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恒成立问题的求解策略2

不等式恒成立问题、存在性问题的求解策略
高考数学复习中的恒成立问题,把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起 来,它有覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点。涉及到一次函数、二次函数等的 性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力, 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。恒成立问题在解题过程中大致 可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③分离变量型;④根据函数的奇 偶性、周期性等性质;⑤数形结合。 一、恒成立问题 一.一次函数型 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0,则根据函数的图象 (直线)可得上述结论等价于

ⅰ)

或ⅱ)

亦可合并定成

同理,若在[m,n]内恒有 f(x)<0,则有

处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位” 思考,往往会使问题降次、简化。 例 1.若不等式 x ? ax ? 2 ? 0 对任意实数 a ? [1,5] 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

例 2.设函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 上(-1) 的导函数为 f `( x ) , f `( x ) 在 ( a, b) 上的导函数为
n+1

f ``( x), 若在 ( a, b) 上, f ``( x) ? 0 恒成立,则称函数 f ( x) 在 ( a, b) 上为“凸函数” ,已知
1

f ( x) ?

1 4 1 3 3 2 当实数 m 满足 m ? 2 时, 函数 f ( x) 在 ( a, b) 上总为 “凸函 数” , x ? mx ? x , 12 6 2

则 b ? a 的最大值为__2____.

二.二次函数型 (1)R 上恒成立 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数 ,有

1)


2

恒成立

; 2)



恒成立

例 3. 若不等式 x ? ax ? 2 ? 0 对任意实数 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。 (2)区间上恒成立
2

可利用根的分布解决问题。

例 4. 若不等式 x ? ax ? 2 ? 0 对任意实数 x ? [1,5] 恒成立,求实数 a 的取值范围。

三、其他型函数 例 5. 已 知 恒成立,求实数 的取值范围。 , 当 时 ,

解:设 恒成立.令 ,得

,则由题可知
.

对任意



2





即实数 的取值范围为



例 6 已知函数 f ( x ) ? x ?1 ? x ? a ,若对任意的实数 x ? R , f ( x ) ≥2,求实数 a 的取 值范围。 ( (? ?? ,] 13 ,[ ) ? ? )

例 7.已知当 x R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx+

恒成立,求实数 a 的取值范围。

分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,其中 x 的范围已知(x R) ,另一变量 a 的 范围即为所求,故可考虑将 a 及 x 分离。 解:原不等式即:

要使上式恒成立,只需 转化成求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

大于

的最大值,故上述问题

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3 3, ∴ 即

上式等价于



解得

.

注:注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x,而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可 把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。 另解:a+cos2x<5-4sinx+ a+1-2sin2x<5-4sinx+ 即

,令 sinx=t,则 t [-1,1],

3

整理得 2t2-4t+4-a+ 设 f(t)= 2t2-4t+4-a+

>0,( t [-1,1])恒成立。

则二次函数的对称轴为 t=1,

f(x)在[-1,1]内单调递减。 二、存在性问题

只需 f(1)>0,即

>a-2.(下同)

2 例 8. 若不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间 x ? [1,5] 上有解, 求实数 x 的取值范围。 (a ? ?

23 ) 5

例 9.已知 f ( x) ? 2x ? 4 ?1 ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax 有解,求实数 a 的取值范围。 (a ?

1 或 a ? ?2 ) 2

4


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