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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3:三角函数_图文

2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 年高考大纲卷(文) 已知 a 是第二象限角, s in a ? )
5 13 , 则 cosa ?





A. ?

12 13

B. ?

5 13

C.

5 13

D.

12 13

【答案】A 2 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为 )

【答案】C; 3 . (2013 年高考四川卷(文) 函数 f ( x ) ? 2 sin ( ? x ? ? )( ? ? 0 , ? )
?
2 ?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ?

的值分别是

( A. 2 , ?
?
3



B. 2 , ?

?
6

C. 4 , ?

?
6

D. 4 ,

?
3

【答案】A 4 (2013 年高考湖南 . (文)在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB= 3 b,则角 A 等于______ )

( A.
?
3



B.

?
4

C.

?
6

D.

?
12

【答案】A 5 . (2013 年高考福建卷(文) 将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(? )

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长

度后得到函数 g (x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0,
5? 3 5? 6

3 2

) ,则 ? 的值可以是





A.

B.

C.

?
2

D.

?
6

【答案】B 6 . (2013 年高考陕西卷(文) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b co s C ? c co s B ? a sin A , )

则△ABC 的形状为 A.直角三角形 【答案】A
7 .( 2013

( B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定



年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 在 ? A B C , 内 角 A , B , C
1 2 b, 且 a ? b, 则 ? B ?

所 对 的 边 长 分 别 为 ( )

a , b , c . a s in B c o s C ? c s in B c o s A ?

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

【答案】A 8 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面 )

积为 A.2 +2 B. +1 C.2 -2 D. -1





【答案】B 9 . (2013 年高考江西卷(文) 若 s in )
2 3 1 3

?
2

?

3 3

, 则 cos ? ?


2 3



A. ?

B. ?

C.

1 3

D.

【答案】C 10. (2013 年高考山东卷(文) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , )

若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? A. 2 3
【答案】B 11. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 已知 sin2α = ,则 cos (α + )= )
2

( C. 2 D.1



B.2





A.
【答案】A

B.

C.

D.

12. (2013 年高考广东卷(文) 已知 s in ( )

5? 2

??) ?

1 5 1 5

,那么 co s ? ? D.
2 5





A. ?

2 5

B. ?

1 5

C.

【答案】C 13. (2013 年高考湖北卷(文) 将函数 y ? )
3 co s x ? sin x ( x ? R )

的图象向左平移 m

(m ? 0)

个单位长度后,所 ( )

得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.
π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

【答案】B 14. (2013 年高考大纲卷(文) 若函数 y ? sin ? ? x ? ? )

? ??

? 0 ?的 部 分 图 像 如 图 , 则 ? =





A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

【答案】B 15. (2013 年高考天津卷(文) 函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? )
? ?

??

? ?? ? 在区间 ? 0, ? 上的最小值是 4? ? 2?





A. ?1
【答案】B

B. ?

2 2

C.

2 2

D.0

16.2013 年高考安徽 ( (文)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a, 3sin A ? 5sin B , )

则角 C = ? A.
3

( B.
2? 3



C.

3? 4

D.

5? 6

【答案】B 17 .( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 )) 已 知 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为
a, b, c , 23cos A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?
2

( D. 5



A. 10
【答案】D

B. 9

C. 8

18. (2013 年高考浙江卷(文) 函数 f(x)=sin xcos x+ )

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( 2
D.2π ,2
1 3



A.π ,1
【答案】A

B.π ,2

C.2π ,1

19. (2013 年高考北京卷(文) 在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , s in A ? )

,则 sin B ?





A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

D.1

【答案】B 20. (2013 年高考山东卷(文) 函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为 )

【答案】D 二、填空题 21. (2013 年高考四川卷(文) 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( ) 【答案】 3 22. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 函数 y ? c o s ( 2 x ? ? )(? ? ? ? ? ? ) 的图像向右平移 )
y ? s i n ( 2x ?

?
2

, ? ) , 则 ta n 2 ? 的值是________.

?
2

个单位后,与函数

?
3

) 的图像重合,则 | ? | ? ___________.[来源:学&科&网]

【答案】

5? 6

23. (2013 年上海高考数学试题(文科) 已知 ? A B C 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c .若 )
a ? a b ? b ? c ? 0 ,则角 C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
2 2 2

【答案】

2? 3 1 3

24. (2013 年上海高考数学试题(文科) 若 c o s x c o s y ? sin x sin y ? ) 【答案】 ?
7 9

,则 c o s ? 2 x ? 2 y ? ? ________.

25. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______. )
2 5 5

【答案】 ?

;

26. (2013 年高考江西卷(文) 设 f(x)= )

sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范

围是_____._____
【答案】 a ? 2 三、解答题 27. (2013 年高考大纲卷(文) 设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? a c . )

(I)求 B (II)若 s in A s in C ?
3 ?1 4

,求 C .

【答案】(Ⅰ)因为 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? a c , 所以 a ? c ? b ? ? a c .
2 2 2

由余弦定理得, c o s B ?

a ?c ?b
2 2

2

? ?

1 2

, 因此, B ? 1 2 0 .
0

2ac

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? C ? 6 0 ,所以
0

co s( A ? C ) ? co s A co s C ? sin A sin C

? co s A co s C ? sin A sin C ? 2 sin A sin C
3 ?1 4
0

? co s( A ? C ) ? 2 sin A sin C

?

1 2

? 2?

?

3 2

,

故 A ? C ? 3 0 或 A ? C ? ? 3 0 , 因此, C ? 1 5 或 C ? 4 5 .
0 0 0

28. (2013 年高考湖南(文) 已知函数 f(x)= )
2? 3

(1) 求 f (

) 的值; 1 4

(2) 求使 f ( x) ?

成立的 x 的取值集合
?
3

【答案】解: (1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos
1 2

? sin x ? sin
1 4 1 4

?
3

)?

1 2

(sin 2 x ?
1 4

3 2

? cos 2 x ?

1 2

)?

1 4

?

sin( 2 x ?

?
6

)?

1 4

? f(

2? 3

)?

1 2

sin

3? 2

?

??

.所以f (

2? 3

) ?? ?

.

(2)由(1)知, [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 1 ? 1 1
f ( x) ? sin( 2 x ? 7? 12
2 3

)?

?

? sin( 2 x ?

?
6

) ? 0 ? (2 x ?

?
6

) ? ( 2k? ? ? ,2k? ) 7? 12 , k? ?

2 ? x ? ( k? ?

6 , k? ?

4

4

?
12

), k ? Z .所以不等式的解集是: ? ? (k

?
12

), k ? Z .

29. (2013 年高考天津卷(文) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a )

= 3,

cos B ?

.

(Ⅰ) 求 b 的值; (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ?
? ?

??

? 的值. 3?

【答案】

30. (2013 年高考广东卷(文) 已知函数 f ( x ) ? )

? ? 2 cos ? x ? 12 ?

? ?,x? R . ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ? 3 ?

(2) 若 c o s ? ?

? ? ? 3? ? ? ,? ? ? , 2 ? ? ,求 f ? ? ? ? . 5 6 ? ? 2 ? ?
3

?? ? f ? ?? 【答案】(1) ? 3 ?

? ? ?? 2 cos ? ? ?? ? 3 12 ?
? 3?

?? ? 2 cos ? ? ? 1 ? 4 ?

(2)? c o s ? ?

3 5

,

? ??

4 ? 2 , 2 ? ? , s in ? ? ? 1 ? c o s ? ? ? , 5 ? 2 ?

? ? ? ? f ?? ? ?= 6 ? ?

? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 4 ? ?

? ? ? 1 ? 2 ? cos ? cos ? s in ? s in ?? ? . 4 4 ? 5 ?
3 2

31. (2013 年高考山东卷(文) 设函数 f ( x) ? )

?

3 sin ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x ) 的图象
2

的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,
【答案】
3? 2

?
4

,

] 上的最大值和最小值

32. (2013 年高考浙江卷(文) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, )

且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
【答案】 解:(Ⅰ)由已知得到: 2 sin A sin B ?

3 sin B ,且 B ? (0 ,

?
2

) ? s in B ? 0 ? s in A ?

3 2

,

且 A ? (0 ,

?
2

)? A ?

?
3
1 2

;

(Ⅱ)由(1)知 c o s A ?

,由已知得到:

36 ? b

2

? c

2

? 2bc ?

1 2

? (b ? c ) ? 3b c ? 3 6 ? 6 4 ? 3b c ? 3 6 ? b c ?

2

28 3

,

所以 S ? A B C ?

1 2

?

28 3

?

3 2

?

7 3

3;
?

33. (2013 年高考福建卷(文) 如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?OPQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 )
PQ 上.

