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【泉州5月质检】福建省泉州市2013届高三5月质量检查数学理试题 Word版含答案


准考证号 (在此卷上答题无效)

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2013 年泉州市普通高中毕业班质量检测

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其它题为 必考题.本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、?、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 ? R 3 ,其中 R 为球的半径. 3

2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ?

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 a ? R ,且 0 ? a ? 1 ,i 为虚数单位,则复数 z ? a ? (a ? 1)i 在复平面内所对应的点 位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.对于直线 m 、 n 和平面 ? ,若 n ? ? ,则“ m / / n ”是“ m / /? ”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若公比为 2 且各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a4 ? a12 ? 64 ,则 a7 的值等于 A.2 B.4 C.8 4.某车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如下表: 零件数 x (个) 加工时间 y (分钟) 10 21 20 30 30 39 D.16

? 现已求得上表数据的回归方程 ? ? bx ? a 中的 b 值为 0.9,则据此回归模型可以预测,加 y ? ? 工 100 个零件所需要的加工时间约为 A.84 分钟 B.94 分钟 C.102 分钟 D.112 分钟
5.已知点 P ? x, y ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上运动,则 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? 的最小值为 ks5u
2 2

1 2 3 C. 2
A.

2 2 3 2 D. 2
B.

6.执行如图所示程序框图所表达的算法,输出的结果是 A. 99 C. 120 B. 100 D. 142

7.已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ? m ?1,m ? 3? 在同一平面内,若对于这一平面内的任意向量 c , 都有且只有一对实数 ? , ? ,使 c = ?a + ?b ,则实数 m 的取值范围是 A. m ? ?

1 3

B. m ? 5

C. m ? ?7

D. m ? ?

5 3

8.公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用“自主编 排”的方式进行编排. 某人欲选由 A、B、C、D、E 中的两个不同字母,和 0、1、2、3、 4、5、6、7、8、9 中的 3 个不同数字,组成的三个数字都相邻的一个号牌,则他选择号 牌的方法种数最多有 A.7200 种 B.14400 种 C.21600 种 D.43200 种

2 9.已知周期函数 f ( x ) 的定义域为 R ,周期为 2,且当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x .若直

线 y ? ? x ? a 与曲线 y ? f ( x) 恰有 2 个交点,则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 A. {a | a ? 2k ? B. {a | a ? 2k ?

3 5 或 2k ? , k ? Z } 4 4 1 3 或 2k ? , k ? Z } 4 4 5 ,k ?Z } 4

C. {a | a ? 2k ? 1 或 2 k ?

D. {a | a ? 2k ? 1 , k ? Z } 10. 如图, 等腰梯形 ABCD 中, AB // CD 且 AB ? 2, AD ? 1 ,DC ? 2 x( x ? (0,1)) . 以 A ,

B 为焦点,且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ;以 C , D 为焦点,且过
点 A 的椭圆的离心率为 e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围为___________. A. ?2,??? B.

D

C

? ?

5, ??

? ?

A

B

C. ?

?3 3 ?1 ? , ?? ? ? ? 2 ?

D.

5 ? 1, ??

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11.设全集 U ? R , A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x log 2 x ? 1 , 则 A ? (CU B) ? 12.已知 a ? b ,则在下列的一段推理过程中,错误的推理步骤有 上所有错误步骤的序号)

?

?

. . (填

?a ?b, ? a ? a ? b ? a ,即 2a ? b ? a , ???????????① ? 2a ? 2b ? b ? a ? 2b ,即 2 ? a ? b? ? a ? b , ? 2 ? a ? b? ? ? a ? b? ? ? a ? b? ? ? a ? b ? ,
即 2 ?a ? b? ? ?a ? b? ,
2 2

????②

??????????③ ??????????④
2

2 ∵ (a ? b) ? 0 ,∴可证得 2 ? 1 .

13.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 sin A ? sinB ? sin C , 是 .

则角 C 的取值范围

14. 如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图, 则该几何体 的外接球的表面积为 (1) ?x, y ? P , x ? y ? P ; . (2) ?1 ? P ; 15.设集合 P ? Z ,且满足下列条件: (3) P 中的元素有正数,也有负数; (4)P 中存在是奇数的元素. 现给出如下论断:① P 可能是有限集;② ?m, n ? P , mn ? P ; ③0? P ; 其中正确的论断是 ④2? P. . (写出所有正确论断的序号)

1
正视图 侧视图

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)
2 已知 ? ? 0 ,函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin ? x ?

