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清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题及参考答案(四)


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清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题(四)

考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

题号 得分







总分

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息<br/>2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 请将答案写在答题纸上
评卷人 得分

一、选择题(5*6=30 分)

? 1? ? 1? A ? 2, ? B ? 3, ? f ? x? ? x ? ax ? bx ? cx? d ,a ,b ,c 为实常数? d ? 2 ? , ? 3? , 1.已知函数 的图象经过三点 ?
4 3 2

? 1? C ? 4, ? ? 4 ? ,则 f ?1? ? f ? 5? 的值等于

()
26 C. 5

A.0
f ? x? ? 2
x ?1

B.1
?2,

D.25

2.已知函数

关于 x 的方程 ()

f 2 ? x? ? 2 f ? x? ? k ? 0

,下列四个命题中是假命题的是 .

A.存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; B.存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; C.存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; D.存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 3.函数 f 定义在正整数有序对的集合上,并满足 f ( x, x) ? x, f ( x, y) ? f ( y, x),

( x ? y) f ( x, y) ? yf ( x, x ? y) ,则 f (14,52) 的值为
A.364 B.182 C.91
2





D.无法计算

4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的一部分如图,则 a 的取 值范围是 A. ? 1 ? a ? 0 B. a ? ?1 ( ) 1 O

y

1

x

C. ? 1 ? a ? 0

D. a ? ?1

1 1 1 1 ? ? ? 5.关于 x、y 的方程 x y xy 2007 的正整数解(x,y)的个数为
A.16 B.24 C.32 D.48





6.设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不可能是 ( )

第 II 卷(非选择题) 请将答案写在答题纸上
评卷人 得分

二、填空题(6*6=36 分)

7.定义: 区间 区间

?c, d ? ? c ? d ? 的长度为 d ? c .

已知函数

y ? log 3 x

的定义域为

? a, b ? ,

值域为

? 0, 2? ,则

? a, b ? 长度的最大值与最小值的差等于________.
32 a2 33 a3 3n an

8.设

an

n 是(3+ x ) 的展开式中 x 项的系数(n=2, 3, 4,… ), 则当 n>100 时,

+

+…+

的整数部

分的值为. 9. 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s≥4,构造点列 p0,p1,p2,…,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋 转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,…,若 p1986=p0.则Δ A1A2A3 为 三角形。 10.设数列{an}的各项依次是 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…, 个 1,2 个 2,…,k 个 k,…)则数列的第 100 (1 项等于;前 100 项之和等于。
0

??? ? ???? AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,在三角形 ABC 中,A=90°,则 k=,若 B=90°,则 k=;若 C=90°, 11.设
则 k=.
2 22 2 12.用 3 个 2(不加任何运算符号)可以组成形如 222, 22 , 2 , 2 的四个数,那么用 4 个 2 可以组成类
2

似形式的数个,其中最大的是; 评卷人 得分

三、解答题(共 54 分,12,14,14,14 分)

13.(本题满分 12 分) 如图, 曲线 C1 是以原点 O 为中心、F1 , F2 为焦点的椭圆的一部分,

F 曲线 C2 是以 O 为顶点、 2 为焦点的抛物线的一部分, 是曲线 C1 和 C2 A
的交点且 ?AF2 F1 为钝角,若 AF1 ? (Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 的方程; (Ⅱ)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1、C2 依次交于

7 5 , AF2 ? . 2 2

B、C、D、E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点,问 说明理由.

BE ? GF2 CD ? HF2

是否为定值?若是求出定值;若不是

14.对于凸多边形 P 的每一边 b,以 b 为一边在 P 内作一个面积最大的三角形.证明,所有这些三角形的 面积之和不小于 P 的面积的两倍. 15.设 P ( x) 为n 次(n>1)整系数多项式,k是一个正整数.考虑多项式

Q( x) ? P( P(?( P( x))?)) ,其中 P 出现 k 次.证明,最多存在 n 个整数 t,使得 Q(t ) ? t .
16.求最小实数 M,使得对一切实数 a,b,c 都成立不等式

| ab(a 2 ? b2 ) ? bc(b2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) |≤ M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2

试卷答案
1.D 解析:由已知,设 1? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? x ? x5 ? ax 4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? 1 x? ? 1 ? ? ? ? x ? 2 ?? x ? 3?? x ? 4 ? ? x 2 ? mx ? ? 24 ? ? 1 2 3 ? x ? 2?? x ? ?? x ? ? ? x4 ? mx ? ? 1 ? ? 24 ? ? f ? x? ? ? x x 所 以



21 ? 25 ? f ?1? ? ?6 ? ? m ? ? 1 ? ? ? 6m 24 4 ? ?