(1)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小?并求出面积 的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ?

5 , OP ? 2 2 ,

由余弦定理得, OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得
OM sin ?OPM ? OP sin ?OMP

, 所以 OM ?

OP sin 45? sin ? 45? ? ? ?

,

同理 ON ?

OP sin 45? sin ? 75? ? ? ?
1 2

故 S ?OMN ?

? OM ? ON ? sin ?MON

?

1 4

?

OP sin 45?
2 2

sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?

?

1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

? 3 2 sin
2

1

? 3 4

1 ?1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? ? ? 1 4 sin ? 90? ? 2? ?

? 45? ? ? ? ?
1

1 2

sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?

? 3 4 ? 3 4

? 1 4 cos 2? 3 4 ? 1 2

1 sin ? 2? ? 30? ?

sin 2? ?

因 为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? , 所 以 当 ? ? 30? 时 , sin ? 2? ? 30? ? 的 最 大 值 为 1 , 此 时
?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 .
b 34. (2013 年高考陕西卷(文) 已知向量 a ? (c o s x , ? ), b ? ( 3 s in x , c o s 2 x ), x ? R , 设函数 f ( x ) ? a · . )
2 1

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? 0 ,
? ?

? ?
2? ?

上的最大值和最小值.

【答案】(Ⅰ) f ( x ) ? a · = cos x ? b

3 sin x ?

1 2

cos 2 x ?

3 2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

).

最小正周期 T ?

2? 2

?? .

所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当 x ? [ 0 ,

?
2

]时, 2 x ? (

?
6

) ? [-

?
6

,

5? 6

],由标准函数

y ? sin x 在 [ -

?
6

,

5? 6

]上的图像知, .

f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? [ f (-

?
6

), f (

?
2

)] ? [ ?

1 2

,1] .

所以,f (x) 在 ? 0 ,
?

?

? ?
2? ?

上的最大值和最小值分别为 1, ?

1 2

.

35. (2013 年高考重庆卷(文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分) )

在△ A B C 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ?
2 2 2

3ab .

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ?
【答案】
3 , S 为△ A B C 的面积,求 S ? 3 co s B co s C 的最大值,并指出此时 B 的值.

36. (2013 年高考四川卷(文) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 )
c o s( A ? B ) c o s B ? sin ( A ? B ) sin ( A ? c ) ? ? 3 5

.

(Ⅰ)求 s in A 的值;

(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 B A 在 B C 方向上的投影.

??? ?

??? ?

【答案】解:(Ⅰ)由 c o s( A ? B ) c o s B ? sin ( A ? B ) sin ( A ? c ) ? ?
cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B ) sin B ? ? 3 5

3 5



,

则 cos( A ? B ? B ) ? ?

3 5

,即 cos A ? ?
4 5

3 5

又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? (Ⅱ)由正弦定理,有
a

?

b sin B

,所以 sin B ? .

b sin A a

?

2 2

,

sin A

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

根据余弦定理,有 ( 4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5 c ? ( ? ) ,
5

3

解得 c ? 1 或 c ? ? 7 (负值舍去), 向量 B A 在 B C 方向上的投影为 BA cos B ?
??? ?

??? ?

2 2

37. (2013 年高考江西卷(文) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. )

(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C=

2? 3

,求

a b

的值.
2 2

【答案】解:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin B

因为 sinB 不为 0 ,所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知 c ? a ? b ? 2 a c co s C 得 ( 2 b ? a ) ? a ? b ? 2 a c c o s
2 2 2
2 2 2

2? 3

化简得

a b

?

3 5

38 . 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 文 ) 在 △ A B C 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知 ( )
cos A? 2 3 c o s? C ? . B ( ) 1
? 5 3

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若△ A B C 的面积 S

,b

? 5

,求 sin B sin C 的值.

【答案】(Ⅰ)由 co s 2 A ? 3 co s( B ? C ) ? 1 ,得 2 co s 2 A ? 3 co s A ? 2 ? 0 ,

即 ( 2 co s A ? 1)(co s A ? 2 ) 因为 0 ? (Ⅱ)由 S
A? π

?0
π 3

,解得 co s

A ?

1 2

或 co s A

? ?2

(舍 去).

,所以 A

?
1 2

.
3 2 ? 3 4 bc ? 5 3 ,

?

1 2

b c sin A ?

bc ?

