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2018届北师大版(理科数学) 数学文化专项练2 单元测试

数学文化专项练(二) (对应学生用书第 121 页) 1. 我国古代数学名著 《九章算术》 有“米谷粒分”题: 粮仓开仓收粮, 有人送 米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数是 254 粒内夹谷 28 粒,则这批 米内夹谷约为( A.134 石 C.338 石 B ) B.169 石 D.1 365 石 28 28 [抽样比是254,那么 1 534 石米夹谷 1 534×254≈169(石), 故选 B.] 2.(2017· 福建 4 月教学质量检测)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著 的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千 八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人,次日转多七人.每人日支米三升, 共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日.”其大意为:“官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝.第一天派出 64 人,从第二天 ,每天派出的人数比前一天 多 7 人.修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升,共发出大米 40 392 升,问修筑 堤坝多少天.”在这个问题中,第 5 天应发大米( A.894 升 C.1 275 升 B B.1 170 升 D.1 467 升 ) [由题意,知每天派出的人数构成首项为 64,公差为 7 的等差数列,则 5×4 第 5 天的总人数为 5×64+ 2 ×7=390,所以第 5 天应发大米 390×3= 1 170 升, 故选 B.] 3. 《算数书》竹简于 20 世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现 存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令 相乘也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 1 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈36l2h.它实际上是将圆锥体积公式中 2 的圆周率 π 近似取 3.那么,近似公式 V≈75l2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 第 1 页 共 9 页 近似取为( ) 【导学号:07804142】 22 A. 7 157 C. 50 B 25 B. 8 355 D.113 [设圆锥的底面圆半径为 r,则圆锥的底面圆周长 L=2πr,所以圆锥底 L 1 1 2 1 L2 1 面圆的半径 r=2π,则圆锥的体积为 V=3Sh=3πr h=3π·4π2h=12πL2h.又 2 1 2 25 V≈75L2h,所以12πL2h≈75L2h,解得 π≈ 8 .] 4.(2017· 福建三明 5 月质检)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体 积的过程中构造的一个和谐优美的几何体,它由完全相同的四个曲面构成, 相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上,好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞 (方盖).如图 1,正方形 ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线,若该几何体 的正视图与侧视图都是半径为 r 的圆,根据祖暅原理,可求得该几何体的体 积为( ) 图1 8 A.3r3 16 C. 3 r3 8 B.3πr3 16 D. 3 πr3 C [由题意,根据祖暅原理,求得该几何体的体积与中截面面积为(2r)2= 4 4 16 πR2 的球的体积相等,所以几何体的体积为3πR3=3×4r2×r= 3 r3.] 5.(2017· 四川泸州四诊)《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其 中一个问题的解答可以用如图 2 的算法 实现,若输入的 S,T 的值分别为 40,126,则输出 a,b 的值分别为( ) 第 2 页 共 9 页 图2 A.17,23 C.19,23 B.21,21 D.20,20 A [依据流程图运行程序:S=40,T=126,此时 T≥2S 成立,(T-2S)÷ 2 =46÷ 2=23, 余数为 0, 则 b= b 结束程序运行. 综上可得输出 a,b 的值分别为 17,23.] 6.(2017· 广州一模)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直 的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三 棱锥 PABC 为鳖臑,PA⊥平面 ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥 PABC 的 四个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为( A.8π C.20π B.12π D.24π ) T-2S a=S-b=40-23=17, 输出 a, 2 =23, C [法一:(还原几何法)将三棱锥 PABC 放入长方体 中, 如图, 三棱锥 PABC 的外接球就是长方体的外接 球.因为 PA=AB=2,AC=4,△ABC 为直角三角形, 所以 BC= 42-22=2 3.设外接球的半径为 R,依题 第 3 页 共 9 页 意可得(2R)2=22+22+(2 3)2=20,故 R2=5,则球 O 的表面积为 4πR2= 20π,选 C. 法二:(直接法)利用鳖臑的特点求解,如图,因为四个面 都是直角三角形,所以 PC 的中点到每一个顶点的距离 都相等,即 PC 的中点为球心 O,易得 2R=PC= 20, 所以球 O 的表面积为 4πR2=20π,选 C.] 7. 《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的 论术比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知 大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱 形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在 墙体中,截面图如图 3 所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分),已知弦 AB= 1 尺,弓形高 CD=1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注:1 丈=10 5 尺,1 尺=10 寸,π≈3.14,sin 22.5° ≈13)( ) 图3 A.600 立方寸 C.620 立方寸 B.610 立方寸 D.633 立方寸 D [连接 OA,OB,OD,设⊙O 的半径为 R,则(R-1)2

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