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用空间向量证(解)立体几何题之 (五 )

-----证明线面平行

用空间向量证(解)立体几何题 是现阶段的热门话题 。它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)和证明垂直(包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直)。

用空间向量证明“平行”, 包括线面平行和面面平行。



→ ? n

? m

? m



? ? n?m ? 0


? ? n ?? m

? n

C 例1.如图:ABCD与 ABEF是正方形, CB⊥平面ABEF,H、 M G分别是AC、BF上 B 的点,且AH=GF. N 求证: E HG∥平面CBE.

D

H

A G F

MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG

MH∥NG CH:CA=BG:BF

PH∥CB,PG∥BE
平面HPG∥平面CBE

C

D

H B E G

HG∥平面CBE

P
F

A

C

oB G

x

2 2 ? (1 ? a,0,? a) ,而平面CBE的法向 故 HG ? ? H? 2 2

G(1-

2 2

a , 1-

2 2

a,0),

量为n ? (0,1,0), 故 HG ? n,而 故 HG∥平面CBE

z
H

证明:由已知得:AB、 BC、BE两两垂直,故 可建立如图所示的空 间直角坐标系o-xyz. 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则 2 2 H(0,1- 2 a , 2 a)、 E

D

A

y

F

平面CBE

例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, A1 P、Q分别是A1B1和 BC上的动点,且 A1P=BQ,M是AB1 的中点,N是PQ的 中点. 求证: A MN∥平面AC.
M是中点,N是中点

D1

C1
B1

P

M D

N Q R B C

MN∥RQ

MN∥平面AC

作PP1⊥AB于P1, 作MM1 ⊥AB于M1,A1 连结QP1, 作NN1⊥ QP1于N1, 连结M1N1
NN1∥PP1 MM1∥AA1
A

D1

C1 B1

P

M D P1 M1

N N1 B Q C

又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形,故MN∥M1N1 MN∥平面AC

z 证明:建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2, P 又设A1P=BQ=2x N 则P(2,2x,2)、 M Q(2-2x,2,0) o C D Q 故N(2-x, 1+x, 1), A B 而M(2, 1, 1) x 所以向量 MN ? (-x, x, 0),又平面 AC 的法 ? ? ? 向量为 n ? (0, 0, 1),∴ MN ? n ? 0 ∴MN ? n 又M不在平面AC 内,所以MN∥平面AC

y

例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证: A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD

D1
B1

C1

D A B

C

于是平面A1BD∥平面CB1D1

证明:建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1, A1 则向量 DA1 ? (1,0,1)

z

D1 B1

C1

设平面 ? BDA1的法向 x A B n ? ( x , y , z ) 则有 量为 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ? 故平面BDA1的法向量为 n ? (1,?1,?1)

DB ? (1,1,0)

oD

C

y

则显然有 n ? ?m 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同?

? 同理可得平面 ? CB1D ? 1的法向量为m ? (?1,1,1)

通过本例的练习,同学们要进一步 掌握平面法向量的求法:即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0,利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。

例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证: 平面AEH∥平面BDGF

D1 H

G F B1

C1

A1

E

D A B

C

AD∥GF,AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1,GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF

略证:建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 ? AEF的法向 量为 n ? (2,2,1)

z F

D1
E

G

H C1 B1

求得平面 ? BDGH的法向 A 量为 m ? (2,2,1) x 显然有

oD

C

y

? ? m?n

B

故 平面AEH∥平面BDGF

小结:
利用向量的有关知识解决一些立体几何 的问题,是近年来很“时髦”的话题,其 原因是它把有关的“证明”转化为“程序 化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何 中的证明“线面平行”的一些例子,结合 我们以前讲述立体几何的其他问题(如:证 明垂直、求角、求距离等),大家从中可以 进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的 空间直角坐标系及写出有关点的坐标。

作业: 1.在正方体ABCDA1 A1B1C1D1中,E、F 分别是A1D1 、 BB1 的中点,问:在边 CC1上是否存在一 点P,使AC∥平面 A EFP?若存在,求 出P的位置;若不 存在,请说明理由。

D1
E

C1

B1 P D
F B C

2.在四棱锥P-ABCD中, P 底ABCD是正方形, 且PA=PB=PC= M PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 D 是PA、BD上的 A 动点, 且 PM:MA=BN:ND。问: 直线MN与平面PBC有什 么关系?请证明你的结论.

C N B


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