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武穴市育才高中高三十二月份月考


武穴市育才高中高三十二月份月考
文科数学试题
一、选择题(本 大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项中,只有一 个选项符合题目要求) i 1. 已知 i 为虚数单位,则 = 1+ i (A)

1? i 2

(B)

1+ i 2
2

(C)

?1 ? i 2

(D)

?1 + i 2
[来源:学

,命题 q:“ ?x ∈ R, x 2 + 2ax + 2 ? a = 0 ”若命题 2.已知命题 p:“ ?x ∈ [1, 2] , x ? a ≥ 0 ” “p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A. C.

{a a ≤ ?2或a = 1} {a a ≥ 1}



B. {a | a ≤ ?2} D.

{a ?2 ≤ a ≤ 1}

3.已知 f ( x ) = ? A. ? 2

x>0 ? ? cos π x ? ,则 f ( 4 ) + f (? 4 ) 的值等于 f ( x + 1) + 1 x ≤ 0 3 3 ? ?
B.1 C.2 D.3 )

4.已知两点 A( ?1, 0), B (1, 3) ,向量 a = (2k ? 1, 2), 若 AB ⊥ a ,则实数 k 的值为( A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.设 x, y 是两个实数,命题 " x, y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是( A、 x + y = 2 B、 x + y > 2 C、 x 2 + y 2 > 2 D、 xy > 1
=(



6.在等差数列 {an } 中,前 n 项的和为 Sn , 若 2a8 A、54 B、45

= 6 + a11 , 则 S

9



[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

C、3 6

D、27

7. 已知函数 f ( x ) = x 3 ? 2 x 2 + 2 有唯一零点,则下列区间 必存在零点的是 A. ( ?2, ? ) ( B. ( ? )
[来源:学科网]

3 2 1 C. ( ?1, ? ) 2

3 , ?1) 2 1 D. (? , 0) 2
( ) B.81 D.6561
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

8.阅读右边的程序框图,该程序输出的结果是 A.9 C.729

9.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1, 2, F 若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2, 则曲线 r 的离心率等于 A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

10. 如图,有 4 个半径都为 1 的圆,其圆心分别为 O1(0,0),O2(2, 0), O3(0, O4(2, 记集合 M={⊙Oi|i=1, 3, 2), 2). 2, 4}. 若 A,B 为 M 的非空子集,且 A 中的任何一个圆与 B 中的任何一 个圆均无公共点,则称 (A,B) 为一个“有序集合对” (当 A ≠B 时,(A,B) 和 (B,A) 为不 同的有序集合对),那么 M 中 “有序集合对” (A,B) 的个数是 y O3 O1 O4 O2 x

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (第 10 题) 小题. 二、填空题:本大题共 5 小题 每小题 5 分,满分 25 分. 填空题: 11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出样本的频 。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系, 率 分布直方图(如图所示) 在从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在(2500,3500 元/ 月)收入段应抽出 人。

频率/组距
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

12.设 a, b, c 为三个非零向量, a + b + c = 0, a = 2, b ? c = 2 ,则 b + c 的最大值是

?y ≥ 0 y ?1 ? 13. 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? y ≥ 0 , 若ω = ,则 ω 的取值范围 x +1 ?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ?
是 。 14.已知圆 C : x 2 + y 2 = 12, 直线 l : 4 x + 3 y = 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 .

15.集合 {1, 2,3,? , n}( n ≥ 3) 中,每两个相异数作乘积,所有这些乘积的和记为 f ( n), 如:

1 f (3) = 1× 2 + 1× 3 + 2 × 3 = [62 ? (12 + 22 + 32 )] = 11, 2 f (4) = 1× 2 + 1× 3 + 1× 4 + 2 × 3 + 2 × 4 + 3 × 4 1 = [102 ? (12 + 22 + 32 + 42 )] = 35 2 f (5) = 1× 2 + 1× 3 + 1× 4 + 1× 5 + ? 4 × 5 1 = [152 ? (12 + 2 2 + 32 + 42 + 52 )] = 85. 2
则 f (7) = 。 (写出计算结果)

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程 解答题: 16、 (本小题满分 12 分)设向量 α=( 3 sin 2x,sin x+cos x),β=(1,sin x-cos x),其中 x ∈R,函数 f (x)=α ? β. (Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 f (θ)= 3 ,其中 0<θ<

π 2

,求 cos(θ+

π 6
)的值.

