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2018版高中数学(人教A版)必修1同步教师用书:第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性 1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单 调性.(重点、难点) 2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点) 3.会求一些具体函数的单调区间.(重点) [基础· 初探] 教材整理 1 增函数与减函数的定义 阅读教材 P27~P28,完成下列问题. 增函数与减函数的定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 条件 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时 都有 f(x1)<f(x2) 结论 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 都有 f(x1)>f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图示 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)在[-1,2]上是增函数.( (2)若 f(x)为 R 上的减函数,则 f(0)>f(1).( ) ) (3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x)在区间(1,3)上为 增函数.( 【解析】 ) (1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性. (2)√.由减函数的定义可知 f(0)>f(1). ?x+1,x∈?1,2] (3)×.反例:f(x)=? ?x-1,x∈?2,3?. 【答案】 教材整理 2 (1)× (2)√ (3)× 函数的单调性与单调区间 阅读教材 P29 第一段,完成下列问题. 函数的单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 函数 f(x)=x2-2x+3 的单调减区间是________. 【解析】 因为 f(x)=x2-2x+3 是图象开口向上的二次函数,其对称轴为 x =1,所以函数 f(x)的单调减区间是(-∞,1). 【答案】 (-∞,1) [小组合作型] 求函数的单调区 间 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还 是减函数. 1 (1)f(x)=-x; ?2x+1,?x≥1? (2)f(x)=? ?5-x,?x<1?; (3)f(x)=-x2+2|x|+3. 【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解;(2)根据自变量的范围分 段求出相应的函数的单调区间;(3)做出函数的图象求其单调区间. 1 【自主解答】 (1)函数 f(x)=- x 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在 (-∞,0),(0,+∞)上都是增函数. (2)当 x≥1 时,f(x)是增函数,当 x<1 时,f(x)是减函数,所以 f(x)的单调区间 为(-∞,1),[1,+∞),并且函数 f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上 是增函数. 2 ?-x +2x+3,x≥0 (3)因为 f(x)=-x +2|x|+3=? 2 ?-x -2x+3,x<0. 2 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知, 函数 f(x)的单调区间为(-∞,-1],[0,1),(-1,0),[1,+∞). f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数. 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间 要根据函数的自变量的取值范围分段求解; (2)利用函数的图象,如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间 要用“,”隔开,如本例(3). [再练一题] 1.函数 f(x)=-x2+2ax+3(a∈R)的单调减区间为________. 2.【导学号:97030046】 【解析】 因为函数 f(x)是开口向下的二次函数, 其对称轴为 x=a, 所以 f(x) 的单调减区间为(a,+∞). 【答案】 (a,+∞) 函数单调性的判定与证 明 (1)下列四个函数中在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x 1 C.f(x)=x B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=x2+2x ) x2 (2)用单调性定义证明函数 f(x)= 2 在区间(0,1)上是减函数. x -1 【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断. (2)利用函数单调性的定义,取值,作差,变形,定号,下结论,即可证得. 【自主解答】 (1)A.f(x)=3-x 在(0,+∞)上为减函数.B.f(x)=(x-1)2 是 开口向上的二次函数,其对称轴为 x=1,它的单调增区间为(1,+∞),所以它 1 在(0,+∞)上不为单调函数.C.f(x)= x 在(0,+∞)上为减函数.D.f(x)=x2+2x 是开口向上的二次函数, 其对称轴为 x=-1, 则它的单调递增区间是(-1, +∞), 所以它在(0,+∞)上为增函数. 【答案】 D (2)设 x1,x2∈(0,1)且 x1<x2,则 2 x2 ?x2-x1??x2+x1? x2 x2 2-x1 1 2 f(x1)-f(x2)= 2 - = 2 = . 2 x1-1 x2 - 1 ? x - 1 ?? x - 1 ? ? x - 1 ?? x1+1??x2-1??x2+1? 2 1 2 1 ∵x1<x2,∴x2-x1>0.∵x1,x2∈(0,1),∴x1+1>0,x2+1>0,x1-1<0, x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), x2 所以,函数 f(x)= 2 在区间(0,1)上是减函数. x -1 利用定义证明函数单调性的 4 个步骤 [再练一题] 1 1 2.已知函数 f(x)=a-x,用单调性定义证明 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函 数. 【证明】 【导

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