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【优化方案】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明(第3课时)课时作业 新人教A版选修2-2


【优化方案】2014-2015 学年高中数学 第二章 推理与证明(第 3 课 时)课时作业 新人教 A 版选修 2-2
[学业水平训练] 1.(2014· 高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个 实根”时,要做的假设是( ) A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析: 选 A.依据反证法的要求, 即至少有一个的反面是一个也没有, 直接写出命题的否定. 方 程 x3+ax+b=0 至少有一个实根的反面是方程 x3+ax+b=0 没有实根,故应选 A. 2.设 a,b,c 为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于零”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C.首先若 P,Q,R 同时大于零,则必有 PQR>0 成立.其次,若 PQR>0,则 P, Q,R 同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设 P<0,Q<0, ∴a+b-c<0,b+c-a<0,∴b<0 与 b 为正实数矛盾,故 P,Q,R 都大于 0.故选 C. 3.已知 α∩β=l,a?α,b?β,若 a,b 为异面直线,则( ) A.a,b 都与 l 相交 B.a,b 中至少有一条与 l 相交 C.a,b 中至多有一条与 l 相交 D.a,b 都不与 l 相交 解析:选 B.逐一从假设选项成立入手分析,易得 B 是正确选项,故选 B. 4.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析:选 C.假设 c∥b,而由 c∥a,可得 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c 与 b 不可能是平 行直线,故应选 C. 1 1 1 5.设 x,y,z 都是正实数,a=x+y,b=y+ z ,c=z+ x ,则 a,b,c 三个数( A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2 B.都小于 2 D.都大于 2 )

1 1 1 解析:选 C.若 a,b,c 都小于 2,则 a+b+c<6①,而 a+b+c=x+x +y+y+z+ z ≥6②, 显然①,②矛盾,所以 C 正确. 6.在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP, 用反证法证明时的假设为________. 解析:反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP >∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP 7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:
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①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°矛盾,故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________. 解析:由反证法证明数学命题的步骤可知,上述步骤的顺序应为③①②. 答案:③①② 8.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为 an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数),且 a>b,那 么两个数列中序号与数值均相同的项有________个. 解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在 n 使得 an=bn,由题意 a>b,n∈N*,则恒 有 an>bn,从而 an+2>bn+1 恒成立,∴不存在 n 使 an=bn. 答案:0 9.设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点,求证:AC 与平面 SOB 不垂直. 证明:

假设 AC⊥平面 SOB,如图, ∵直线 SO 在平面 SOB 内, ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆 O, ∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面 SAB. ∴平面 SAB∥底面圆 O. 这显然出现矛盾,所以假设不成立, 即 AC 与平面 SOB 不垂直. 1+x 1+y 10.(2014· 海口高二检测)若 x,y 都是正实数,且 x+y>2,求证: y <2 与 x <2 中至 少有一个成立. 1+x 1+y 证明:假设 y <2 和 x <2 都不成立, 1+x 1+y 则有 y ≥2 和 x ≥2 同时成立, 因为 x>0 且 y>0, 所以 1+x≥2y 且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 矛盾, 1+x 1+y 因此 y <2 和 x <2 中至少有一个成立. [高考水平训练] 1. 对于定义在实数集 R 上的函数 f(x), 如果存在实数 x0, 使 f(x0)=x0, 那么 x0 叫做函数 f(x) 的一个好点.已知函数 f(x)=x2+2ax+1 不存在好点,那么 a 的取值范围是( )
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1 3 A.(-2,2)

3 1 B.(-2,2)

C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:选 A.假设 f(x)=x2+2ax+1 存在好点,亦即方程 f(x)=x 有实数根, 所以 x2+(2a-1)x+1=0 有实数根, 则 Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0, 1 3 解得 a≤-2或 a≥2, 1 3 故当 f(x)不存在好点时,a 的取值范围是-2<a<2,故选 A. 2.完成下列反证法证题的全过程. 题目:设 a1,a2,…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列,求证 p=(a1-1)(a2-2)·…·(a7-7)为偶 数. 证明:反设 p 为奇数,则________均为奇数.① 由于奇数个奇数之和为奇数,故有: 奇数=________② =________③ =0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数. 答案:①a1-1,a2-2,…,a7-7 ②(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) ③(a1+a2+…+a7) -(1+2+…+7) 3.已知直线 m 与直线 a 和 b 分别交于 A,B,且 a∥b.求证过 a,b,m 有且只有一个平面.

证明:如图所示,∵a∥b, ∴过 a、b 有一个平面 α, 又 m∩a=A,m∩b=B, ∴A∈a,B∈b, ∴A∈α,B∈α. 又 A∈m,B∈m,∴m?α. 即过 a、b、m 有一个平面 α. 假设过 a、b、m 还有一个平面 β 异于平面 α, 则 a?α,b?α,a?β,b?β,这与 a∥b,过 a、b 有且只有一个平面相矛盾. 因此,过 a、b、m 有且只有一个平面. 4.设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列. 证明:假设数列{cn}是等比数列,则 (an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).① ∵{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,∴a2 n=an-1an+1,b2 n= bn-1bn+1. 代入①并整理,得 p q 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(q+p),

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p q 即 2=q+p.② p q 当 p,q 异号时,q+p<0,与②相矛盾; 当 p,q 同号时,由于 p≠q, p q ∴q+p>2,与②相矛盾. 故数列{cn}不是等比数列.

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