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2018版高中数学第二章统计2.3变量间的相关关系学案新人教A版必修

2.3 变量间的相关关系 [学习目标] 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图, 并利用散点图判断两个变量 之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程. 知识点一 变量间的相关关系 1.变量之间常见的关系 函数关系 相关关系 变量之间的关系可以用函数表示 变量之间有一定的联系,但不能完全用函数表示 2.相关关系与函数关系的区别与联系 类别 区别 ①函数关系中两个变量间是一种确 定性关系;②函数是一种因果关系, 函数关系 有这样的因,必有这样的果.例如, 圆的半径由 1 增大为 2,其面积必然 由 π 增大到 4π ①相关关系是一种非确定性关系. 例 如,吸烟与患肺癌之间的关系,两者 之间虽然没有确定的函数关系, 但吸 相关关系 烟多的人患肺癌的风险会大幅增加, 两者之间即是一种非确定性的关系; ②相关关系不一定是因果关系, 也可 能是伴随关系 联系 ①在一定的条件下可以相互 转化, 对于具有线性相关关系 的两个变量来说, 当求得其线 性回归方程后, 可以用一种确 定性的关系对这两个变量间 的取值进行评估; ②相关关系在现实生活中大 量存在,从某种意义上讲,函 数关系是一种理想的关系模 型, 而相关关系是一种更为一 般的情况 知识点二 散点图及正、负相关的概念 1.散点图 将样本中 n 个数据点(xi,yi)(i=1,2,?,n)描在平面直角坐标系中,以表示具有相关关系 的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 2.正相关与负相关 (1)正相关:散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域. (2)负相关:散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 思考 任意两个统计数据是否均可以作出散点图? 答 可以,不管这两个统计量是否具备相关性,以一个变量值作为横坐标,另一个作为纵坐 标,均可画出它的散点图. 1 知识点三 回归直线 1.回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关 关系,这条直线叫做回归直线. 2.回归方程与最小二乘法 ^ ^ ^ 我们用 yi-yi 来刻画实际观察值 yi(i=1,2,?,n)与yi 的偏离程度,yi-yi 越小,偏离越小, ^ 直线就越贴近已知点.我们希望 yi-yi 的 n 个差构成的总的差量越小越好,这才说明所找的 ^ 直线是最贴近已知点的.由于把 yi-yi 这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消,因此我 们用这些差量的平方和即 Q= nyi-a-bxi) 作为总差量,回归直线就是所有直线中 Q 取最小 ? 2 i=1 值的那一条.这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法. ^ ^ 用最小二乘法求回归方程中的a,b有下面的公式: 其中 x = 1 xi, y = ?yi. n? n i=1 i=1 ^ ^ ^ ^ ^ n 1 n 这样,回归方程的斜率为b,纵截距为a,即回归方程为y=bx+a. 思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗? 答 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系 (可利用散点图来 判断),否则求出的回归方程是无意义的. 题型一 变量间相关关系的判断 例 1 在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系? ①正方形边长与面积之间的关系; ②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 解 两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积 之间的关系是函数关系.②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具 有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关 2 系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降 雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系. 综上,②④中的两个变量具有相关关系. 反思与感悟 函数关系是一种确定的关系, 而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数 关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 跟踪训练 1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( A.正方体的棱长与体积 B.角的度数与它的正弦值 C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量 D.日照时间与水稻的单位产量 答案 D 解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系,但是这两种关系是不同的,函数关 系是指当自变量一定时,函数值是确定的,是一种确定性的关系.因为 A 项 V=a ,B 项 y= sinα ,C 项 y=ax(a>0,且 a 为常数),所以这三项均是函数关系.D 项是相关关系. 题型二 散点图 例 2 5 名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下: 学生 成绩 数学成绩 物理成绩 判断它们是否具有线性相关关系. 解 以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,得相应的散点图如图所示. A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62 3 ) 由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故两者之间具有线性相关关系. 反思与感悟 1.判断两个变量 x 和 y 间具有哪种相关关系,最简便的方法是绘制散点图.变 量之间可能是线性的,也可能是非线性的(如二次函数),还可能不相关. 2.画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形过大或偏小,或者是点的坐标在坐标系中 画不准,使图形失真,导致得出错误结论. 跟踪训练 2 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图①;对变量 u, v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( ) 3 A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 答案 C 题型三 求回归直线的方程 例 3

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