高中数学必修二直线与方程单元练习题

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直线与方程练习题
一、填空题(5 分×18=90 分) 1．若直线过点( 3 ,－3)且倾斜角为 30°,则该直线的方程为 2. 如果 A(3, 1)、B(－2, k)、C(8, 11), 在同一直线上，那么 k 的值是 3.两条直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m 2 ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是 ； ； ； ；

4.直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么 b 的取值范围是 5. 经过点(－2,－3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ；

6．已知直线 3 和6 互相平行，则它们之间的距离是: x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? my ? 1 ? 0 7、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线 ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10 相交于一点，则 a 的值是: 9．已知点 A(?1,2) ， B(2,?2) ， C (0,3) ，若点 M (a, b) (a ? 0) 是线段 AB 上的一点，则直线 CM 的斜率的 取值范围是: 10． 若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 ：x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 ：x ? y ? 5 ? 0 上移动， 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为: 11.与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线有______条. 12．直线 l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若 B(1, 4)、D(5, 0)，则直线 l 的方程是 13．当 0 ? k ? ．

1 时，两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 2
； ;

象限．

14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 15.直线 y=

1 x 关于直线 x＝1 对称的直线方程是 2

16.已知 A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB 的平分线在 y＝x＋1 上， 则 AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点 A?2,3? 射出在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上，反射光线经过点 B ?1,1? , 则反射光线所在直线的方程 18．点 A（1，3） ，B（5，－2） ，点 P 在 x 轴上使|AP|－|BP|最大，则 P 的坐标为:

二.解答题(10 分×4+15 分×2=70 分)
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19．已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 4，求 直线 l 的方程．

20． （1）要使直线 l1： (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 2m 与直线 l2：x-y=1 平行，求 m 的值. （2）直线 l1：ax+(1-a)y=3 与直线 l2：(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，求 a 的值.

21． 已知 ? 中， A(1, 3)， AB、 AC 边上的中线所在直线方程分别为 x 求? A B C A B C ? 2 y ?? 1 0和 y? 1?0， 各边所在直线方程．

22.△ABC 中，A（3，－1） ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为：6x＋10y－59=0， ∠B 的平分线方程 BT 为：x－4y＋10=0，求直线 BC 的方程.

23． 已知函数

f ( x) ? x ?

2 a f ( 2) ? 2 ? 2 . 设点 P 是函数图象上的任意一点， x 的定义域为 ( 0 , ? ? ) ，且

N． 过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线，垂足分别为 M 、
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（1）求 a 的值； （2）问： | PM | ? | PN | 是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由； （3）设 O 为原点，若四边形 OMPN 面积为 1+ 2 求 P 点的坐标

24.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为２，宽为１， AB 、 AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴 上， A 点与坐标原点重合（如图所示） 。将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上。 （1）若折痕所在直线的斜率为 k ，试求折痕所在直线的方程； （2）当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时，求折痕长的最大值； （3）当 ?2 ? k ? ?1 时，折痕为线段 PQ ，设 t ? k (2 | PQ | ?1) ，试
2

求 t 的最大值。

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答案：
1. y＝

3 x－4 2. －9 3

3.相交

4． ?? 2,0? ? ?0,2?

5．x＋y＋5＝0 或 3x－2y=0

6.

7 13 26
2

． x ? 2 y ? 5 ? 0 8.－1 7 12． y ?

9. ( ?? , ?

5 2

? ? ?1,?? ?

10． 3 2

11.

2 x 3

13．二

14. y ? 2 x, 或 x ? y ? 3 ? 0 18. (13,0)

15、 x ? 2 y ? 2 ? 0

16. x－2y－1＝0 17. 4x ? 5y ? 1 ? 0

19：(1)法一：直线 l 的方程可化为 y＝k(x＋2)＋1， 故无论 k 取何值，直线 l 总过定点(－2,1)． 法二：设直线过定点(x0，y0)，则 kx0－y0＋1＋2k＝0 对任意 k∈R 恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0 恒 成立， 所以 x0＋2＝0，－y0＋1＝0， 解得 x0＝－2，y0＝1，故直线 l 总过定点(－2,1)． (2)直线 l 的方程可化为 y＝kx＋2k＋1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k＋1，
?k≥0， ? 要使直线 l 不经过第四象限，则? ? ?1＋2k≥0， 寒假辅导 4 崔老师（13327136505）

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解得 k 的取值范围是 k≥0. 1＋2k (3)依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2k， k ∴A(－ 2k) 1 1 ＝ (4k＋ ＋4)＝4， k 2 1 即 k＝ ，直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0. 2 20．解 （1）∵ l2 的斜率 k2＝1， l1‖l2 ∴ k1＝1，且 l1 与 l2 不重合 ∴ ∴ 由? y 轴上的截距不相等 1＋2k 1＋2k 1 1 1＋2k ，0)，B(0,1＋2k)，又－ <0 且 1＋2k>0，∴k>0，故 S＝ |OA||OB|＝ × (1＋ k k k 2 2

