b =-8x+3. 根据两式恒等,对应项系数相等得
?k3=-8, ? ? 2 ?k b+kb+b=3. ? ?k=-2, ? 解得? ?b=1. ?

∴f(x)=-2x+1.

评析:对于复合函数的有关运算,可以本 着“先外后内”,或“先内后外”的原则, 灵活进行计算.关键是树立整体思想,把每 一层视为一个整体,不断换元,层层“剥 皮”,从而化解问题.

(3)如下图,画出f(x),g(x),φ(x)的图象,下面求交点 坐标.

?y=-x+1, ?x=-2, ? ? 由? 得? 1 ?y=3. ? ?y=-2x+2, ?

? 4 ?y=x, ?x=3, ? 由? 得? 1 ?y=-2x+2, ?y=4. ? ? 3 当x≤-2时,F(x)=g(x)=-x+1; 1 4 当-2<x≤ 时,F(x)=φ(x)=- x+2; 2 3 4 当x> 时,F(x)=f(x)=x. 3 ?-x+1 (x≤-2), ? ?-1x+2(-2<x≤4), 3 即F(x)=? 2 ? 4 ?x(x> ). 3 ?

评析:本题关键是画出图象,求出交点, 从而正确地分段,再在各段上写出符合要求 的解析式,最后写出分段函数的解析式.

变式训练 1

(1)已知函数f(x)=2x+3,g(2x-1)=f(x2

-1),则g(x+1)的解析式是 ( 1 2 3 A. x +x+ 2 2 1 2 C. x +2x+3 2 1 2 B. x +2x+2 2 1 2 D. x +3 2 )

(2)已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函 1 数,g(x)是x的反比例函数且φ( )=16,φ(1)=8,求φ(x)的 3 解析式.

(1)解析:∵f(x)=2x+3, ∴f(x2-1)=2(x2-1)+3=2x2+1 ∴g(2x-1)=2x2+1 t+1 令t=2x-1,则x= 2 (t+1)2 t+1 2 ) +1= +1 ∴g(t)=2( 2 2 (x+1)2 ∴g(x)= +1 2 (x+2)2 1 2 ∴g(x+1)= +1= x +2x+3 2 2 故选C.
答案:C

b (2)解:设f(x)=ax,g(x)= ,a,b为比例常数,则φ(x x b =f(x)+g(x)=ax+ . x ?1 ? 1 ? a+3b=16, ?φ( )=16, 得?3 由? 3 ?a+b=8. ?φ(1)=8. ? ?
?a=3, ? 解得? ?b=5. ?

5 ∴φ(x)=3x+ x

题型二 函数图象的应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它 具有明显的直观性,以后可以看到,通过函 数的图象能够掌握函数的重要性质,如单调 性、奇偶性、有界性、极值性、周期性等 等.掌握好函数的性质,将有助于正确地画 出函数的图象. 作函数图象的基本方法: 1.描点法:描点法的作图步骤:(1)列 表:计算要正确,取值要具有代表性、典型 性;(2)描点:坐标要准确;(3)连线:用光 滑曲线连接起来.

2.用计算机作图. 3.图象变换法. 函数图象的五要素:x轴、y轴、两轴上 的长度单位和坐标原点.这五个要素缺一不 可,一般情况下,要求两轴上的长度单位要 统一,特殊题目中,依题意也可以出现两坐 标轴上长度单位不统一的情况. 画函数的图象,不仅要依据函数的解析 式,而且还必须考虑它的定义域. 此外,要熟悉各种基本初等函数的图 象.

【例 2】 作出下列函数的图象. (1)y=1-x(x∈{-2,-1,0,1,2}); x2 (2)y=|x-2|;(3)y= ; |x| (3)y=2x2-4x-3(0≤x<3).

分析:(1)为直线上孤立的点;(2)、(3)先 去掉绝对值符号化为分段函数;(4)要注意定 义域.

解:(1)∵x∈{-2,-1,0,1,2}, ∴图象为一条直线上 5 个孤立的点.如图(1).
?x-2 ? (2)y=|x-2|=? ?2-x ?

(x≥2) ,为分段函数,图象是 (x<2)

两条射线.如图(2).
? x2 ?x (3)y= =? |x| ?-x ?

(x>0) ,为分段函数,图象是两条射 (x<0)

线去掉端点.如图(3). (4)图象是抛物线的一部分.

所以函数图象分别如下图(1)~(4)所示:

评析:对于利用基本函数加工而成的新 函数,能化简的需先化简,再画图象.在作 图时应注意以下四个要点:(1)在定义域内作 图;(2)图象是实线或实点,定义域外的部分 有时可用虚线来衬托整个图象;(3)宜标出某 些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴 的交点等.要分清这些关键点是实心点还是 空心点;(4)若函数是分段函数,则应在同一 坐标系内分段画出.要熟悉一些基本初等函 数的图象.

