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高中数学必修2第二章


第二章
点、直线、平面之 间的位置关系

2.1 点、直线、平面

之间的位置关系

主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素
D′ A′ D A B 面无厚薄 点、线、面 B′ C′ 点无大小

C

线无粗细



直线

可无限延伸的

平面

平面是可无限延展的

平面的表示
平面的画法 一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.

图一

图二

平面的表示
平面的符号表示 D C ? A B 1. 希腊字母: 平面?, 平面?,平面?

2. 一个或几个拉丁字母: 平面M, 平面AC,

平面ABCD等

平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面?和平面?相交于一条直线a ? a ? 平面??平面?=直线a 被遮住的部分画虚线

a

平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合

P ? l, A ?? “点P在直线l上”,“点A在平面α内”
P ? l , A ?? “点P在直线l 外”,“点A在平面α外”
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l 直线 l 在平面α外.

l ? ?,l ? ?

平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.

平面经过这条直线 集合符号表示

A .

B .

α

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ?
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据

平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢?

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面. “不共线的三点确定一个平面”
?

集合符号表示

. A . B . C

已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面?,使得A、B、C?? 作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内

平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些 公共点有什么特征?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l

?

作用:判断两个平面位 置关系的基本依据

?

P

l

探究问题
? 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. ? 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个

平面的合理性.
? 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.

小结
1.平面的表示:概念、图形、符号等 2.平面的基本性质

公理1
公理2

公理3
3.判断共面的方法

2.1.2

空间中直线与直线 之间的位置关系

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?

两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.

a
b

a

b

异面直线的图示

两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线;

B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线;
C. 分别在不同平面内的两条直线;

D. 不在同一个平面内的两条直线;
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.

如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题 已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面? D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

异面直线所成的角
思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角,常 取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这 个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条 异面直线的位置关系呢?

a

a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线 a? // a, ?b? // b ,把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角.
b

b?

b

?

a

O

a?

?

O

a? a

异面直线所成的角
探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b

? ?? ? 0, ? ? 2?

?

a

如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为:a?b

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A?B?C ?D?中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线? 如: AD与BB?, A?D?与BB? 等.
D?

C?
B?
C

(2)如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直,那么, 另一条直线是否也与这条直线 A B 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A?

不一定,如上图的立方体中 AB ? BB?, BC ? BB?, 直线AB与BC相交,

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系.
(2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

a ?

记为:a??

直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点

a

?

A

记为:a??=A

直线与平面

(3)直线与平面平行
a

没有公共点

?

记为:a//?

直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a?? a//?
a a

a??=A 或

A ?

?

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内

直线与平面相交
直线与平面平行

2.1.4

平面与平面之间的 位置关系

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 分类的依据是什么?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示
? ? ? ? m

?//?

???=m

2.2 直线、平面平行的 判定及其性质

主要内容
2.2.1 直线与平面平行的判定

2.2.2 平面与平面平行的判定

2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.1 直线与平面平行的 判定

复习

直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:

(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点.

直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

直线和平面的三种位置关系的画法

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l与 桌面所在的平面具有怎样的位置关系?

l

直线和平面平行
思考 如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜想在什么条件下 直线a与平面α平行.

a

a//b
α
b

直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直 线和这个平面平行.

b

?

小结
直线与平面平行的判定定理可简述为

“线线平行,则线面平行”

思想方法 通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关 系(平面问题).

2.2.2

平面与平面平行的判定

两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

小结
1. 知识小结

2. 思想方法
线线平行 线面平行 面面平行

2.2.3

直线与平面平行的 性质

复习

直线与平面平行的判定定理是什么?
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平面平行.

问:其逆定理是否成立?

直线与平面平行
性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行.

已知: a // ? ,? ? ? ,? ? ? ? b a // b . 求证: 证 明:

? ?? ?b
? b ??? ? a // ? ?



? a ? b ? ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? b?? ?

小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行,则线线平行”

思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法, 也提供了作平行线的一种方法.

2.2.4

平面与平面平行的性质

复习1: 两个平面的位置关系是

平行或相交 .

? ?

复习2:

两个平面平行的判定

判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平 面.

?

a

? // ? , a ? ? ? a // ?
?

两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行.

即:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
这个定理判定两直线平行的依据之一

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法

面面平行

线面平行或线线平行

2.3 直线、平面垂直的 判定及其性质

主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.1

直线与平面垂直的 判定

复习1 直线和平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

大桥的桥柱与水面的位置关系

线面垂直

思考3

一条直线与一平面垂直的特征是什么?

特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.

A C

?

C?

B?

B

直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平 面? 互相垂直.

记为l ? ?

平面 ? 的垂线 垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
平面内任意一 条直线

思考4

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?

l α

线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直.

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

l?a l ?b

l

b

?

A

a

直线与直线垂直

探究 如图,直四棱柱 (侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中, A?B?C?D? ? ABCD 底面四边形 满足什么条件时, ?

ABCD

A?C ? B?D?
B?

A?

D?

C?

A D B
答:底面四边形ABCD对角线相互垂直.

C

小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直,则线面垂直”

思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的垂 直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).

问题提出

前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?

第2课时

直线与平面所成的角

线面角相关概念
平面的斜线 平面的垂线

P
斜足A

l

垂足B

α
斜线PA在平面内的射影

A

B

斜线PA与平面?所成的角为?PAB

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的 00角

一条直线与平面所成的角的取值范围是

[0,900 ]

思考1

如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC 为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大小 关系如何?
B 解:作BO?AD于O,BE?AC于E, 则 BD<BE sin?BAD<sin?BAC o A

D ∠BAD >∠BAC

α

E

C

思考2

两条平行直线与同一个平面所成的角的大小 关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平 面所成的角的大小关系如何?

思考3

1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形?
2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

小结
1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的 角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况.

2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线 所成角中最小的角.
3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在 平面内的射影.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

地球赤道面 卫星轨道面

概念

直线上的一点将直线分割成两部分,每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分,每一部分叫半平面.

射线 射线

半平面

半平面

概念

A
从一点出发的两条射线,构成平面角.

O
记作?AOB 同样,从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面.

B

?

m

?

记为:二面角?-m-?

二面角的图示

二面角的记号
(1)以直线 为棱,以 l 为半平面的二面角记为:

?, ?

(2)以直线AB为棱,以 为半平面的二面角记为:

?, ?

? ?l ? ?
?
l

? ? AB ? ?
?
B

?

?

A

思考3

两个相交平面有几个二面角?

探究

如何用平面角来表示二面角的大小?
β B l

二面角?-l-?
O A β B l O α A α

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.

∠AOB即为二面角α-AB-β的

平面角

注意:二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围

?0 ,180 ?或 [0,? ]
0 0

β

l

α

0度角

00~1800

180度角

小结二面角的平面角的作法:

1.定义法: 根据定义作出来.

?
A o

l

?
B

2.作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.
3.应用三垂线定理: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.

o

?
A
l

?
B

l

A
o

?
?

l

B

第2课时

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平 面互相垂直.

记为??? β a A α b ? ?

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直.
β

a?? a ? 面?

?? ? ?
α

a

A

线线垂直

线面垂直

面面垂直

探究: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B

A

D C

小结
1. 知识小结 1)二面角及其平面角 2)两个平面互相垂直 2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直

2.3.3

直线与平面垂直的 性质

复习

a??

直线与平面垂直的定义是什么?

直线与平面垂直的判定定理是什么?

a

α

思考1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?

C1 A1

D1

B1

C B A

D

思考2

如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直线a,b的位置关系如何?

l
a b a b

l

b

l
a

相交

平行

异面

思考3 如果直线a,b都垂直于平面α,那么a与b一定平行吗?

a

b

?

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行
a b

?
a ??? ? ? a // b b ???

小结
直线与平面垂直的性质定理可简述为
“线面垂直,则线线垂直” “线面垂直,则线线平行” 思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方 法,也提供了作平行线的一种方法.

2.3.4

平面与平面垂直的性质

复习1

两个平面相互垂直

三个平面两两垂直

α
β

α

β

l γ

l

复习2

两个平面垂直的判定

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直.
α

β

l

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?

α

β

3. 设 ? , , ? ? CD , AB ? 垂足为B,那么直线AB与平面?的位置关系如何?为什么?

?

? ?

?

? , AB ? CD

β E D

B α C

A

两个平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l α A
面面垂直?线面垂直

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? a ? ? ? a?? ?
a?l ? ?

结论
如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平 面的直线,必在这个平面内.

α

A

B β

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法

面面垂直

线面垂直或线线垂直


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