3 的最小正周期为 ? . 2

(Ⅰ)试求 ? 的值; ( Ⅱ ) 在 图 中 作 出 函 数 f ? x? 在 区 间

y
1 3 2 2

?0, ? ? 上的图象,并根据图象写出
其在区 间 ? 0, ? ? 上的单调递减区
-

2

1 2

O
1 2

π 12

π 6

π 4

π 3

5π 12

π 2

7π 12

2π 3

3π 4

5π 6

11π 12

π

x

间.
-

2 2 3 2 -1

17.(本小题满分 13 分) 小王经营一家面包店, 每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤 面包可获利 10 元,若当天卖不完,则未卖出的现烤面包因过期每个亏损 5 元.经统计, 得到在某月(30 天)中,小王每天售出的现烤面包个数 n 及天数如下表: 售出个数 n 天数 10 3 11 3 12 3 13 6 14 9 15 6

试依据以频率估计概率的统计思想,解答下列问题: (Ⅰ)计算小王某天售出该现烤面包超过 13 个的概率; (Ⅱ)若在今后的连续 5 天中,售出该现烤面包超过 13 个的天数大于 3 天,则小王决 定增加订购量. 试求小王增加订购量的概率. (Ⅲ)若小王每天订购 14 个该现烤面包,求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列 和数学期望. 18.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点,上焦点为 F ? 0,1? ,离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A? m,0?? m ? 0? 为 x 轴上的动点,过点 A 作直
线 l 与直线 AF 垂直,试探究直线 l 与椭圆 C 的位置 关系.

1

9. (本小题满分 13 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA1 ? 平面 ABCD . 1 (Ⅰ)从下列①②③三个条件中选择一个做为 AC ? BD1 的充分条件,并给予证明; ① AB ? BC ,② AC ? BD ;③ ABCD 是平行四边形. (Ⅱ)设四棱柱 ABCD ? A B C1 D 的所有棱长都为 1,且 1 1 1
D1 A1 C1

?BAD 为锐角,求平面 BDD1 与平面 BC1D1 所成锐
二面角 ? 的取值范围.

B1 A B

D C

20. (本小题满分 14 分)

已 知 函 数 f ( x) ? a ln x ? bx ? x ? 0? , g ( x) ? x ? ex ?1? x ? 0? , 且 函 数 f ( x ) 在 点

P ?1, f ? 1? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 . ?
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设点 Q x0 , f ? x0 ? ,当 x0 ? 1 时,直线 PQ 的斜率恒小于 m ,试求实数 m 的取 值范围; (Ⅲ)证明: g ( x) ? f ( x) .

?

?

21. 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 、 、 分.每个答题框内只能解答 1 个小题,作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 如图, 单位正方形区域 OABC 在二阶矩阵 M 的作用下变成平行四边形 OAB1C1 区域. (Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求 M ,并判断 M 是否存在逆矩阵? 若存在,求出它的逆矩阵.
2 2

y

y

C

B

1

C1

B1

O

A

x

O

A

2 x

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 ( 为参数) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为: ? .以 t ?y ? 2 t ? ? 2 坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? 2 2 sin(? ? ) . 4 (Ⅰ)求曲线 C 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于点 M , N ,若点 P 的坐标为 (1, 0) ,求 | PM | ? | PN | 的
值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , x ? R . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)若 [ f ( x)]2 ? y 2 ? z 2 ? 9 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最小值.

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9 C. 10.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11、 ??1,0,3 ? ; 12、③; 13、 ? 0,

? ?

??
3? ?



14、 3? ;

15、②③④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想等. 满分 13 分. 解: (Ⅰ) f ? x ? ?

1 3 sin 2? x ? cos 2? x 2 2 ?? ? ? sin ? 2? x ? ? , 3? ?

……2 分 ……4 分

因为函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? 所以 ? ? 1 . (Ⅱ)因为 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 列对应值表:

2? ? ? ,且 ? ? 0 , 2?
……6 分

? ?

??

? , x ??0, ? ? . 3?

x
2x ?

0

? 6
0

5? 12

2? 3

11? 12

?
5? 3

? 3

?

?
3

? 2

?