1.y=0(即x轴). 2.y=c(c为常数).例如y=2(如下图(1)). 3.y=x(如下图(2)). 1 4.y= (如下图(3)). x 1 5.y=- (如下图(4)). x 6.y=x2(如下图(5)).

变式训练 2

|x| 函数f(x)=x+ 的图象是 x

(

)

分析:可利用特殊点排除法求解,也可 用分段函数求解. 答案:C

解法一:排除法:A中,点(-1,0)不满足f(x)=x+ |x| |x| ;B中,点(1,0)不满足关系式f(x)=x+ ;D中,点(- x x 1,0)不满足函数关系式.故选C.
? |x| ?x+1,x>0, 图象为选项C, 解法二:f(x)=x+ =? x ?x-1,x<0, ?x 1 x<0

故选C.

【例3】 作出下列函数的图象并写出它 们的值域. (1)y=|x-1|+|x+1|; (2)y=x,x∈Z且|x|≤2; (3)在边长为4的正方形ABCD的边上有一 点P,沿着折线BCDA由点B开始向点A运动, 如右图.设点P运动的路程为x,△APB的面 积为y,试写出y与x之间的函数关系式并画 出图象. 分析:先化简,再作图, 根据图象写值域, 这是函数图象的一个重要应用.

评析:若解析式中有绝对值号,化简的目 标就是去掉绝对值号,就要分类讨论.要注 意分界点是图象上的点,用实心点表示.整 个函数的图象是一个图形,且是由三段构成 的,是一个分段函数.

(2)显然x=-2,-1,0,1,2 相应地有y= -2,-1,0,1,2. 函数的图象是由五个点构成的,如图. y∈{-2,-1,0,1,2}.

评析:特别注意函数的定义域是什 么.本题函数的图象是位于直线y=x上的五 个点,注意不要错画成直线y=x.我们称这样 的函数为“点函数”.

评析:在实际问题中,自变量x的范围应 使实际问题有意义,明确了定义域,才能进 一步写对应关系,画图象. 作函数的图象尽管使用的方法是列表描 点法,但这是建立在对一些常见函数的图象 很熟悉的基础上.例如:一次函数的图象是 直线,二次函数的图象是抛物线,反比例函 数的图象是双曲线等.因此,作图题要充分 发挥这些基本函数的性质,从而正确地作出 图象.

变式训练 3 如下图所示,等腰梯形 ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,∠BAD =45°,直线MN⊥AD交AD于M,交折线 ABCD于N,记AM=x,试将梯形ABCD位于 直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写 出函数的定义域和值域.

分析:求函数的关系式是解决其他问题 的关键,根据题意,此题应对点N分别是AB、 BC、CD三段上分三种情况写出函数的关系 式.

题型三 分段函数的判断 【例 4】 下列给出的函数是分段函数的是( )

A.(1)(2)(3) B.(1)(4) C.(2)(4) D.(4) 分析:深入理解分段函数的概念,分段函 数是指定义域不同的部分,有不同的对应法 则的函数.

解:(1)(4)正确;(2)(3)错误.∵(2)中定 义域重合部分x≥2,其解析式不同(取值不同), 不满足分段函数的定义,如x=2时,f(x)=3 或4,不是函数,当然更不是分段函数;(3) 中例如x=1时,有f(x)=5或1,不是函数, 更不是分段函数.故选B. 答案:B 评析:分段函数仍是一个函数,首先要 符合函数本身的定义,再结合分段函数的特 点解题.

变式训练 4 (1)已知函数 f(x)=

?x+1 (x>0) ? (2)若 f(x)=?π (x=0) ?0 (x<0) ?

则 f{f[f(-1)]}=________.

(1)分析:求分段函数的有关函数值的关 键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪 一段,就用哪一段的解析式.

答案:1

(2)解析:∵当x<0时,f(x)=0,∴f(-1) =0, 又当x=0时,f(0)=π,∴f[f(-1)]=π. 又∵当x>0时,f(x)=x+1. ∵f{f[f(-1)]}=π+1. 答案:π+1 评析:(1)明确分段函数和复合函数的意 义,是解本题的关键,而f[f(x)]的意义是以 f(x)为变量的函数的解析式. (2)求分段函数的函数值的关键是看自变 量是在哪个范围内取值,然后再“分段归 类”.

整体探究解读

题型一 求复合函数解析式 【例1】 已知f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x). 解法一:(配凑法)f(x+1)=x2-3x+2= (x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6.令x+1 =t,则f(t)=t2-5t+6.一般地,我们常用x表 示自变量,所以写成f(x)=x2-5x+6. 解法二:(换元法)设x+1=u,则x=u- 1,代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(u)=(u-1)2 -3(u-1)+2=u2-5u+6,用x表示自变量, 即f(x)=x2-5x+6. 评析:当已知复合函数f[g(x)]的表达式 时,可以采用“配凑法”和“换元法”求函

题型二 分段函数最值问题

A.最大值为 3,最小值为-1 B.最大值为 7-2 7,无最小值 C.最大值为 3,无最小值 D.无最大值,无最小值

答案:B 分析:本题是分段函数,不妨画出它们 的图象,由图象找出适合题意的选项.

