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1.5.3《定积分的概念》(第2课时)课件


观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

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观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?,?? xi-1, xi ?,?, ? xn-1, b?, 每个小区间宽度⊿x =
b-a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

(2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。

y=f(x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: ? S

? f (x )Dx
i =1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

S = lim ? f (xi )Dx
n?? i =1

n

O

a

xi xi xi+1 Dx

?

b

x

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n n 分割---近似代替----求和------取极限得到解决. b-a i =1 i =1

小矩形面积和S=? f (xi )Dx = ? f (xi ) ?

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b-a 即? ( x)dx lim ? f ? (x f (x)dx,即? ff(x)dx == lim ? (x i)?Dxfi。i ) aa ? ?n?? 0 n i =1 i =1
bb
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y = f (x)

a

b

x

积分上限

?a f ( x )dx = I = lim ? f (x i )Dxi ? ? 0 i =1
b
积分下限

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为

S= ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s= ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = ? f ( x)dx = ? x dx = 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S= 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

O
n

x

gD S

g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S = ? v(t )dt = ? (-t ? 2)dt = 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx = ?a f (t)dt =?a
(3)

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.

?a f(x)dx = - ?b f (x)dx
b a

(2)定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)

b

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O a
b

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。
a

定积分的几何意义:
当f(x)<0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y y=-f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

S = ? [- f ( x)]dx
a

=b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
=? ?a f (x)dx =-S f (x)dx? ?c a
b

f (x

=? ?a f (x)dx =-S f (x)dx? ?c a

f (x)dx。

y=f (x)

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y=f (x) 的面积? y

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 = y = f ( x) dx ? g )
b

S2 = ? g ( x)dx
a

a

b

O

a a

b x

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx = k ? f ( x )dx
b a

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
b b a a

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
c b a c

y y=f (x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
y

b

c

b

f (x)dx。

y=f(x)

f (x)dx f (x)dx? ? (x)dx。 ?a f?a(x)dx = ?a= f?a(x)dx?(x)dxf=(x)dx。 ?c ?a f ?c fc ?a f (x)dx?

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

例1:利用定积分的定义,计算 的值.
3

?

1

0

x dx

3

[解] 令 f(x)=x .在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1 个分点, 把区间[1,2]等分成 n 个小区间[(i-1)/n,i/n](i=1,2,?,n)
n 1 i i 3 1 1 n 3 3 取?? , 则? dx ?lim ?( ) ? ? x lim 4 ? i i n? ? 0 n n n ? ?n i ? i? n 1 1 2 1 ?(n ? 1) ? n 1 ? ??lim 1 (1 ? 1 )2 ? ? lim 4 ? n ? ?4 n ? ?n ? 2 n 4 ? ?


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