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2013年高考文科数学湖北卷试题与答案word解析版 独自整理


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (湖北卷) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013 湖北,文 1)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则 B∩ A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5} 1. 答案:B 解析:∵ ={3,4,5},B={2,3,4},故 B∩ ={3,4}.故选 B. =( ).

2. (2013 湖北, 2)已知 0<θ < 文 A.实轴长相等 2. 答案:D 解析:对于 θ ∈ ? 0,

π x2 y2 y2 x2 =1 与 C2: 2 ? 2 ? 1 的( , 则双曲线 C1: 2 ? 4 sin ? cos 2 ? cos ? sin ?
C.离心率相等 D.焦距相等

).

B.虚轴长相等

? ?

π? 2 2 ? ,sin θ +cos θ =1,因而两条双曲线的焦距相等,故选 D. 4?

3.(2013 湖北,文 3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ). A.( ? p)∨( ? q) B.p∨( ? q) C.( ? p)∧( ? q) D.p∨q 3. 答案:A 解析:至少有一位学员没有降落在指定范围,即 p∧q 的对立面,即 ? (p∧q)=( ? p)∨( ? q),故选 A. 4.(2013 湖北,文 4)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且 ? =2.347x-6.423; y ②y 与 x 负相关且 ? =-3.476x+5.648; y ③y 与 x 正相关且 ? =5.437x+8.493; y ④y 与 x 正相关且 ? =-4.326x-4.578. y 其中一定不正确的结论的序号是( ). ... A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4. 答案:D 解析:正相关指的是 y 随 x 的增大而增大,负相关指的是 y 随 x 的增大而减小,故不正确的为①④,故选 D. 5.(2013 湖北,文 5)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间 加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( ).

5.
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答案:C 解析:根据题意,刚开始距离随时间匀速减小,中间有一段时间距离不再变化,最后随时间变化距离变化 增大,故选 C. 6.(2013 湖北,文 6)将函数 y= 3 cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到 的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ).

π A. 12
6. 答案:B

π B. 6

π C. 3

5π D. 6

π? π? ? ? 的图象向左平移 m 个单位长度后得 y=2 sin ? x ? m ? ? 的图 3? 3? ? π π? ? 象.又平移后的图象关于 y 轴对称,即 y=2 sin ? x ? m ? ? 为偶函数,根据诱导公式 m 的最小正值为 , 6 3? ?
解析:y= 3 cos x+sin x=2 sin ? x ? 故选 B. 7.(2013 湖北,文 7)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影 为( ).

? ?

??? ?

??? ?

3 2 A. 2
7. 答案:A

3 15 B. 2

3 2 2 C. ?

3 15 2 D. ?
??? ? ??? ?

解析:因为 AB =(2,1), CD =(5,5),所以向量 AB 在 CD 方向上的投影为| AB |cos〈 AB , CD 〉=

??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? AB ? CD AB ? CD (2,1) ? (5,5) 3 2 ? .故选 A. AB ? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? ? 2 AB CD CD 52 ? 52

??? ?

8.(2013 湖北,文 8)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( ). A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 8. 答案:D 解析:由题意 f(1.1)=1.1-[1.1]=0.1,f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9,故该函数不 是奇函数,也不是偶函数,更不是增函数.又对任意整数 a,有 f(a+x)=a+x-[a+x]=x-[x]=f(x), 故 f(x)在 R 上为周期函数.故选 D. 9.(2013 湖北,文 9)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分 别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型 车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( ). A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 9. 答案:C

?36 x ? 60 y ? 900, ? 解析: 设需 A, 型车分别为 x, 辆(x, ∈N), x, 需满足 ? y ? x ? 7, B y y 则 y 设租金为 z, z=1 600x 则 ? x ? N, y ? N, ?
+2 400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为 x=5,y=12,此时 z 最小等于 36 800,故选 C.

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10.(2013 湖北,文 10)已知函数 f(x)= x(ln x-ax)有两个极值点, 则实数 a 的取 值范围是( ).

A . ( - ∞ , 0) C.(0,1) D.(0,+∞) 10. 答案:B 解析: f′(x)=ln x -ax+ x ?

? 1? ? 0, ? B. ? 2?

?1 ? ? a? = ?x ?

ln x-2ax+1,函数 f(x)有两个极值点, 即 ln x-2ax+1=0 有两个不同的根(在正实数集上),即函数 g(x)=

ln x ? 1 与函数 y=2a 在(0,+∞)上有两个不同交点.因为 g′(x) x ? ln x = , 所以 g(x)在(0,1)上递增, 在(1, +∞)上递减, 所以 g(x)max x2
=g(1)=1,如图. 若 g(x)与 y=2a 有两个不同交点,须 0<2a<1.即 0<a< B.

