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新课程高中数学32一元二次不等式及其解法课件1 新人教A版必修5【精选】_图文

3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式的解法

自学导引
1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是_2_的不等式,称为 一元二次不等式.
2.二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系

Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

y=ax2+bx+ c(a>0)的图象

Δ=b2-4ac ax2+bx+c =0(a>0)的 根
ax2+bx+ c>0(a>0)的 解集
ax2+bx+ c<0(a>0)的 解集

Δ>0 有两相异实
根 x1,x2
_{_x_|x_<_x_1_或___ _x_>_x_2_}___
{x|x1<x<x2}

Δ=0 有两相等实 根 x0=-2ba x|x≠-2ba
_? _

Δ<0 _没__有__实__数__根__
R ?

:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)具备哪些 条件时,解集为R或?? 提示:当a>0,Δ<0时,解集为R.当a<0,Δ≤0时,解 集为?.

名师点睛
1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的 关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0),或ax2+bx+ c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+ bx+c图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方 求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两 边,小于取中间.

2.含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进 行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下 三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0),一根 (Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2, x1=x2,x1<x2.

题型一 一元二次不等式的解法
【例1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x2-5x>6; (2)4x2-4x+1≤0; (3)-x2+7x>6. [思路探索] 先将二次项系数化为正,再求对应方程的根.并 根据情况结合二次函数图象,写出解集. 解 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0. ∴x2-5x-6=0的两根是x=-1或6. ∴原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,

方程(2x-1)2=0 的根为 x=21.

∴4x2-4x+1≤0 的解集为?????x???x=21

??
?.
??

(3)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0,

而x2-7x+6=0的两个根是x=1或6.

∴不等式x2-7x+6<0的解集为{x|1<x<6}.

当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先

化为一般形式,在具体求解一个一般形式的一元二次不

等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以

及二次函数的图象.

【变式1】 解下列不等式 (1)2x2-x+6>0;
(2)-12x2+3x-5>0;
(3)(5-x)(x+1)≥0. 解 (1)∵方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0, ∴函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点. ∴原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2-6x+10<0, ∵Δ=62-40=-4<0, ∴原不等式的解集为?. (3)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}.

题型二 解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式(a∈R): (1)2x2+ax+2>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. [思路探索] (1)对相应方程的判别式进行讨论,按照一元二次 不等式的解法求解; (2)先对不等式中二次项的参数讨论,再按照不等式的求法求 解. 解 (1)Δ=a2-16,下面分情况讨论: ①当Δ<0,即-4<a<4时,方程2x2+ax+2=0无实根,所以 原不等式的解集为R. ②当Δ≥0,即a≥4或a≤-4时,方程2x2+ax+2=0的两个根 为

x1=41(-a- a2-16),x2=41(-a+ a2-16). 当 a=-4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1}; 当 a>4 或 a<-4 时,原不等式的解集为 x???x<14?-a- a2-16?,或x>14?-a+ a2-16? ; 当 a=4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠-1}. (2)若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1. 若 a<0,则原不等式等价于???x-a1???(x-1)>0,

解得 x<a1,或 x>1.

若 a>0,原不等式等价于???x-a1???(x-1)<0.

①当 a=1 时,a1=1,解???x-1a???(x-1)<0 得,解集为 ?;

②当 a>1 时,a1<1,解???x-1a???(x-1)<0 得1a<x<1;

③当 0<a<1 时,1a>1,

解???x-1a???(x-1)<0



1 1<x<a.

综上所述:当 a<0,解集为?????x???x<1a,或x>1

???;
??

当 a=0 时,解集为{x|x>1};

当 0<a<1 时,解集为?????x???1<x<a1

???;
??

当 a=1 时,解集为?;当 a>1 时,解集为?????x???1a<x<1

??
?.
??

含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项 系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果 可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情 况写出相应的解集.(若方程有两个相异实根,为了 写出解集还要比较两个根的大小).另外,当二次项 含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0,这决 定不等式是否为二次不等式.

【变式2】解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 解 (i)当a=0时,原不等式可化为-2x+4>0,解得x<2, 所以原不等式的解集为{x|x<2}.

(ii)当 a>0 时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0,对应方程

的两个根为 x1=2a,x2=2.

①当 0<a<1 时,2a>2,所以原不等式的解集为

?????x???x>2a,或x<2

???;
??

②当 a=1 时,2a=2,所以原不等式的解集为{x|x≠2};

③当 a>1 时,2a<2,所以原不等式的解集为

?????x???x>2,或x<2a

??
?.
??

(iii)当 a<0 时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)<0,对应方程

的两个根为 x1=2a,x2=2,则a2<2,所以原不等式的解集为

?? ?2

??

???x??a<x<2

?.
??

题型三 三个“二次”间对应关系的应用
【例3】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求 关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 审题指导 可知1,2是方程x2+ax+b=0的两根,故由根与 系数的关系可求出a,b的值,从而得解. [规范解答] 由根与系数的关系,可得

??-a=1+2, ???b=1×2,

即?????ab= =-2,3,

(6 分)

∴不等式 bx2+ax+1>0,就是 2x2-3x+1>0.

由于 2x2-3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x<21或 x>1. (10 分)

∴bx2+ax+1>0 的解集为???-∞,12???∪(1,+∞). (12 分)

【题后反思】 求一般的一元二次不等式ax2+bx+ c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集,可由二次函数的零 点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,再根据函数图象与x轴的相关位 置确定一元二次不等式的解集.因此一元二次不等式解集 的区间端点,就是其对应的函数的零点,也就是其对应的 方程的根.

【变式3】 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求 a,b的值. 解 法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0 的两实根. 由根与系数的关系,知?????11+ ×22= =ba2a, ,
解得?????ab= =13, .
法二 把 x=1,2 分别代入方程 ax2-bx+2=0 中,
得?????a4-a-b+ 2b+2=2=0,0. 解得?????ba==31.,

误区警示 忽略二次项系数为零而出错

【示例】 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实 数a的取值范围. [错解] 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 的解集为 R,

∴???a-2<0, ??Δ<0

??????a4<?a2-,2?2-4?a-2??-4?<0.

?-2<a<2.

当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等式, 不能应用根的判别式,应当单独检验不等式是否成立.
[正解] 当a-2=0,即a=2时,原不等式为-4<0, 所以a=2时成立. 当a-2≠0时,由题意得 即解得-2<a<2. 综上所述可知:-2<a≤2.
二次项系数含参数时,要严格分系数为正,系 数为0,系数为负三种情况进行讨论,缺一不可,只要题 目没有明确说明不等式是一元二次不等式,就必须讨论这 种情况.


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