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课件1.2_解三角形应用举例(2013-09-06)_图文

1.2 解三角形应用举例 (1)
距离 高度 角度 有关三角形计算

知识点小结
1、正弦定理: a ? b ? c
sinA sinB sinC

可以解决的有关解三角形问题: (1)已知两角和任一边; (2)已知两边和其中一边的对角。 2、余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC 可以解决的有关解三角形的问题: (1)已知三边;(2)已知两边和他们的夹角。

P11例1.设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距 离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定C点,测出 AC的距离是55米,∠BAC=51o, ∠ACB=75o 求A,B两点的距离(精确到0.1 m)
B

选定一个可到达点C; →测量AC的距离及∠BAC, ∠ACB的大小. →利用正弦定理求AB的距离.
A
C

B

解:根据正弦定理,得

AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC

A

C

AC sin ?ACB 55 sin ?ACB AB ? ? sin ?ABC sin ?ABC 55 sin 75? 55 sin 75? ? ? ? 65.7(m) ? ? ? ? sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答:A,B两点间的距离为65.7米。

例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),
设计一种测量两点间的距离的方法。

?

?

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一 岸的一点C到对岸两点的距离,再测∠BCA 的大小,借助于余弦定理可以计算出A、B 两点间的距离。

解:CD=a,并且在C、D两点分 别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ? ? ∠CDB=γ, ∠BDA=δ. D 在⊿ADC和⊿BDC中,应用正弦定理得

A

B
?
?

a

C

AC a a sin( ? ? ?) ? ? AC ? ? sin( ? ? ?) sin 180 ? (? ? ? ? ?) sin( ? ? ? ? ?) a sin ? a sin ? BC ? ? ? sin?180 ? (? ? ? ? ? )? sin(? ? ? ? ? )

?

?

计算出AC和BC后,再在⊿ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离

AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?
2 2

形成规律
?

?

测量两个不可到达点之间的距离方案: 选定两个可到达点C、D; →测量C、D间的距离及∠ACB,∠ACD,∠BDC、 ∠ADB的大小; →利用正弦定理求AC和BC; →利用余弦定理求AB.

形成结论

在测量上,根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC, 例2中的CD.基线的选取不唯一, 一般基线越长,测量的精确度越 高.

解斜三角形应用题的一般步骤: 解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知, 画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际 意义,从而得出实际问题的解

了解有关测量术语:
a.仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平 面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平 视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水 平视线的下方的时叫俯角. b.方向角是指从指定方向线到目标方向线的 水平角,如北偏东300,南偏西450. c.方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向线的水平角. d.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.

问题探究
例3 .设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物, A为建筑物的最高点,如何测量和计算建筑物AB 的高度.
A

D G

C H

E

B

问题探究

(从下往上)

设在点C、D处测得A的仰角分别为α 、β ,CD=a, 测角仪器的高度为h,试求建筑物高AB.

a AC ? ? sin(? ? ?) sin ? a sin ? ? AC ? sin(? ? ?)

A

D

? C
H

?
B

E

AB ? AC sin ? ? h

G

a sin ? sin ? ? ?h sin(? ? ? )

例3、如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,
从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处, 测得烟囱的仰角分别是 ? ? 45?和 ? ? 60? CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m, 求烟囱的高。

分析:如图,因为AB=AA1+A1B,又
解: 在?BC

已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
1

B

D1中, ?C1 BD1 ? 60 ? ? 45 ? ? 15 ?,

由正弦定理可得 : C1 D1 BC1 ? sin B sin D1
C1 C

?
D1 D

?

A1
A

C1 D1 ? sin D1 12 ? sin 120 ? ? BC1 ? ? ? 18 2 ? 6 6 sin B sin 15 ? 2 ? A1 B ? BC1 ? 18 ? 6 3 ? 28.4 2

? AB ? A1B ? AA1 ? 28.4 ? 1.5 ? 29.9(m)
答:烟囱的高为 29.9m.

例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α=54°40′,在塔底 C处测得A处的俯角β=50°1′已知 铁塔BC部分的高为27.3m,求出山 高CD(精确到1m) 分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长 解:在⊿ABC中,∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根 据正弦定理,

BC cos? BC AB ? ? AB ? ? sin(? ? ? ) sin( 90 ? ? ) sin(? ? ?)

解Rt?ABD, 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin(? ? ? ) 27.3 cos 50 1 sin 54 40 ? sin( 54? 40' ? 50?1' ) ? 177(m)
? ? ' '

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为150米。

例4的练习: 在山顶铁塔上B处测
得地面上一点A的俯角α = 60° , 在塔底C处测得A处的俯角β = 30°。已知铁塔BC部分的高为28m, 求出山高CD. 分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长

B C

?
?
A

D

解:在⊿ABC中,∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据 正弦定理,

BC AB BC cos ? ? ? AB ? ? sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ) sin( ? ? ?)

BC cos ? ? AB ? sin( ? ? ?)
解Rt ?ABD , 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin( ? ? ? ) 28 cos 30? sin 60? ? ? ? sin( 60 ? 30 ) ? 42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答:山的高度约为14米。

课堂小结

P19

1.2A

1、 3、 9

1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意,分清已知 与所求,根据题意画出示意图,并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中,贯穿了数学建模的思想,其流程 图可表示为: 实际问题
画图形

数学模型
解 三 角 形

实际问题的解

检验(答)

数学模型的解

解斜三角形应用题的一般步骤: 解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知, 画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际 意义,从而得出实际问题的解

例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A

处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向 上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25° 的方向上,仰角8°,求此山的高度CD.

分析:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知条件,可以计算出BC的长。

D

C

8° 25°
B

15 ° 5km

A

解:在⊿ABC中,∠C=25°--15°=10°.

BC AB ? 根据正弦定理, sin A sin C AB sin A 5 sin 15? BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)

答:山的高度约为1047米。

例5练习
? 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处
时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向

上,行驶5km后到达B处,测得山顶D位于正东北方,
且由A到B的图中测得对山顶D的最大仰角为30 ° , 求山高?
D

? ?CAB ? 15? ?CBD ? 30?

AB ? 5 5 BC ? ? ? ? sin120 sin15
?CBA ? 45?

C
E

A
B

? BC ? 5( 2 ? 1) ? CD ? BC tan 30?

例2、如图,某渔轮在航得中不幸遇险,发出 呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,测出该 渔轮在方位角为45°,距离为10n mile的C 处,并测得渔轮正沿方位角为105 °的方向, 以9n mile/h的速度向小岛靠拢.我海军舰艇 立即以21n mile/h的速度前去营救.求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到 北 0.1 °,时间精确到1min)


方位角:指从正北方向 顺时针旋转到目标方向线 的水平角.


C

105° B

北 解:设舰艇收到信号后x h 北 105° C 在B处靠拢渔轮,则AB= B 21x,BC=9x,又AC=10, ∠ACB=45°+(180°- 105°)=120°. A 由余弦定理,得: 2 2 2 AB ? AC ? BC ? 2AC ? BC cos ?ACB, 即

(21x) ?10 ? (9x)
2
2

2

2

? 2 ?10 ? 9 x cos120?

化简得: 36 x ? 9 x ? 10 ? 0 解得:x=2/3(h)=40(min)(负值舍去)

由正弦定理,得

所以∠BAC≈21.8°,方位角为45 ° + 21.8 °=66.8 ° 答:舰艇应沿着方位角66.8 °的方向航行, 经过40min就可靠近渔轮.

BC sin ?ACB 9 x sin120 ? 3 3 sin ?BAC ? ? ? AB 21x 14


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