1 ? ? 6 ? 25 ? 5m ? 24 ? ? 1 ? 121 ? 6m f ? 5? ? ? f ?1? ? f ? 5? ? 25 5 5 4 ,所以 ,选 D

2.D 解析:设

时,A 答案正确; 1 3 t1 ? , t2 ? 2 2 时,C 答案正确;选 D。 当 t1 ? 0, t2 ? 2 ,B 答案正确;当

t ? f ? x ? , t 2 ? 2t ? k ? 0,因为对称轴为x ? 1, 所以当t1 ? 3, t2 ? ?1

3.A
4.C 解析: 由图象可知 a<0 且过点(0,1)和(1,0),由二次函数的对称性知,当 x=-1 时 y>0,于是高

y ? a( x ? 1)( x ? k )(k ? 0) , 即 y ? ax 2 ? a(k ? 1) x ? ak . 将 (0,1) 代 入 得 ak ? ?1 ; 将

x ? ?1, y ? 0 代入得 a ? (1 ? a) ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1,所以 ? 1 ? a ? 0
5.D.

1 1 1 1 ? ? ? 解析:由 x y xy 2007 得 xy ? 2007 x ? 2007 y ? 2007 ? 0 ,整理得
( x ? 2007 )( y ? 2007 ) ? 2007 ? 2008 ? 2 3 ? 32 ? 223 ? 251 , 从 而 , 原 方 程 的 正 整 数 解 有
(3 ? 1)(2 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1) ? 48 (组)
6.A 解析:设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆 P 的圆心轨迹是焦点为 O1、O2,且

2c 2c |r ?r | r ?r 离心率分别是 1 2 和 1 2 的圆锥曲线 (当 r1=r2 时, 1O2 的中垂线是轨迹的一部份, c=0 时, O 当
轨迹是两个同心圆)。

当 r1=r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 B;当 0<2c<|r1? r2|时,圆 P 的圆心轨迹如选项 C; 当 r1≠r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 D。由于选项 A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合, 因此圆 P 的圆心轨迹不可能是选项 A。

7.8 8.17 9.等边
令 u= e
i

?
3

,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则 p1=(1+u)A1-up0,

p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2,

①×u2+②×(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常数。同理得 p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0, 所以 w=0, 从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1= 2-A1) (A u,这说明Δ A1A2A3 为正三角形。
10.14;945

2 11 3 ? 13 ? ; ; 2 11. 3 3

12.8; 2

222

13.(Ⅰ)解法一:设椭圆方程为 得 a ? 3.

x2 y2 7 5 ? 2 ? 1 ,则 2a ? AF1 ? AF2 ? ? ? 6 , 2 a b 2 2
7 2 5 2

设 A( x, y), F1 (?c,0), F2 (c,0) ,则 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( ) 2 , ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( ) 2 , 两式相减得 xc ?

3 5 3 3 , 由抛物线定义可知 AF2 ? x ? c ? , c ? 1, x ? 或 x ? 1, c ? (舍去) 则 2 2 2 2

所以椭圆 C1 方程为

x2 y2 3 3 ? ? 1 ( x ? ) ,抛物线 C2 方程为 y 2 ? 4 x ( x ? ) . 9 8 2 2
线,作 AH

解法二:过 F1 作垂直于 x 轴的直线 x ? ?c ,即抛物线的准 垂直于该准线, 作 AM ? x 轴于 M ,则由抛物线的定义得

AF2 ? AH ,

所以 AM ?

AF1 ? F1M
2 2

2

2

?

AF1 ? AH
2

2

2

?

AF1 ? AF2
2

2

?7? ?5? ? ? ? ?? ? ? 6 ?2? ?2?

1 ?5? F2 M ? ? ? ? 6 ? , 2 ?2?
得 F1 F2 ?

5 1 3 ? ? 2 ,所以 c=1,︱OM︱= 2 2 2 7 5 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 8 ( 2a ? AF1 ? AF2 ? ? ? 6 ,得 a ? 3 ), 2 2

x2 y2 3 3 ? ? 1 ( x ? ) ,抛物线 C2 方程为 y 2 ? 4 x ( x ? ) . 因而椭圆 C1 方程为 9 8 2 2
(Ⅱ)设 B( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), 把直线

x2 y 2 ? ? 1得(8 ? 9k 2 ) y 2 ? 16ky ? 64k 2 ? 0, 则 9 8 16k 64k 2 y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? ? .同理将y ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x得: 2 2 8 ? 9k 8 ? 9k y ? k ( x ? 1)代入

ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0,? y3 ? y4 ? BE ? GF2 y1 ? y2

4 , y3 ? y4 ? ?4; k

1 y3 ? y4 ? ? ?2 CD ? HF2 y3 ? y4 1 y ? y 1 2 2 ? =
2 2 ( y1 ? y2) (y3 ? y4) ? 2 2 (y1 ? y2) (y3 ? y4) 2 2 (y3 ? y4) (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 ? 2 2 (y1 ? y2) (y3 ? y4) ? 4 y3 y4

?

