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双曲线的定义、标准方程及几何性质


高二数学学案 序号 112-113 高二年级 复习三十五

班 教师 毕 环 学生

2) 、以 y ? ?

双曲线的定义、标准方程及几何性质

x2 y 2 b x 渐近线的双曲线可设为: 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a a b

5、双曲线的标准方程与几何性质 〖学习目的〗1、掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质 2、会用定义和几何性质解决简单问题;会求双曲线的标准方程; 〖重点难点〗定义、几何性质的理解及应用 〖学习过程〗 一、复习归纳 1、双曲线的定义:到两定点距离之差的绝对值等于一个常数(小于两定点间距离)的动点 的轨迹为双曲线。 即:当 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 时,P 的轨迹为双曲线; F1F2 是焦距, F1F2 ? 2c 注: 1)双曲线有两支,设 F1 , F2 分别是左、右焦点,则当 PF 1 ? PF 2 ? 2a 时表示右支; 当 PF2 ? PF 1 ? 2a 时表示左支; 2)当 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 时,P 的轨迹为以 F1 、 F2 为端点的两条射线; 3) 当 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 时,P 的轨迹不存在; 二、例题讲解 2、双曲线的标准方程 1) 当焦点在 x 轴上时, 双曲线的标准方程为
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 其中: 焦点坐标是 (?c,0) 2 a b y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 其中: 焦点坐标是 (0,?c) a 2 b2
2 2

例 1、 (1)已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程

2) 当焦点在 y 轴上时, 双曲线的标准方程为 注意: (1) c 2 ? a 2 ? b2

注意与椭圆的区别。

(2)已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

(2)方程特征:左边是平方差的结构,右边是 1;分母均大于 0,但大小不定; (3)根据方程判断焦点的位置的方法:看系数的符号(正负) ; 即 x 2 的系数大于 0 则在 x 轴上,且 x 2 的分母即是 a 2 ; 反之, y 2 的系数大于 0 则在 y 轴上,且 y 2 的分母即是 a 2 。 3、求双曲线方程,先要判断焦点的位置,若两种均有可能,则分两种情况讨论; 有的问题也可用两种标准方程的统一形式: mx 4、常用小结论: 1)与双曲线
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? (? ? 0) 共渐近线的双曲线系方程为: a2 b2 a2 b2
2

x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 ,2) ,求该双曲线的方程。 (3)已知双曲线 C 与双曲线 16 4

? ny ? 1(mn ? 0) 来设方程。
2

例 2、方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 ( 1? k 1? k

) D. k ? 1 或 k ? ?1

A. ? 1 ? k ? 1

B. k ? 0

C. k ? 0

例 3、已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10 ,0) 、F2( 10 ,0) ,P 是此双曲线上的一点, 且 PF 1 ? PF 2 ? 2 ,求该双曲线的方程。 1 ? PF 2 ? 0 , PF

三、课后练习 1、过两点 A(?7,?6 2 ) 、 B(2 7 ,3) 的双曲线的标准方程为 。

2 2 2、双曲线 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为



例 4、 设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1PF2 ? 60? , 4

3、方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围 4 ? k 1? k

求 ?PF1 F2 的面积。
x2 y2 ? 1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4、已知双曲线 ? 4 12
2 2 例 5、求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

5、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项, 16 9

则点 P 到左焦点的距离为 例 6、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 y 轴上,两顶点间的距离是 8,离心率 e ?
5 ; 4

6、中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2) ,则它的离心率为

(2)求经过点 A(3, ?1) ,且对称轴都是坐标轴的等轴双曲线的方程,并渐近线方程和离心率。

7、求中心在原点,F ( 5,0) 为右焦点,离心率为 e ?

5 的双曲线方程及其渐近线方程。 2

例 7、设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,求双曲线的离心率。 8、设 P 是双曲线
x2 y2 ? ? 1 上一点,该双曲线的一条渐近线方程是 3x+4y=0,F1,F2 分别是 a2 9

双曲线的左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=
x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 (?3,2 3) 的双曲线标准方程; 例 8、求与双曲线 9 16

9、已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0,且过点 P(4,3),求双曲线的标准方程.


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