解:(1)先求出 f(x)=3-2|x|与 g(x)=x2-2x 的交点.
?y=3-2|x|, ? 由? ?y=x2-2x, ?

得 x2-2x=3-2|x|,

当 x≥0 时,x2-2x=3-2x, 解得 x=- 3(舍去),或 x= 3. 当 x<0 时,x2-2x=3+2x, 解得 x=2+ 7(舍去),或 x=2- 7. 再画出 f(x)=3-2|x|与 g(x)=x2-2x 的图象, 根据题意 得到 F(x)的图象,如右图.可知 F(x)存在最大值,此时 x =2- 7,则 y=3+2x=7-2 7,F(x)不存在最小值. 故选 B.

已知 f(a)>1,则 a 的取值范围为 1 A.(-∞,-2)∪(-2,1) 1 1 B.(-2,2) 1 C.(-∞,-2)∪(- ,+∞) 2 1 D.(-2,-2)∪(1,+∞)

(

)

答案:A

解法一:(数形结合) 画出f(x)的图象,如右图,画直线y=1,由图可见, 符合f(a)>1的a的值为 1 (-∞,-2)∪(- ,1). 2 故选A.

解法二:(分类讨论)

评析:数形结合的方法直观生动,有助于 理解题意,但要熟悉基本图形的画法.分类 讨论条理分明、逻辑性强,也值得提倡.

题型三 数形结合思想的应用 【例4】 |x+2|-|x-1|>a的解集是空集, 求实数a的范围. 解:令y1=|x+2|-|x-1|, 即当x≤-2时,y1=-3; 当-2<x≤1时, y1=2x+1; 当x>1时,y1=3. 令y2=a,其图象如右图所示. 欲使图象中y1>y2的解集为空集,也即 y1≤y2恒成立,显然a≥3.

【例5】 当m为怎样的实数时,方程x2- 4|x|+5=m有四个互不相等的实数根?

评析:函数图象直观形象地帮助我们解决 有关问题,数形结合是研究数学的一个重要 手段.

题型四 图象在实际生活中的应用 【例6】 图甲表示某年12个月中每月的 平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气 温(℃)有一定的关系.图乙表示某家庭在此 年12个月的用电量.根据这些信息,以下关 于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正 确的是 ( )





A.气温最高时,用电量最多 B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气 温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气 温降低而增加

解:比较两图可以发现,2月份用电量最 多,而2月份气温不最高,因此排除A.同理 可排除B.8至12月份气温一直下降,但用电 量有增减,排除D.由6、7、8三个月的气温 和用电量可得出C正确.故选C. 评析:解决函数图象问题的常用方法有: ①定性分析法;②定量分析法;③函数模型 法.要加强自我训练,提高读图能力.


赞助商链接
更多相关文档:

...函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案 新人教B版必修1

高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案 新人教B版必修1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.1.2.1 函数的表示方法 整体设计 教学...

最新人教版高一数学必修1第一章《函数的表示方法》2

最新人教版高一数学必修1第一章《函数的表示方法》2 - 2.1.2 函数的表示方法 1.函数的表示方法 (1)列表法 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的...

1.2.2函数的表示方法

高中数学必修(1)第一章集合与函数概念教案 1.2.2 函数的表示方法(约三课时) 三维目标:【知识与技能】 1.掌握函数的三种主要表示方法——解析法、列表法、图象...

...二章函数2.1.2函数的表示方法学案新人教B版必修1

18学年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法学案新人教B版必修1 - 2.1.2 函数的表示方法 [学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法:列表法、图象法、解析法...

数学人教版必修1(B) 函数的表示方法

数学人教版必修1(B) 函数的表示方法 - 函数的表示方法 教学目标:在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 教学重点:图像法、列表法、解析法表示...

【精选】高中数学人教B版必修1《函数的表示方法》word...

【精选】高中数学人教B版必修1《函数的表示方法》word学案-数学 - 数学、高中数学数学课件数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数...

人教版高一数学必修1_1.2函数及其表示

人教版高一数学必修1_1.2函数及其表示 - 1.2 函数及其表示 (1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任 ...

高中数学 1.2.2函数的表示法(2)学案 新人教A版必修1

高中数学 1.2.2函数的表示(2)学案 新人教A版必修1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§1.2.2 函数的表示(2) 学习目标 1.了解映射的概念及表示方法;...

新人教版高一数学必修一1.2函数及其表示

新人教版高一数学必修一1.2函数及其表示 - 1.2 函数及其表示 一、函数的概念 设集合 A、B 是非空的数集,对于 A 中的任意一个数 x ,按照确定的对应法则 ...

最新人教版高一数学必修1第一章《函数的表示方法》教案

最新人教版高一数学必修1第一章《函数的表示方法》教案 - 示范教案 2.1.2.1 函数的表示方法 整体设计 教学分析 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com