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代换法在高中数学解题中的灵活应用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 代换法在高中数学解题中的灵活应用 作者:邱进凌 来源:《科技视界》2014 年第 27 期 【摘 要】代换法的种类与很多,本文主要以三角代换、增量代换、变量代换、不等量代 换以及比值代换等方法,说明代换法在高等数学中的灵活运用。 【关键词】代换法;高中数学;灵活应用 代换法就是利用灵活多变的方式,简化复杂难题的典型性解题方法,被广泛应用于高数解 题中。 1 代换法概括 代换法是一种数学解题思路,在数学解题过程中有很多比较复杂的或者存在两个及两个以 上未知条件的数学题,解题时根据知识间的内在联系,适时的转化题目中的数量关系,通过各 个变量间条件转换,把一种问题转化为了另一种问题,从而简化整个解题过程。代换法的方法 有很多,比如函数代换、等量以及不等量代换、变量代换、三角函数代换、等等,在数学解题 时,如果能灵活运用代换法,不仅能有效的锻炼学生的思维敏捷性,而且能有效的提高学生的 思维能力。下面我就以实际的例子来分析各种代换法在高等数学解题思路中的灵活应用。 2 不同类型的代换法在高中数学解题中的灵活应用 2.1 三角代换的解题思路 三角代换在高等数学解题中御用比较广泛,它的解题思路有一定的技巧性,运用三角代换 解题,科技使复杂的问题简单化。利用三角代换解题的主旨是:通过适当的三角代换,将代数 表达转化为三角表达,进而把代数式的证明或解答转化为三角式的证明和解答。从而起到理顺 思路、简化题目的作用。比如 09 年江苏高考数学竞赛题中有这样一道题:如果不等式+≤k 对 任何正实数 x、y 均成立,求 k 的取值范围。 对于这道题目,首先分析题意,知道它所要求的内容与已知条件,再巧用代换法简化解题 过程。这道题的解题思路是这样的: 解:在题设不等式两边分别除以,可以得到: +1≤k(1) 假设=(1/)tanθ(0 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 将 x/y=1/2tan2θ 代入(1)式中得: (1/)tanθ+1≤k 进而将上述公式化简得:k/cosθ≥(1/)· (sinθ/cosθ)+1, 然后可以得到:k≥(1/)sinθ+cosθ 又(1/)sinθ+cosθ=(/2)sin(θ+α),此公式中的 α 是由 tanα=(α 为锐角)所确定的。当 sin(θ+α)=1 时,(1/)sinθ+cosθ 有最大值,最大值为/2。所以可以得到 k≥/2,即 k 的取值范 围为[/2,+∞)。 2.2 变量解题方法 在高等数学中,很多函数体都是在已知函数相关等式的前提下,求相关的函数值,如果函 数值比较复杂时,学生往往会被题目复杂的表面所困,实际上解答此类问题可以用可以用变量 代替法简化函数等式,使复杂的函数得到简化,从而使学生轻而易举的解出函数值,掌握解题 思路,同时训练学生的发散思维能力。比如下面有一个不同的已知函数等式,我们就可以利用 变量进简化的方式进行解题,具体步骤如下: 已知函数值 f’(1nx)=1-x,求 f(x)的值。解这道题时首先可以假设 t=1nx,然后把 t 代 入已知函数中,即 f’(t)=1-x,简化到这一步,相比很多学生就会解这道题了。求出 x 的值, 再将其带入原等式中,最后就可以得出 f(x)的值。 2.3 概率中等量代换的运用 在高中数学中概率的学习对学生来说也是比较头痛的事情,概率的学习需要学生具备较强 的分析能力、概括能力以及简化步骤的能力。高中阶段的概率问题一般是古典概型,这类题的 解题过程主要求一次实验中所有可能的结果数目,以及某个事件所包含的结果数目,涉及的内 容一般为排列、组合知识。在解题过程中,同样要把复杂的问题简单化,然后一步一步的进行 解答。比如有这样一道题:一个袋子中有 8 个红球、4 个白球,这些球除了颜色不同,其他都 一样。如果从袋子中任意拿出 5 个球,那么拿出红球的概率为多少? 解这道题时,首先设未知量,用 x 表示红球的数量,那么求 p(x=3)的值。从题中可以 看出 p(x=3)=CC/C=14/33≈0.42421。 题中指出这些球除了颜色相同以外,其他没什么区别,但是在解题的过程中运用了组合的 形式,也就是说解题时把这些球是当做区别来计算的,这样算肯定石油一定道理的。我们先来 看一个例子:某家商场进行大型促销活动,活动规则是,有一个盒子,里面放 10 个不同号码 的乒乓球,10 个乒乓球中有 8 个白色,2 个黄色,顾客可以一次摸 2 个球,如果摸出的两个球 都是黄色,就中了一等奖,这里我们分析计算的是顾客参加活动的一等奖的概率有多大。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 分析此类型的题时先假设顾客抽到一等奖的概率为 f(x),然后从题中可以看出 f(x) =C/C=1/45,这样就得出了,在以上条件情况下抽到一等奖的概率为 0.02222。几天以后活动还 在进行,但是球上的数字已经被慢慢擦去,这时顾客抽到一等奖的概率 f(y)是不会变化的, 因为影响结果的只是球的颜色,球的号码并不影响结果。那么怎么算出 f(y)的值呢,这时我 们可以没有区别的同色乒乓球当做有区别来计算,也就是说求出 f(x)皆可以解决问题了。解 答这样的问题我们就利用等量代换的方法。如果遇到一个个体间没有区别的题目,首先要假设 这个题目中的个体是有区别的,进而判断题目结果是否会变化;如果结果没有变化,就可以把 它当做有区别来计算。 2.4 比值代换 比值代换的计算是在已知条件或所求的量与变量的比值有关时,就可以利用比值代换的方 法把问题简单化。比如一条直线过点(-3,5,9),并且与直线 L1/L2 相交,L1=:y=3x+5 z=2x-3,L2=y=4x-7 z=5x+10,求此直线的方程。 首先假设此直线方程为:x+3/l=y-5/m=z+9/n,令 x+3/l=y-5/m=z+9/n=t,得 x=-3+lt y=5+mt Z=-9+nt,把这个

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