17. (本小题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a1 = 1, an +1 = 2 Sn + 1( n ≥ 1) .(1)求

{an } 的通项公式;(2)等差数列{bn}的各项为正,其前
a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 成等比数列,求 Tn .

n 项和为 Tn ,且 T3 = 15 ,又

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =| x ? 2 |, g ( x) = ? | x + 3 | + m. (1)解关于 x 的不等式 f ( x) + a ? 1 > 0( a ∈ R ). (2)若函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求实数 m 的取值范围。 19.(本小题满分 12 分)某化工企业 2010 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该 设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y(万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备?

20. (本小题满分 13 分)

函数 f ( x) =

x2 + a (a ∈ R). x +1
1 ,求实数 a 的值; 2

(I)若 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为

(II)若 f ( x)在x = 1 处取得极值,求函数 f ( x ) 的单调 区间

21. (本小题满分 14 分)已知抛物线 C : y = 2 px ( p > 0) 的准线为 l ,焦点为 F ,圆 M 的
2

圆心在 x 轴的正半轴上, 且与 y 轴相切, 过原点 O 作倾斜角为 交圆 M 于另一点 B ,且 AO = BO = 2 (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程;

π
3

的直线 n , l 于点 A , 交

(2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点为 S,T,判断直线 ST 是否恒过定点?若恒 过定点,求该定点的坐标.

y l B O F A

?

M

x

1 B 11.40

2 A

3 D 12. 2 2

4 B

5 B

6 A

7 C 14.5,

8 C

9 A

10 B

13.[-1/2 ,1)

1 6

15.

322

16、 【答案】 (Ⅰ)解:由题意得 f ( x)= 3 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) = 3 sin 2x-cos 2x=2sin (2x- 故 f (x)的最小正周期 T=

π ), 6
…………6 分

2π =π. 2

(Ⅱ)解:若 f (θ)= 3 ,则 2sin (2θ- 所以,sin (2θ-

π )= 3 , 6

π 3 )= . 6 2 π π 5π 又因为 0<θ< ,所以 θ= 或 . 2 4 12
当 θ=

π π π π 6? 2 时,cos(θ+ )=cos( + )= ; 4 6 4 6 4 π π 6? 2 5π 5π 5π 当 θ= 时,cos(θ+ )=cos( + )=-cos =- . 12 6 12 6 12 4

16.

18.

19.解: 1) (

y=

100 + 0.5 x + (2 + 4 + 6 + ? + 2 x ) x



y = x+

100 + 1.5 ( x > 0 ) ; x

(2)由均值不等式得:

y = x+

100 100 + 1.5 ≥ 2 x ? + 1.5 = 21.5 (万元) x x

当且仅当 x

=

100 ,即 x x

= 10 时取到等号.

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.

21.解: (1)易得 B (1, 3 ) , A( ?1,? 3 ) ,设圆 M 的方程为 ( x ? a ) 2 + y 2 = a 2 , 将点 B (1, 3 ) 代入得 a = 2 ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 2) 2 + y 2 = 4

p = 1 ,抛物线的方程为 y 2 = 4 x 2 (2)由(1)得 M ( 2,0), F (1,0) ,设点 P ( x, y ) ,则 y 2 = 4 x
点 A( ?1,? 3 ) 在准线 l 上,从而 得 PM = ( 2 ? x,? y ) , PF = (1 ? x,? y ) ,
2 2

……5 分

所以 PM ? PF = ( 2 ? x)(1 ? x) + y = 2 ? 3 x + x + 4 x = 2 + x + x 因为 x ≥ 0 ,所以 PM ? PF ≥ 2 ,即 PM ? PF 的最小值为 2 .
2

2

………………9 分

(3)设点 Q ( ?1, m) ,过点 Q 的切线 长为 m + 5 ,则以 Q 为圆心,切线长为半径的 圆的方程为 ( x + 1) 2 + ( y ? m) 2 = m 2 + 5 , 即 x 2 + y 2 + 2 x ? 2my ? 4 = 0
2 2

① ②

2 2 又圆 M 的方程为 ( x ? 2) + y = 4 ,即 x + y ? 4 x = 0

由①②两式相减即得直线 ST 的方程: 3 x ? my ? 2 = 0 显然上面直线恒过定点 ( ,0)

2 3


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