1 ,故选 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
11.(2013 湖北, 11)i 为虚数单位, 文 设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点对称,若 z1=2-3i, 则 z2=__________. 11.答案:-2+3i 解析:z1 在复平面上的对应点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3),故 z2=-2 +3i. 12.(2013 湖北,文 12)某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为__________; (2)命中环数的标准差为__________. 12. 答案:(1)7 (2)2 解析:平均数为 标准差为

7 ? 8 ? 7 ? 9 ? 5 ? 4 ? 9 ? 10 ? 7 ? 4 ? 7, 10

(7 ? 7)2 ? (8 ? 7)2 ? (7 ? 7)2 ? (9 ? 7)2 ? (5 ? 7)2 ? (4 ? 7)2 ? (9 ? 7)2 ? (10 ? 7)2 ? (4 ? 7)2 10 =2.
13.(2013 湖北,文 13)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入 m 的 值为 2,则输出的结果 i=__________. 答案:4 解析:由程序框图,i=1 后:A=1×2,B=1×1,A<B?否;i=2 后:A=2×2,B=1×2,A<B?否;i =3 后:A=4×2,B=2×3,A<B?否;i=4 后:A=8×2,B=6×4,A<B?是,输出 i=4.

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14.(2013 湖北,文 14)已知圆 O:x +y =5,直线 l:xcos θ +ysin θ =1 ? 0 ? ? ?
2 2

? ?

π? ? .设圆 O 上 2?

到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=__________. 14. 解析:由题意圆心到该直线的距离为 1,而圆半径为 5 >2,故圆上有 4 个点到该直线的距离为 1. 15.(2013 湖北,文 15)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为

5 ,则 m= 6

__________. 15.答案:3 解析:由题意[-2,4]的区间长度为 6,而满足条件的 x 取值范围的区间长度为 5,故 m 取 3,x∈[-2,3]. 16.(2013 湖北,文 16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆 台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深 九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于 十寸) 16.答案:3 解析:由题意盆内所盛水的上底面直径为 =

28 ? 12 =20(寸),下底面半径为 6 寸,高为 9 寸,故体积为 V 2

1 2 2 2 ·9·(π ·10 +π ·6 +π ·10·6)=588π ,而盆上口面积为 π ·14 =196π ,故平地降雨量为 3 588π =3(寸). 196π

17. (2013 湖北, 17)在平面直角坐标系中, 文 若点 P(x, )的坐标 x, 均为整数, y y 则称点 P 为格点. 若 一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记 为 N,边界上的格点数记为 L.例如图中△ABC 是格点三角形,对应的 S=1,N=0,L=4.

(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是__________; (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多边形对应的 N=71, L=18,则 S=__________(用数值作答). 17. 答案:(1)3,1,6 (2)79 解析: 由图形可得四边形 DEFG 对应的 S, , 分别是 3,1,6.再取两相邻正方形可计算 S, , 的值为 2,0,6. N L N L 加上已知 S=1 时 N=0,L=4,代入 S=aN+bL+c 可计算求出 a=1,b= 时,S=71+

1 ,c=-1,故当 N=71,L=18 2

1 ×18-1=79. 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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18.(2013 湖北,文 18)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A -3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S= 5 3 ,b=5,求 sin Bsin C 的值. 18. 2 解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得 cos A=

1 或 cos A=-2(舍去). 2

因为 0<A<π ,

π . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A = bc, ? bc ? 5 3 ,得 bc=20. 2 2 2 4
所以 A ? 又 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=25+16-20=21,故 a ?
2 2 2

21 . b c bc 20 3 5 2 ? ? . 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A· sin A= 2 sin A= a a a 21 4 7

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19.(2013 湖北,文 19)(本小题满分 13 分)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说明理由.

19. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0. 由题意得 ? 即?

? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18,

??a1q 2 ? a1q3 ? a1q 2 ,

2 ?a1q?1 ? q ? q ? ? ?18, ?a1 ? 3, 解得 ? ?q ? ?2.

故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)
n

n-1

.

(2)由(1)有 Sn=

3 ? [1 ? ??2? ] n =1-(-2) . 1 ? ??2?

若存在 n,使得 Sn≥2 013, n 则 1-(-2) ≥2 013, n 即(-2) ≤-2 012. n 当 n 为偶数时,(-2) >0,上式不成立; n n n 当 n 为奇数时,(-2) =-2 ≤-2 012,即 2 ≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

20.(2013 湖北,文 20)(本小题满分 13 分)如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1A2 =d1.同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3.过 AB,AC 的中点 M,N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体 A1B1C1?A2B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面, 其面积记为 S 中. (1)证明:中截面 DEFG 是梯形; (2)在△ABC 中,记 BC=a,BC 边上的高为 h,面积为 S.在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多 面体 A1B1C1?A2B2C2 的体积 V)时,可用近似公式 V 估=S 中·h 来估算.已知 V= 与 V 的大小关系,并加以证明.