3? 2

f ( x)
……8 分

?

3 2

0

1

0

-1

?

3 2

描点,并参照弦形曲线的走向特征,用 光滑曲线把各对应点顺次联结起来画 图,得函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 上的图 象如图所示. ……11 分 根据图象可得单调递减区间为

y
1 3 2 2 2

1 2

O
1 2

π 12

π 6

π 4

π 3

5π 12

π 2

7π 12

2π 3

3π 4

5π 6

11π 12

π

x

? 5? 11? ? ? 12 , 12 ? . ? ?

. ……13 分

2 2 3 2 -1

17.本小题主要考查概率与统计的基础知识,考查运算求解能力以及应用意识,考查必然与 或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)记事件 A=“小王某天售出超过 13 个现烤面包” ,……1 分 用频率估计概率可知: P( A) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.5 . ……2 分 所以小王某天售出超过 13 个现烤面包的概率为 0.5. ……3 分 (Ⅱ)设在最近的 5 天中售出超过 13 个的天数为 ? , 则 ? ? B (5, ) .

1 2

…..5 分

记事件 B=“小王增加订购量” , 则有 P ( B ) ? P (? ? 4) ? P (? ? 5) ? C5 ( ) ( ) ? C5 ( ) ?
4 4 5 5

1 2

1 2

1 2

3 , 16

所以小王增加订购量的概率为

(Ⅲ)若小王每天订购 14 个现烤面包,设其一天的利润为? 元, 则? 的所有可能取值为 80,95,110,125,140. …..9 分 其分布列为 利润? 概率 P ……11 分 80 0.1 95 0.1 110 0.1 125 0.2 140 0.5

3 . 16

……8 分

则 E (? ) ? 80 ? 0.1 ? 95 ? 0.1 ? 110 ? 0.1 ? 125 ? 0.2 ? 140 ? 0.5 ? 123.5 所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为 123.5 元. …..13 分 18.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解: )由条件可知 c ? 1 ,? e ? (Ⅰ

1 c ? ,?a ? 2,b ? 3 ,……3 分 2 a x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的标准方程为 ……4 分 3 4

(Ⅱ ? k AF ? ? )

1 ,? kl ? m , ……6 分 m 则直线 l : y ? m ? x ? m? . ……7 分

x2 y 2 ? ?1 联立 y ? m ? x ? m ? 与 3 4 2 2 3 4 有 ? 4 ? 3m ? x ? 6m x ? 3m ? 12 ? 0 , ……9 分
6 2 4 4 2 则 ? ? 36m ? 4 4 ? 3m ? 3m ? 12 ? ?48 m ? 3m ? 4 2 2 2

?? ? ? ?48 ? m ? 1?? m ? 4 ? ? ?48 ? m

?

? 1? ? m ? 2 ?? m ? 2 ? ,……10 分

?

?

? m ? 0 ,? m2 ? 1 ? 0,m ? 2 ? 0 , 则当 0 ? m ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭圆 C 相交; ……11 分 当 m ? 2 时, ? =0 ,此时直线 l 与椭圆 C 相切; ……12 分 当 m ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭圆 C 相离. ……13 分
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)条件② AC ? BD ,可做为 AC ? BD1 的充分条件. 证明如下: ……1 分

? AA1 ? 平面 ABCD , AA1 / / DD1 , ? DD1 ? 平面 ABCD , ……2 分
∵ AC ? 平面 ABCD ,? DD1 ? AC .
A

z D1 A1 O1 B1 D O C y C1

若条件②成立,即 AC ? BD , ∵ DD1 ? BD ? D ,
x

B

? AC ? 平面 BDD1 ,

……3 分

又 BD1 ? 平面 BDD1 ,? AC ? BD1 . …..4 分 (Ⅱ)由已知,得 ABCD 是菱形,? AC ? BD . 设 AC ? BD = O , O1 为 B1D1 的中点, 则 OO1 ? 平面 ABCD , ∴ OO1 、 AC 、 BD 交于同一点 O 且两两垂直. ……5 分 以 OB,OC, OO1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.6

分 设 OA ? m , OB ? n ,其中 m ? 0, n ? 0, m2 ? n2 ? 1 , 则 A(0, ?m,0) , B(n,0,0) , C (0, m,0) , C1 (0, m,1) , D1 (?n,0,1) ,

???? ? ???? ? BC1 ? (?n, m,1) , BD1 ? (?2n,0,1) , ……7 分
设 n ? ( x, y, z) 是平面 BC1D1 的一个法向量,

?

