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高中数学必修二直线与方程单元练习题


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直线与方程练习题
一、填空题(5 分×18=90 分) 1.若直线过点( 3 ,-3)且倾斜角为 30°,则该直线的方程为 2. 如果 A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直线上,那么 k 的值是 3.两条直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m 2 ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是 ; ; ; ;

4.直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是 5. 经过点(-2,-3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ;

6.已知直线 3 和6 互相平行,则它们之间的距离是: x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? my ? 1 ? 0 7、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10 相交于一点,则 a 的值是: 9.已知点 A(?1,2) , B(2,?2) , C (0,3) ,若点 M (a, b) (a ? 0) 是线段 AB 上的一点,则直线 CM 的斜率的 取值范围是: 10. 若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 :x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 :x ? y ? 5 ? 0 上移动, 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为: 11.与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线有______条. 12.直线 l 过原点,且平分□ABCD 的面积,若 B(1, 4)、D(5, 0),则直线 l 的方程是 13.当 0 ? k ? .

1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 2
; ;

象限.

14.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 15.直线 y=

1 x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 2

16.已知 A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上, 则 AC 所在直线方程是____________. 17.光线从点 A?2,3? 射出在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,反射光线经过点 B ?1,1? , 则反射光线所在直线的方程 18.点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为:

二.解答题(10 分×4+15 分×2=70 分)
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19.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 4,求 直线 l 的方程.

20. (1)要使直线 l1: (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 2m 与直线 l2:x-y=1 平行,求 m 的值. (2)直线 l1:ax+(1-a)y=3 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,求 a 的值.

21. 已知 ? 中, A(1, 3), AB、 AC 边上的中线所在直线方程分别为 x 求? A B C A B C ? 2 y ?? 1 0和 y? 1?0, 各边所在直线方程.

22.△ABC 中,A(3,-1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为:6x+10y-59=0, ∠B 的平分线方程 BT 为:x-4y+10=0,求直线 BC 的方程.

23. 已知函数

f ( x) ? x ?

2 a f ( 2) ? 2 ? 2 . 设点 P 是函数图象上的任意一点, x 的定义域为 ( 0 , ? ? ) ,且

N. 过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、
寒假辅导 2 崔老师(13327136505)

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(1)求 a 的值; (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由; (3)设 O 为原点,若四边形 OMPN 面积为 1+ 2 求 P 点的坐标

24.在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1, AB 、 AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴 上, A 点与坐标原点重合(如图所示) 。将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上。 (1)若折痕所在直线的斜率为 k ,试求折痕所在直线的方程; (2)当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,求折痕长的最大值; (3)当 ?2 ? k ? ?1 时,折痕为线段 PQ ,设 t ? k (2 | PQ | ?1) ,试
2

求 t 的最大值。

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答案:
1. y=

3 x-4 2. -9 3

3.相交

4. ?? 2,0? ? ?0,2?

5.x+y+5=0 或 3x-2y=0

6.

7 13 26
2

. x ? 2 y ? 5 ? 0 8.-1 7 12. y ?

9. ( ?? , ?

5 2

? ? ?1,?? ?

10. 3 2

11.

2 x 3

13.二

14. y ? 2 x, 或 x ? y ? 3 ? 0 18. (13,0)

15、 x ? 2 y ? 2 ? 0

16. x-2y-1=0 17. 4x ? 5y ? 1 ? 0

19:(1)法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0 恒 成立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
?k≥0, ? 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0, 寒假辅导 4 崔老师(13327136505)

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解得 k 的取值范围是 k≥0. 1+2k (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k, k ∴A(- 2k) 1 1 = (4k+ +4)=4, k 2 1 即 k= ,直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 2 20.解 (1)∵ l2 的斜率 k2=1, l1‖l2 ∴ k1=1,且 l1 与 l2 不重合 ∴ ∴ 由? y 轴上的截距不相等 1+2k 1+2k 1 1 1+2k ,0),B(0,1+2k),又- <0 且 1+2k>0,∴k>0,故 S= |OA||OB|= × (1+ k k k 2 2

2m 2 ? m ? 3 2 =1 且 m ? m ? 0 得 m=-1, m2 ? m
∴ m 无解

但 m=-1 时,l1 与 l2 重合,故舍去, (2)当 a=1 时,l1:x=3,l2:y=

2 ∴ l1⊥l2 5 3 6 4 3 当 a= ? 时,l1: y ? x ? ,l2: x= ? 显然 l1 与 l2 不垂直。 5 5 5 2 a 3 1? a 2 3 x? x? 当 a≠1 且 a≠ ? 时,l1: y ? ,l2: y ? a ?1 a ?1 2a ? 3 2a ? 3 2 a 1? a ∴ k1= k1= a ?1 2a ? 3 a 1? a 由 k1k2=-1 得 =-1 解得 a ? ?3 a ? 1 2a ? 3
∴ 当 a=1 或 a ? ?3 时,l1⊥l2

21.分析:B 点应满足的两个条件是:①B 在直线 y ? 1 ? 0 上;②BA 的中点 D 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上。

1? ,进而由②确定 x B 值. 由①可设 B? xB,
x ? 1 ? ∵D 在中线 CD: x ? 2 y ? 1 ? 0 上∴ x B ? 1 1? 则 AB 的中点 D? 解:设 B? xB, ? 2? 2 ?1 ? 0, , 2? ? B 2 ? 2 ?

