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24)线面垂直的性质定理


一、知识回顾 如果直线和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.

1. 直线和平面垂直的定义?

注 :若 l ? ? , b ? ? 则l ? b.
α

l

b

A

2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ? ?,n ? ? ? a ? m?n?O ? a ?? ? m ? a ? m, a ? n ? ? O n

线线垂直

?

线面垂直

关键:线不在多,相交则行

二、新知探究
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何?它们彼此之间具有什么 位置关系? C1
D1
B1 C B

A1
D

A

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3 线面垂直的性质定理:

垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言:
a b

α
符号语言:

a ? ?,b ? ? ? a // b
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线面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .

否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论
? 2006 NENU 济南九中高三数学备课组

线面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .

否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论
? 2006 NENU 济南九中高三数学备课组

直线与平面垂直的性质1:
如果一条直线垂直于一个平面,那么这 条直线垂直于面上任意直线.(定义)
a ??? 符号语言: ? b ???
图形语言:

a?b
a b

α

简述为:线面垂直 ? 线线垂直
? 2006 NENU 济南九中高三数学备课组

直线与平面垂直的性质2:
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面.
a / /b ? 符号语言: ? a ???
图形语言:

b ??
?

a b

O

? 2006 NENU

济南九中高三数学备课组

直线与平面垂直的性质3:
如果两条直线同时垂直于一个平面, 那么这两条直线平行.

a ??? 符号语言: ? b ?? ?
图形语言:
?

a // b
a b
O

简述为:线面垂直 ? 线线平行
? 2006 NENU 济南九中高三数学备课组

三、理论迁移 例 1: 如图,已知? ? ? ? l , CA ? ? 于点A,CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证: a // l .
β B l
A a
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C

α

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三、理论迁移
例2 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所在平面,M、N分别 是AB、PC的中点求证: (1) MN ? CD; P E N A M B D

? ? PDA ? 45 (2)若 ,求证:MN ?面PCD

C

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典型例题
练习. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面 A1DC 求证: (1) MN∥AD1 (2) M是AB的中点.
D1 A1 O D N C M B 无忧PPT整理发布 C1

B1

A

性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直”

a ∥b

变式探究

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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α ,b ⊥α ? a ∥ b

a ∥b

变式探究

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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面”

a ∥b

变式探究

b
l

a

α
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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面”

a ∥b

变式探究

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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” a⊥b a ⊥α ,b ∥α β β

a ∥b

变式探究

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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α , α β

a ∥b

变式探究

a

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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α , α β

a ∥b

变式探究

a
b
c
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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,

a ∥b

变式探究

a
b
c
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2.逆向探究:


α 交换“条件”与“结论” β

性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,

a ∥b

变式探究

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α ,b ∥α

a⊥ b
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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,

a ∥b

变式探究

a

b
α

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b

b
α

a

b ∥α

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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,

a ∥b

变式探究

a
b
α

b
α

a

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b


b ∥α 或 b ? ?
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性质定理: a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,

a ∥b

变式探究

a
α
β

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b β ∥α ② a ⊥α ,

b // ?或b ? ?
a ⊥β
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随堂测试
1.判断下列命题是否正确: 正确的是:①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行; ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

2.若a,b表示直线, ? 表示平面,下列命题 正确的是 (3)(4) 。
(1)a ? ? , a ? b, 则b // ? (3)a // ? , b ? ? , 则b ? a (2)a // ? , a ? b, 则b ? ? (4)a ? ? , b ? ? , 则b ? a

课堂练习:
1、判断下列命题是否正确;
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(

(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行;(

(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂 直,则这两条直线互相垂直。( ) 2、已知直线a、b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的 位置关系 ____________ b // ?或b ? ?



√ √





小 结
1.知识方法
①线面垂直的性质定理及其应用 ③类比探究,逆向探究

2.数学思想
线面关系 转化 垂直关系 空间问题

线线关系 平行关系 平面问题


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