1 (d1+d2+d3)S,试判断 V 估 3

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20. (1)证明:依题意,A1A2⊥平面 ABC,B1B2⊥平面 ABC,C1C2⊥平面 ABC, 所以 A1A2∥B1B2∥C1C2. 又 A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3. 因此四边形 A1A2B2B1,A1A2C2C1 均是梯形. 由 AA2∥平面 MEFN,AA2 ? 平面 AA2B2B,且平面 AA2B2B∩平面 MEFN=ME, 可得 AA2∥ME,即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG,所以 DE∥FG. 又 M,N 分别为 AB,AC 的中点, 则 D,E,F,G 分别为 A1B1,A2B2,A2C2,A1C1 的中点, 即 DE,FG 分别为梯形 A1A2B2B1,A1A2C2C1 的中位线. 因此 DE=

1 1 1 1 (A1A2+B1B2)= (d1+d2),FG= (A1A2+C1C2)= (d1+d3), 2 2 2 2

而 d1<d2<d3,故 DE<FG,所以中截面 DEFG 是梯形. (2)解:V 估<V.证明如下: 由 A1A2⊥平面 ABC,MN ? 平面 ABC,可得 A1A2⊥MN. 而 EM∥A1A2,所以 EM⊥MN, 同理可得 FN⊥MN.

1 1 BC ? a 即为梯形 DEFG 的高, 2 2 1 ? d ? d2 d1 ? d3 ? a a 因此 S 中=S 梯形 DEFG= ? 1 ? ? ? ? (2d1 ? d2 ? d3 ) , 2? 2 2 ? 2 8 ah 即 V 估=S 中·h= (2d1+d2+d3). 8 1 1 ah 又 S ? ah ,所以 V= (d1+d2+d3)S= (d1+d2+d3). 2 3 6 ah ah ah 于是 V-V 估= (d1+d2+d3)- (2d1+d2+d3)= [(d2-d1)+(d3-d1)]. 6 8 24
由 MN 是△ABC 的中位线,可得 MN= 由 d1<d2<d3,得 d2-d1>0,d3-d1>0,故 V 估<V. 21.(2013 湖北,文 21)(本小题满分 13 分)设 a>0,b>0,已知函数 f(x)= (1)当 a≠b 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 x>0 时,称 f(x)为 a,b 关于 x 的加权平均数.

ax ? b . x ?1

? b? ? b? ?b? ?b? ? , f ? ? 是否成等比数列,并证明 f ? ? ? f ? ? a ?; ? a? ?a? ?a? ? ? ? ? 2ab ②a,b 的几何平均数记为 G.称 为 a,b 的调和平均数,记为 H.若 H≤f(x)≤G,求 x 的取值范围. a?b
①判断 f(1), f ? ? 21. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),

f′(x)=

a? x ? 1? ? ? ax ? b ? a?b ? . 2 ? x ? 1? ? x ? 1?2

当 a>b 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增; 当 a<b 时,f′(x)<0,函数 f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减. (2)①计算得 f(1)=

a?b >0, 2

? b ? 2ab f ? ?? ? 0, ? a ? a?b

? b? f? ? a ? ? ab ? 0 , ? ? ?

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? ? b ? a ? b 2ab 故 f (1) f ? ? ? ? ? ab ? ? f 2 a?b ?a? ? ?
?b? ? 即 f (1) f ? ? ? ? f ?a? ? ?
2

? b ?? , ? ? a ?? ? ? ? ??

2

? b ?? ,(*) ? ? a ?? ? ? ? ?? ? b? ?b? 所以 f(1), f ? ? a ? , f ? a ? 成等比数列. ? ? ? ? ? ? a? a?b ? ab ,即 f (1) ? f ? 因 ? b ?, ? 2 ? ? ? b? ?b? 由(*)得 f ? ? ? f ? ? a ?. ? ?a? ? ? ? b? ?b? ②由①知 f ? ? ? H , f ? ? a ??G . ? ?a? ? ? ? b? ?b? 故由 H≤f(x)≤G,得 f ? ? ? f ( x) ? f ? ? a ? .(**) ? ?a? ? ? ? b? ?b? 当 a=b 时, f ? ? ? f ( x ) ? f ? ? a ? ? a. ? ?a? ? ?
这时,x 的取值范围为(0,+∞); 当 a>b 时, 0<

b b b <1 ,从而 ? , a a a

由 f(x)在(0,+∞)上单调递增与(**)式, 得

b b , ?x? a a
?b ?a b? ?; a?

即 x 的取值范围为 ? , 当 a<b 时,

b b b >1 ,从而 ? , a a a

由 f(x)在(0,+∞)上单调递减与(**)式, 得

? b b? b b ? x ? ,即 x 的取值范围为 ? , ? . a a ? a a?