? ???? ? ? n ? BC1 ? 0, ?? xn ? ym ? z ? 0, ? 由 ? ? ???? 得? 令 x ? m ,则 y ? ? n , z ? 2mn , ? ?n ? BD1 ? 0, ? ?2 xn ? z ? 0, ?

? ?n ? (m, ?n, 2mn) ,
??? ?

……9 分

又 AC ? (0, 2m,0) 是平面 BDD1 的一个法向量, ……10 分

? ??? ? | n ? AC | 2mn ? ? cos ? ? ? ??? ? 2 2 | n || AC | m ? n ? 4m2 n 2 ? 2m
? n2 , 1 ? 4m2 n 2
……11 分 令 t ? n ,则 m ? 1 ? t ,? ? BAD 为锐角,
2 2

?

n 1 ? 4m 2 n 2

?0 ? n ?

1 t 1 2 ? ,则 0 ? t ? , cos ? ? , 1 2 1 ? 4t (1 ? t ) 2 ? 4t ? 4 t

因为函数 y ? ? 4t 在 (0, ) 上单调递减,? y ? ? 4t ? 0 , 所以 0 ? cos ? ? 又0 ?? ?

1 t

1 2

1 t

1 ,……12 分 ks5u 2

? ? ? , ? ? ? ? ,ks5u 2 3 2 ? ? 3 2

即平面 BDD1 与平面 BC1D1 所成角的取值范围为 ( , ) . …13 分

20.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归 与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分.

解: (Ⅰ)? f ( x) ? a ln x ? bx ? x ? 0? ,? f ?( x) ?

a ? b . ……1 分 x

? 函数 f ( x) 在点 P ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,ks5u
? f (1) ? 1, ? b ?1 ?? 即? , 解得 a ? b ? 1 , ……2 分 ? f ?(1) ? 2, ?a ? b ? 2

? f ( x) ? ln x ? x ? x ? 0? .

……3 分

(Ⅱ)由 P ?1,1? 、 Q ? x0 ,ln x0 ? x0 ? ,得 kPQ ?

ln x0 ? x0 ? 1 , x0 ? 1 ln x0 ? x0 ? 1 ?m x0 ? 1

∴ “当 x0 ? 1 时, 直线 PQ 的斜率恒小于 m ” 当 x0 ? 1 时, ?

恒成立 ? ln x0 ? ?1 ? m?? x0 ?1? ? 0 对 x0 ? ?1,??? 恒成立. ……4 分 令 h ? x0 ? ? ln x0 ? ?1 ? m?? x0 ?1? , ( x0 ? 1) . 则 h? ? x0 ? ?

?1 ? m? x0 ? 1 , ……5 分 1 ? ?1 ? m ? ? x0 x0

(ⅰ)当 m ? 1 时,由 x0 ? 1 ,知 h? ? x0 ? ? 0 恒成立, ∴ h ? x0 ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, ∴ h ? x0 ? ? h ?1? ? 0 ,不满足题意的要求. ……6 分 (ⅱ)当1 ? m ? 2 时, 1 ? m ? 0 ,

1 ? 1, m ?1

h? ? x0 ? ?

?1 ? m ? x0 ? 1 ? (1 ? m)( x0 ? m ? 1) ?
x0 x0

1



1 ? ? 1 ? ? , +? ? ,h? ? x0 ? ? 0 . ? ,h? ? x0 ? ? 0 ;当 x0 ? ? ? m ?1 ? ? m ?1 ? 1 ? ? 1 ? ? 即 h ? x0 ? 在 ?1, , +? ? 单调递减. ? 单调递增;在 ? ? m ?1 ? ? m ?1 ?
∴当 x0 ? ?1, 所以存在 t ? ?1, ??? 使得 h ?t ? ? h ?1? ? 0 ,不满足题意要求. ……7 分 (ⅲ)当 m ? 2 时, 0 ?