解得 x B ? 5 , 故 B(5, 1). 同样,因点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,可以设 C 为 ?2 yC ? 1 ,yC ? ,求出 yC ? ?1,C?? 3, ? 1? . 根据两点式,得 ?ABC 中 AB: x ? 2 y ? 7 ? 0 , BC: x ? 4 y ? 1 ? 0 ,AC: x ? y ? 2 ? 0 .

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22.设 B( x0 , y0 ) 则 AB 的中点 M (

x0 ? 3 y 0 ? 1 x ?3 y ?1 , ) 在直线 CM 上 ,则 6 ? 0 ? 10 ? 0 ? 59 ? 0 ,即 2 2 2 2

3x0 ? 5 y0 ? 55 ? 0 ???????①,
又点 B 在直线 BT 上,则 x0 ? 4 y0 ? 10 ? 0 ???????②联立①②得 B(10,5) ,

? K AB ?

5 ? (?1) 6 ? , 10 ? 3 7

6 1 1 ? ? K BC 2 有 BT 直线平分 ?B ,则由到角公式得 4 ? 7 4 ,得 K BC ? ? 1 1 6 9 1 ? K BC 1 ? ? 4 4 7
? BC 的直线方程为: 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 .

23.(1)∵

f (2) ? 2 ?

a 2 ?2? 2 2 ,∴ a ? 2 .
y0 ) ,

(2 分)

(2)点 P 的坐标为 ( x 0 ,

y 0 ? x0 ?
则有

2 x 0 , x0 ? 0 , (3 分)

| PM |?
由点到直线的距离公式可知:

| x0 ? y 0 | 2

?

1 , | PN |? x0 x0

, (6 分)

故有 | PM | ? | PN |? 1 ,即 | PM | ? | PN | 为定值,这个值为 1. (7 分) (3)由题意可设 M (t , t ) ,可知 N (0,

y 0 ) .(8 分)

∵ PM 与直线 y ? x 垂直,∴ k PM ? 1 ? ?1 ,即

y0 ? t ? ?1 x0 ? t

,解得

2 2 1 y 0 ? x0 ? t ? x0 ? t ? ( x0 ? y 0 ) x 2 x 0 ,∴ 0 .(10 分) 2 ,又

S ?O P M?


1 2 ? 2 2 2 x0



S ?O P N?

1 2 2 x0 ? 2 2 , (12 分)

S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?


1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2 2 x0



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当且仅当 x 0 ? 1 时,等号成立. ∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ? 2 . (14 分)

24、解:(1) ①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ? ②当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G (a,1) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 有 kOG ? k ? ?1 ?

1 2

1 ? k ? ?1 ? a ? ? k a

故 G 点坐标为 G(?k ,1) , 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标 (线段 OG 的中点)为 M ( ? 折痕所在的直线方程 y ?

k 1 , ) 2 2

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? 2 2 2 2
k2 1 ? 2 2

由①②得折痕所在的直线方程为: y ? kx ? (2)当 k ? 0 时,折痕的长为 2;

当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,折痕直线交 BC 于点 M (2,2k ? ∵ y ?| MN |2 ? 22 ? [

k 2 ?1 k2 1 ) ? ) ,交 y 轴于 N (0, 2 2 2

k2 ?1 k2 1 2 ? (2k ? ? )] ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4(7 ? 4 3) ? 32 ? 16 3 2 2 2

∴折痕长度的最大值为 32 ? 16 3 ? 2( 6 ? 2) 。 而 2( 6 ? 2 ) ? 2 ,故折痕长度的最大值为 2( 6 ? 2 ) (3)当 ?2 ? k ? ?1 时,折痕直线交 DC 于 P( ∵ | PQ |2 ? 12 ? [ ? ∵ ?2 ? k ? ?1

k ?1 1 k , 0) ? ,1) ,交 x 轴于 Q(? 2k 2 2k
2

k2 ?1 1 k 1 ? ( ? )]2 ? 1 ? 2 2k 2k 2 k

) k? ∴ t ? k( 2 | P Q | ? 1?
2

2 k

∴k ?

2 ? ?2 2 (当且仅当 k ? ? 2 ?( ? =”号) 2 , ?时取“ 1) k

∴当 k ? ? 2 时, t 取最大值, t 的最大值是 ?2 2 。

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