2m 2 ? m ? 3 2 ＝1 且 m ? m ? 0 得 m=-1， m2 ? m
∴ m 无解

但 m=-1 时，l1 与 l2 重合，故舍去， （2）当 a=1 时，l1：x=3，l2：y=

2 ∴ l1⊥l2 5 3 6 4 3 当 a= ? 时，l1： y ? x ? ，l2： x＝ ? 显然 l1 与 l2 不垂直。 5 5 5 2 a 3 1? a 2 3 x? x? 当 a≠1 且 a≠ ? 时，l1： y ? ，l2： y ? a ?1 a ?1 2a ? 3 2a ? 3 2 a 1? a ∴ k1＝ k1＝ a ?1 2a ? 3 a 1? a 由 k1k2＝-1 得 ＝-1 解得 a ? ?3 a ? 1 2a ? 3
∴ 当 a=1 或 a ? ?3 时，l1⊥l2

21．分析：B 点应满足的两个条件是：①B 在直线 y ? 1 ? 0 上；②BA 的中点 D 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上。

1? ，进而由②确定 x B 值. 由①可设 B? xB，
x ? 1 ? ∵D 在中线 CD： x ? 2 y ? 1 ? 0 上∴ x B ? 1 1? 则 AB 的中点 D? 解：设 B? xB， ? 2? 2 ?1 ? 0， ， 2? ? B 2 ? 2 ?

解得 x B ? 5 ， 故 B(5, 1). 同样，因点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上，可以设 C 为 ?2 yC ? 1 ，yC ? ，求出 yC ? ?1，C?? 3， ? 1? . 根据两点式，得 ?ABC 中 AB： x ? 2 y ? 7 ? 0 ， BC： x ? 4 y ? 1 ? 0 ，AC： x ? y ? 2 ? 0 .

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22.设 B( x0 , y0 ) 则 AB 的中点 M (

x0 ? 3 y 0 ? 1 x ?3 y ?1 , ) 在直线 CM 上 ,则 6 ? 0 ? 10 ? 0 ? 59 ? 0 ,即 2 2 2 2

3x0 ? 5 y0 ? 55 ? 0 ???????①,
又点 B 在直线 BT 上,则 x0 ? 4 y0 ? 10 ? 0 ???????②联立①②得 B(10,5) ,

? K AB ?

5 ? (?1) 6 ? , 10 ? 3 7

6 1 1 ? ? K BC 2 有 BT 直线平分 ?B ,则由到角公式得 4 ? 7 4 ,得 K BC ? ? 1 1 6 9 1 ? K BC 1 ? ? 4 4 7
? BC 的直线方程为: 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 .

23.（1）∵

f (2) ? 2 ?

a 2 ?2? 2 2 ，∴ a ? 2 .
y0 ) ，

（2 分）

（2）点 P 的坐标为 ( x 0 ,

y 0 ? x0 ?
则有

2 x 0 ， x0 ? 0 ， （3 分）

| PM |?
由点到直线的距离公式可知：

| x0 ? y 0 | 2

?

1 , | PN |? x0 x0

， （6 分）

故有 | PM | ? | PN |? 1 ，即 | PM | ? | PN | 为定值，这个值为 1. （7 分） （3）由题意可设 M (t , t ) ，可知 N (0,

y 0 ) .（8 分）

∵ PM 与直线 y ? x 垂直，∴ k PM ? 1 ? ?1 ，即

y0 ? t ? ?1 x0 ? t

，解得

2 2 1 y 0 ? x0 ? t ? x0 ? t ? ( x0 ? y 0 ) x 2 x 0 ，∴ 0 .（10 分） 2 ，又

S ?O P M?
∴

1 2 ? 2 2 2 x0

，

S ?O P N?

1 2 2 x0 ? 2 2 ， （12 分）

S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?
∴

1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2 2 x0

，

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当且仅当 x 0 ? 1 时，等号成立． ∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ? 2 ． （14 分）

24、解：(1) ①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ? ②当 k ? 0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G (a,1) ， 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称， 有 kOG ? k ? ?1 ?

1 2

1 ? k ? ?1 ? a ? ? k a

故 G 点坐标为 G(?k ,1) ， 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标 （线段 OG 的中点）为 M ( ? 折痕所在的直线方程 y ?

k 1 , ) 2 2

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ，即 y ? kx ? ? 2 2 2 2
k2 1 ? 2 2

由①②得折痕所在的直线方程为： y ? kx ? （2）当 k ? 0 时，折痕的长为 2;

当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时，折痕直线交 BC 于点 M (2,2k ? ∵ y ?| MN |2 ? 22 ? [

k 2 ?1 k2 1 ) ? ) ，交 y 轴于 N (0, 2 2 2

k2 ?1 k2 1 2 ? (2k ? ? )] ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4(7 ? 4 3) ? 32 ? 16 3 2 2 2

∴折痕长度的最大值为 32 ? 16 3 ? 2( 6 ? 2) 。 而 2( 6 ? 2 ) ? 2 ,故折痕长度的最大值为 2( 6 ? 2 ) （3）当 ?2 ? k ? ?1 时，折痕直线交 DC 于 P( ∵ | PQ |2 ? 12 ? [ ? ∵ ?2 ? k ? ?1

k ?1 1 k , 0) ? ,1) ，交 x 轴于 Q(? 2k 2 2k
2

k2 ?1 1 k 1 ? ( ? )]2 ? 1 ? 2 2k 2k 2 k

) k? ∴ t ? k( 2 | P Q | ? 1?
2

2 k

∴k ?

2 ? ?2 2 （当且仅当 k ? ? 2 ?( ? =”号） 2 , ?时取“ 1) k

∴当 k ? ? 2 时， t 取最大值， t 的最大值是 ?2 2 。

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