(16k ) 2 4 ? 64k 2 4 ? ( )2 2 2 2 (8 ? 9k ) 8 ? 9k k ? ? 3为定值. 2 4 2 (16k ) ( ) ? 16 k (8 ? 9k 2 ) 2

14.证明:过 P 的每个顶点有唯一的直线平分 P 的面积,将该直线与 P 的边界的另一交点也看作 P 的顶 点(允许若干个相继顶点共线).每两条面积平分线都交于 P 内.P 可 看成一个 2n 边形

A1 A2 ? A2 n-1 A2 n
交于 (

, 每条对角线

Ai Ai ? n

是 P 的面积平分线(i=1, …, 2, n,

Ai ? 2 n ? Ai

). 设

Ai An? i



Ai ?1 Ai ? n ?1

Oi Oi ? n ? Oi

),由面积关系得到,

Oi Ai ? n Oi Ai ? n ?1 S (△Oi Ai Ai ?1 ) ? S (△Oi Ai ?n Ai ?n ?1 ) Oi Ai ? i Ai ?1 ? Oi Ai ? n ? i Ai ? n?1 O O OA OA , ,故 i i 和 i i ?1
中必有一个不小于 1,于是以

Ai Ai ?1

为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积 .

S ( Ai Ai ?1 ) ≥ max{S (△Ai ? n Ai Ai ?1 ),S (△Ai ? n ?1 Ai Ai ?1 )}≥ 2S (△Oi Ai Ai ?1 )
对于每条有向线段

?????? ? Ai Ai ? n

,P 内部的每一点 T 或在它的左侧或在它的右侧.由于 T 在

?????? ? A1 An ?1

和 或

????????? ?????? ? ? An ?1 A2 n ?1 ? An ?1 A1
△Oi Ai ? n Ai ? n ?1

的相反侧,故必有 i 使得 T 在

?????? ? Ai Ai ? n



????????? ? Ai ?1 Ai ? n ?1

的相反侧,从而T在

△Oi Ai Ai ?1

中.即 i ?1

?△Oi Ai Ai ?1 ? P
2n

2n

.于是
2n

? S ( Ai Ai?1 ) ≥ 2? S (△Oi Ai Ai?1 ) ≥ 2S ( P)
i ?1 i ?1

P 中同一边上的各个

S ( Ai Ai ?1 )

之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积.

15.证明:若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点,结论显然成立. 设有整数 分数列

x0

使得

Q( x0 ) ? x0



P( x0 ) ? x0

.作递推数列

xi ?1 ? P( xi )(i ? 0,2?) 1, ?1 ? 0
,所有

.它以 k 为周期.差

?i ? xi ? xi ?1 (i ? 1, ?) 2,

的每一项整除后一项.由周期性及

| ?i |

为同一个正整数

? u .令 xm ? min{x1,x2, ,xk },u ? xm?1 ? xm ? xm?1 ? xm,xm?1 ? xm?1 .
数列的周期为 2.即

x0

是 P 的2-周期点.

设 a 是P 的另一个2-周期点, b ? P(a) (允许b=a).则 同理

a ? x0



b ? x1

互相整除,故 ,矛盾.

| a ? x0 |?| b ? x1 |



| b ? x0 |?| a ? x1 |

.展开绝对值号,若二者同取正号,推出

x0 ? x1

故必有一个取负号而得到

a ? b ? x0 ? x1

.记

x0 ? x1 ? C

,我们得到:Q 的每个整数不动点都是方程

P( x) ? x ? C 的根.由于 P 的次数 n 大于 1,这个方程为 n 次.故得本题结论.
16.解析: ab(a ? b ) ? bc(b ? c ) ? ca(c ? a )
2 2 2 2 2 2

? ?(a ? b)(b ? c)(c ? a)(a ? b ? c) .

1 a 2 ? b2 ? c 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ? s 2 ) 3 设 a ? b ? x,b ? c ? y,c ? a ? z,a ? b ? c ? s ,则 .
原不等式成为

M ( x 2 ? y 2 ? z 2 ? s 2 )2 ≥ 9 | xyzs | ( x ? y ? z ? 0) .
x,y,z 中两个同号而与另一个反号.不妨设 x,y ≥0 .则

1 | z |? x ? y,x 2 ? y 2 ≥ ( x ? y)2 2 2 , ( x ? y ) ≥ 4 xy .于是由算术-几何平均不等式 3 1 1 1 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ? s 2 )2 ≥ ( ( x ? y )2 ? s 2 )2 ( ( x ? y)2 ? ( x ? y )2 ? ( x ? y )2 ? s 2 )2 2 2 2 = 2

≥(4 4

1 ( x ? y )6 s 2 ) 2 ? 4 2( x ? y )3 | s |≥16 2 | xyzs | 8
9 2 32 时原不等式成立.
2,x ? y ? 1 , z ? ?2 , 即 a : b : c ? ( 2? 3) : 2 : ( ? 2 3) 达到,故 所求的 最小 的 时

M?


等 号在 s ?

M?

9 2 32 .


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