得 bc

? 20

. 又b
?

? 5 ,知 c ? 4 .

由余弦定理得 a 2

? b ? c ? 2 b c co s A ? 2 5 ? 1 6 ? 2 0 ? 2 1,
2 2

故a
20 21 ?

21

. .

又由正弦定理得 sin B sin C

?

b a

sin A ?

c a

sin A ?

bc a
2

sin A ?
2

3 4

?

5 7

39. (2013 年高考安徽(文) 设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? )

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f ( x) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.
【答案】解:(1) f ( x) ? sin x ? sin x cos
1 2 3 2 3 2

?
3

? cos x sin

?
3

? sin x ?

sin x ?

cos x ?

sin x ?

3 2

cos x

?

3 2 3 2 ? ( ) ?( ) sin( x ? ) ? 2 2 6

3 sin( x ?

?
6

)

当 sin( x ?

?
6

) ? ?1 时, f ( x ) min ? ? 3 ,此时 x ?

?
6

?

3? 2 4?

? 2k? ,? x ?

4? 3

? 2k? , ( k ? Z )

所以, f (x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ?

? 2k? , k ? Z } .

3

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移
?
6
2

个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ?

?
6

)
1 2 cos 4 x .

f 40. (2013年高考北京卷(文) 已知函数 ( x)? ( 2 c o s x ? 1) s in 2 x ? )
f (I)求 ( x)的最小正周期及最大值;

(II)若 ? ? (

?
2

f , ? ) ,且 ( ? )?

2 2
2

,求 ? 的值.
1 2 c o s 4 x = c o s 2 x s in 2 x ?
1 2

f 【答案】解:(I)因为 ( x)? ( 2 c o s x ? 1) s in 2 x ?

cos 4 x

=

1 2

(s in 4 x ? c o s 4 x ) =

2 2

s in ( 4 x ?

?
4

) ,所以 f ( x ) 的最小正周期为

?
2

,最大值为

2 2

.

f (II)因为 ( ? )?

2 2

,所以 s in ( 4 ? ?

?
4

) ? 1.

因为 ? ? (

?
2

,? ) ,

所以 4 ? ?

?
4

?(

9? 1 7 ? ? 5? 9? , ) ,所以 4 ? ? ? ,故 ? ? . 4 4 4 2 16

41. (2013 年上海高考数学试题(文科) 本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. )

已知函数 f ( x ) ? 2 sin ( ? x ) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ?
?
2 ) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x ) 的图像向左平移

?
6

个单位,再往上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图

像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x ) 在区间 [ a , a ? 1 0 ? ] 上零点个数的所有可能值.

【答案】法一:解:(1) F ( x ) ? 2 s in x ? 2 s in ( x ?
F ( x ) 是非奇函数非偶函数.

?
2

) ? 2 s in x ? 2 c o s x ? 2

2 s in ( x ?

?
4

)

∵ F (?

?
4

) ? 0, F (

?
4

)? 2

2 ,∴ F ( ?

?
4

)? F(

?
4

), F ( ?

?
4

) ? ?F (

?
4

)

∴函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ?

?
2

) 是既不是奇函数也不是偶函数.

(2) ? ? 2 时, f ( x ) ? 2 sin 2 x , g ( x ) ? 2 s in 2 ( x ? 由 2 s in ( 2 x ? ∴2x ?
?
3

?
6

) ? 1 ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

) ? 1 , 其最小正周期 T ? ?

?
3

) ? 1 ? 0 ,得 s in ( 2 x ?
k

?
3

)? ?

1 2

, [来源:学,科,网]
? ( ? 1) ?
k

? k ? ? ( ? 1) ?

?
6

, k ? Z ,即 x ?

k? 2

?
12

?

?
6

,k ? Z

区间 ? a , a ? 1 0 ? ? 的长度为 10 个周期, 若零点不在区间的端点,则每个周期有 2 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 2 个零点; 故当 a ? 法二:
k? 2 ? ( ? 1) ?
k

?
12

?

?
6

, k ? Z 时,21 个,否则 20 个.

42. (2013 年高考辽宁卷(文) 设向量 a ? )

?

? ? 3 s in x , s in x , b ? ? c o s x , s in x ? , x ? 0 , ? 2 ?

?

? . ? ?

(I)若 a ? b .求 x的 值 ;
【答案】

(II)设函数 f ? x ? ? a ?b , 求 f ? x ? 的 最 大 值 .


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