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22.(2013 湖北,文 22)(本小题满分 14 分)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O,长轴均为 MN 且 在 x 轴上,短轴长分别为 2m,2n(m>n),过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1,C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D,记 ? ?

m ,△BDM 和△ABN 的面积分别为 S1 和 S2. n

(1)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λ S2,求 λ 的值; (2)当 λ 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2?并说明理由.

22. 解:依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

x2 y 2 x2 y2 ? 2 =1 ,C2: 2 ? 2 =1 . a2 m a n m 其中 a>m>n>0, ? ? >1. n
C1:
(1)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x=0,则

S1=

1 1 1 1 S | BD | |BD|·|OM|= a|BD|,S2= |AB|·|ON|= a|AB|,所以 1 ? . 2 2 2 2 S2 | AB |

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x=0, 可得 yA=m,yB=n,yD=-m,

| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 . ? ? ? | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1 ? ?1 S ?? , 若 1 =? ,则 ? ?1 S2
于是 化简得 λ -2λ -1=0. 由 λ >1,可解得 λ = 2+1 . 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λ S2,则 λ = 2+1 . 图1 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;
2

1 1 |BD|·|OM|= a|BD|, 2 2 1 1 S2= |AB|·|ON|= a|AB|. 2 2 S | BD | m ? n ? ? 1 所以 1 ? . ? ? S2 | AB | m ? n ? ? 1 ? ?1 S ? ? ,化简得 λ 2-2λ -1=0. 若 1 =? ,则 ? ?1 S2
S1=
由 λ >1,可解得 λ = 2+1 . 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λ S2,则 λ = 2+1 . (2)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2. 图2 根据对称性,不妨设直线 l:y=kx(k>0), 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则

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因为 d1 ? 又 S1=

| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k 2

,所以 d1=d2.

1 1 |BD|d1,S2= |AB|d2, 2 2 S | BD | 所以 1 ? =λ ,即|BD|=λ |AB|. S2 | AB |
由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ -1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ +1)|AB|, 于是

| AD | ? ? 1 .① ? | BC | ? ? 1

将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得

xA ?

am a 2 k 2 ? m2

, xB ?

an a 2 k 2 ? n2

.

根据对称性可知 xC=-xB,xD=-xA,于是

1 ? k 2 | x A ? xD | 2 x A m a 2 k 2 ? n 2 | AD | ? ? = .② | BC | n a 2 k 2 ? m2 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB
从而由①和②式可得

a 2 k 2 ? n2 ? ?1 .③ ? 2 2 2 a k ?m ? ?? ? 1? ? ?1 n2 ? ? 2t 2 ? 1? 2 令 t= ,则由 m>n,可得 t≠1,于是由③可解得 k ? . ? ?? ? 1? a 2 ?1 ? t 2 ?
因为 k≠0,所以 k >0. 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t ? 1) ? t ?
2 2
2

n2 ? ? 2t 2 ? 1? >0 , a 2 ?1 ? t 2 ?

? ?

1 ? <0 . ?2 ? ?
<t<1,

由 λ >1,可解得 即

1

? ?1 <1 , ? ? ? ? ? 1? 由 λ >1,解得 λ > 1+ 2 ,所以 当 1<λ ≤ 1+ 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2; 当 λ > 1+ 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1=λ S2.
1 ?
解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2.根据对称性, 不妨设直线 l:y=kx(k>0), 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则 因为 d1 ? 又 S1=

?

| ?ak ? 0 | 1? k 2

?

ak 1? k 2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k 2

?

ak 1? k 2

,所以 d1=d2.

1 1 |BD|d1,S2= |AB|d2, 2 2 S1 | BD | ? =? . 所以 S2 | AB |
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1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | ? ? ?? , | AB | 1 ? k 2 | x A ? xB | x A ? x B x ? ?1 所以 A ? . xB ? ? 1
因为 由点 A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在 C1,C2 上,可得

xA2 k 2 xA2 x 2 k2x 2 ? =1 , B2 ? 2B =1 , a2 m2 a n 2 2 x ?x k 2 ? x A 2 ? ? 2 xB 2 ? =0 , 两式相减可得 A 2 B ? a m2 依题意 xA>xB>0,所以 xA2 ? xB 2 .
所以由上式解得 k 2 ? 因为 k >0,所以由 从而 1<
2

m2 ? xA2 ? xB 2 ? . a 2 ? ? 2 xB 2 ? xA2 ?

? ?1 <? ,解得 λ > 1+ 2 ,所以 ? ?1 当 1<λ ≤ 1+ 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2; 当 λ > 1+ 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1=λ S2.

x m2 ? xA2 ? xB 2 ? >0 ,可解得 1< A ? ? . 2 2 2 2 xB a ? ? xB ? xA ?

2013

湖北文科数学

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