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五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)联考数学理试题

五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)联考

高三年级数学(理)学科试题
命题学校:江西师大附中 命题人:郑永盛 审题人:蔡卫强

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 z 是 z 的共轭复数,若 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? z ? ( ) A. ? 2 B. ? 1 C. 0 D. 2 [来
2.已知集合 A ? {x | x
2

A. (1, 2)

? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则 A B ? ( B. (1, 2] C. [?1,1) D. (?1,1) [


2

3.已知命题 p :存在 x ? R ,使得 x ? 10 ? lg x ;命题 q :对任意 x ? R ,都有 x ? 0 , 则( ) A.命题“ p 或 q ”是假命题 B.命题“ p 且 q ”是真命题 C.命题“非 q ”是假命题 D. 命题“ p 且?非 q ?”是真命题

3 ,则 cos 2? ? ( ) 3 5 5 5 5 A. B. C. ? D. ? 3 9 3 9 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线 5.一只蚂蚁从正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点 爬行到达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )
4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

A.①②

B.①③

C.③④

D.②④

6.某教研机构随机抽取某校 20 个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图,以组距为 5 将数据分组成 ?0,5? , ?5,10? , ?10,15? , ?15,20? , ?20,25? , ?25,30? ,

?30,35? , ?35,40? 时,所作的频率分布直方图如图所示,则


原始茎叶图可能是(

高三数学(理科)第 1 页

7. 若如下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 ( )

A. k ? 7 B. k ? 6 C. k ? 6 D. k ? 6 8. 已知定义在区间 [?3,3] 上的函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 对于函数 y ? f ( x) 的图像上任意两点 ( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) 都有 ( x1 ? x2 ) ?[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 .若实数 a , b 满足 f (a2 ? 2a) ? f (2b ? b2 ) ? 0 ,则点 ( a, b) 所在区域的面积为( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
2 2 9.已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原

点,且有 | OA ? OB |≥ A. [ 2, ??)

3 | AB | ,那么 k 的取值范围是( ) 3 B. [ 2, 2 2) C. ( 3, ??)

D. [ 3, 2 2)

10 . 如 图 , 半 径 为 2 的 圆 内 有 两 条 圆 弧 , 一 质 点 M 自 点 A 开 始 沿 弧 A? B ? C ? O ? A? D ? C 做匀速运动,则其在水平方向(向右为正)的速 度 v ? v(t ) 的图象大致为( )

二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计 分,本题共 5 分. 11. (1) (不等式选做题)如果存在实数 x 使不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 5a 成立,则实
2

数 a 的取值范围为____________. (2) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? cos 极坐标___________.(规定: ? 厔0, 0
2

? ? 4sin ? 的焦点的

? ? 2? )

三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12.设矩形区域 ? 是由直线 x ? ?

?

y ? cos x 、 x ? ?

?
2

2

和 y ? ?1 所围成的平面图形,区域 D 是由余弦函数

和 y ? ?1 所围成的平面图形.在区域 ? 内随机的抛掷一粒豆子,则

该豆子落在区域 D 内的概率是___________.

高三数学(理科)第 2 页

13.已知曲线 f ( x) ? xn?1 (n ? N ? ) 与直线 x ? 1 交于点 P ,若设曲线 y ? f ( x) 在点 P 处 的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log2014 x1 ? log2014 x2 ? ___________. 14.已知平面向量 ? ,

? log2014 x2013 的值为

? (? ? ? ) 满足 ? ? 2 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为120? , t ? R ,则

(1 ? t )? ? t ? 的最小值是________________.
15.如图, F1 , F2 是双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 3 C1 , C2 在第一象限的公共点.若 F1F2 ? F1 A ,则 C2 的离心率是________.

四、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ( x ?
2

?

(1)求 f ( x ) 的最大值及 ? 的值;

?? ? ? 设 x ? ? 时 f ( x ) 取到最大值. ) ? 3 cos 2 x, x ? ? , ? . 4 ?4 2?

(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? ? ?

?
12

,且

sin B sin C ? sin 2 A ,求 b ? c 的值.

17. (本小题满分12分) 某学校为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防安全知识竞赛,其中一道 题是连线题,要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线,规定:每连对 一条得5分, 连错一条得-2分. 某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起 来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率; (2)设 X 为该参赛者此题的得分,求 X 的分布列与数学期望.

18.(本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC—A1B1C1 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 O,∠ BCA=90° ,AC=BC=2,又知 BA1⊥ AC1。 (1)求证 AC1⊥ 平面 A1BC; (2)求锐二面角 A—A1B—C 的余弦值。

高三数学(理科)第 3 页

19. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? ⑴ 求数列 {an } 的通项公式;
2 an 3 1 ⑵ 记 bn ? log 3 ,数列 { } 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . 16 4 bn ? bn? 2

1 an ? 1 . 2

20. (本小题满分 13 分)

(1, ? ) 已知点 P 在椭圆 C :
(1)求椭圆 C 的方程;

3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,过椭圆 C 的右焦点 F2 (1,0) 的直 a 2 b2

线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. (2)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN // AB , W ?

| AB |2 .试判断 W 是否为 | MN |

定值?若 W 为定值,请求出这个定值;若 W 不是定值,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (a ?1)ln x ? ax ?1.
2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) 设 a ? ?1 , 若对任意 x1、x2 ? (0, ??) , 恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) …4 x1 ? x2 成立, 求a 的取值范围.

高三数学(理科)第 4 页


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