1 ? 1 ,对于 x0 ? 1 , h? ? x0 ? ? 0 恒成立, m ?1

∴ h ? x0 ? 在 ?1, ?? ? 单调递减, 恒有 h ? x0 ? ? h ?1? ? 0 , 满足题意要求.…8 分 综上所述:当 m ? 2 时,直线 PQ 的斜率恒小于 m . ……9 分 (Ⅲ)证明:令 h ? x ? ? g ( x) ? f ( x) ? x ? e ? ln x ? x ? 1 ? x ? 0 ? ,
x



h? ? x ? ? ? x ? 1? ? e x ?

? x ? 1? ? x ? e x ? 1 ? ? x ? 1? ? g x ,…10 分 1 ?1 ? ? ? x ? ? x x
? g?( x) ? ? x ?1? ? ex ? 0( x ? 0) ,ks5u
? 函数 g ( x) 在 ? 0,??? 递增,g ( x) 在 ? 0,??? 上的零点最多一个. …11

分 又? g (0) ? ?1 ? 0 , g (1) ? e ? 1 ? 0 ,

? 存在唯一的 c ? ? 0,1? 使得 g (c) ? 0 , ……12 分
且当 x ? ? 0, c ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c, ??? 时, g ? x ? ? 0 . 即当 x ? ? 0, c ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c, ??? 时, h? ? x ? ? 0 .

? h( x) 在 ? 0, c ? 递减,在 ? c, ??? 递增,
从而 h ? x ? ? h ? c ? ? c ? ec ? ln c ? c ? 1 .
c

……13 分

由 g (c) ? 0 得 c ? e ? 1 ? 0 且 ln c ? c ? 0 ,? h ? c ? ? 0 ,

? h ? x? ? h ?c? ? 0 ,
从而证得 g ( x) ? f ( x) . ……14 分

21. (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 ks5u (1) 解: )设 M ? ? (Ⅰ

?a b ? ? a b ?? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ,得 a ? 1, c ? 0 , ? ,由 ? ? c d ?? 0 ? ? 0 ? ?c d? ? a b ?? 0 ? ?1? 由? ?? ? ? ? ? ,得 b ? 1, d ? 1 , ? c d ?? 1 ? ?1? ? 1 1? ?M ?? ? ;??????3 分 ? 0 1? ? 1 1 ? ? 1 1? ? 1 2 ? 2 (Ⅱ) M ? ? ??? ?, ?? ? 0 1 ? ? 0 1? ? 0 1 ?

? M 2 |? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ,? M 2 存在逆矩阵, | ? 1 ?2 ? ? M 2 的逆矩阵为 ? ??????????7 分 ?. ?0 1 ?
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: )由 ? ? 2 2 sin(? ? (Ⅰ

) ,得 ? ? 2sin ? ? 2cos ? , 4 当 ? ? 0 时,得 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? ,
对应直角坐标方程为: x2 ? y 2 ? 2 y ? 2 x . 当 ? ? 0 , ? 有实数解,说明曲线 C 过极点,而方程 x2 ? y 2 ? 2 y ? 2 x 所 表示的曲线也过原点.

?

∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 . ???????3 分 ( Ⅱ) 把 直 线 l 的 参 数 方 程 代 入 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 , 得

? 2 ? 2 t? ?( t ? 1) 2 ? 2 , ? ? 2 ? 2 ? ? 2 即 t ? 2t ?1 ? 0 ,由于 ? ? 6 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根,
则 t1t2 ? ?1 . ……5 分 ???7 ∵直线 l 过点 P(1,0) , ∴由 t 的几何意义,可得 | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? 1 . 分 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解: )原不等式化为 | x ? 1|? 2 , (Ⅰ

2

? x ? 1 ? ?2 或 x ? 1 ? 2 ,即 x ? ?1 或 x ? 3 , ??????3 分 ? 原不等式的解集为 {x | x ? ?1 或 x ? 3} .
(Ⅱ)由已知,得 x2 ? y 2 ? z 2 ? 9 , 由柯西不等式,得 ( x ? 2 y ? 2 z)2 ? ( x2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 22 ? 22 ) ? 81 , ? x ? 2 y ? 2 z ? ?9 , ……5 分

y z ? ? x ? ? ? 0, 当且仅当 ? 即 x ? ?1, y ? ?2, z ? ?2 时 等 号 成 2 2 ? x 2 ? y 2? z 2 9, ? ?
立,……6 分 所以, x ? 2 y ? 2 z 的最小值为 ?9 . ??????7 分


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