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2017不等关系与不等式导学案.doc


不等关系与不等式

导学案
命制学校:沙市五中 命制教师:王旭俐
学习目标: 1 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用; 2 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系,学会比较两个代数式的大小. 学习重点:比较两实数大小. 学习难点:差值比较法:作差→变形→判断差值的符号 学法指导: 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表 现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相 对的 研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式 实数的差的正负与实数的大 小的比较有着密切关系, 这种关系是本章内容的基础, 也是证明不等式与解不等式的主要依 据 因此,本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 知识链接: 在日常生活中,我们经常看到下列标志:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

问题 1:你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗? 提示:①最低限速:限制行驶时速 v 不得低于 50 公里; ②限制质量:装载总质量 G 不得超过 10 t; ③限制高度:装载高度 h 不得超过 3.5 米; ④限制宽度:装载宽度 a 不得超过 3 米; ⑤时间范围:t∈. 问题 2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 提示:①v≥50;②G≤10;③h≤3.5;④a≤ 3;⑤7.5≤t≤10. 自主学习: 不等式的概 念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.

1.不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等

式则是表示两者的不等关系,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表 示,不等关系是可以通过不等式来体现的。 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 符号语言 大于,高于,超过 > 小于,低于,少于 < 大于等于,至少, 小于等于,至多, 不低于 ≥ 不多于,不超过 ≤

实数可以用数轴上的点表示, 数轴上的每个点都表示一个实数, 且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大. 问题 1:怎样判断两个实数 a、b 的大小? 提示:若 a-b 是 正数,则 a>b;若 a-b 是负数,则 a<b;若 a-b 是零,则 a=b. 问题 2:你能否由问题 1 得出两个实数比较大小的方法? 提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小.

比较两个实数 a、b 大小的依据 文字语言 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0, 反之亦然 符号表示

a>b?a-b>0 a<b?a-b<0 a=b?a-b=0

1.上面的“?”表示“等价于”,即可以互相推出. 2 .“?”右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小顺序, 二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 不等式的基本性质

问题 1:若 a>b,b>c,则 a>c,对吗?为什么? 提示:正确.∵ a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0. ∴(a-b)+(b-c)>0.即 a-c>0.∴a>c. 问题 2:若 a>b,则 a+c>b+c,对吗?为什么? 提示:正确.∵a>b,∴a-b>0,∴a+c-b-c>0 即 a+c>b+c.

问题 3:若 a>b,则 ac>bc,对吗?试举例说明. 提示:不一定正确,若 a=2,b=1,c=2 正确.c=-2 时不正确.

不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c. 推论(同 向可加性):
? a>b?

a>b? ?
? c>d?

??a+c>b+d; ? a>b?

(4)可乘性:

??ac>bc; c>0? ?

c<0? ?

??ac<bc;

推论(同向同正可乘性):
n

a>b>0? ?
? c>d>0?
n

??ac>bd;
*

(5)正数乘方性:a>b>0?a >b (n∈N ,n≥1); (6)正数开方性:a>b>0? a> b(n∈N ,n≥2).

n

n

*

1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件. 2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性. 合作探究: 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾 驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次, 乙 型卡车每辆每天可往返 8 次,写出满足上述所有不等关系的不等式. 设 每 天 派 出 甲 型 卡 车

x 辆 , 乙 型 卡 车 y 辆 . 由 题 意 得

? ?10×6x+6×8y≥360, ?0≤x≤4, 0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N,
x+y≤9, x+y≤9, ? ?5x+4y≥30, 即? 0≤x≤4,0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N.

用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系. (2) 找 出 体现 不 等关 系 的关 键 词 : “至 少 ”“ 至多 ”“ 不少 于 ”“ 不 多于 ”“超 过 ”“不 超 过” 等 .用代 数 式 表示 相 应各 量 ,并 用 关 键词 连 接. 特别需 要 考 虑的 是 “≤”“≥”中的“=”能否取到.

1.用不等式(组)表示下列问题中的不等关系: (1)限速 80 km/h 的路标; (2)桥头上限重 10 吨的标志; (3)某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%,蛋白质的含量 p 不少 于 2.3%. 解:(1)设汽车行驶的速度为 v km/h, 则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨,则 ω ≤10. (3)?
? ?f≤2.5%, ?p≥2.3%. ?

比较两数(式)的大小 比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x +3 与 2x; (2)已知 a,b 为正数,且 a≠b,比较 a +b 与 a b+ab 的大小. (1)(x +3)-2x=x -2x+3 =(x-1) +2≥2>0,
2 2 2 3 3 2 2 2

∴x +3>2x. (2)(a +b )-(a b+ab )=a +b -a b-ab =a (a-b)-b (a-b)=(a-b)(a -b ) =(a-b) (a+b), ∵a>0,b>0,且 a≠b, ∴(a-b) >0,a+b>0. ∴(a +b )-(a b+ab )>0, 即 a +b >a b+ab .
3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

2

比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差; (2)变形:对差进行变形;

(3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论. 这种比较大小的方法通常称为作差比较法. 其思维过程: 作差→变形→判断符号→结论, 其中变形是判断符号的前提.

2.比较 x +6x 与 x +6 的大小. 解:(x +6x)-(x +6) =x -x +6x-6 =x (x-1)+6(x-1) =(x-1)(x +6) ∵x +6>0. ∴当 x>1 时,(x-1)(x +6)>0, 即 x +6x>x +6. 当 x=1 时,(x-1)(x +6)=0, 即 x +6x=x +6. 当 x<1 时,(x-1)(x +6)<0, 即 x +6x<x +6. 不等式的性质 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: ∵c<d<0, ∴-c>-d>0, 又∵a>b>0, ∴a+(-c)>b+(-d)>0, 即 a-c>b-d>0, ∴0< 1
3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2

3

2

e

a-c b-d



e

.

a-c b-d



1



又∵e<0, ∴

e e > . a-c b-d

利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基 础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略

条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.

3.已知 a>b,m>n,p>0,求证:n-ap<m-bp. 证明:∵a>b,又 p>0,∴ap>bp. ∴-ap<-bp, 又 m>n,即 n<m. ∴n-ap<m-bp. 4.探究利用不等式性质求取值范围 已知 1<a<4,2<b<8.试求 2a+3b 与 a-b 的取值范围. ∵1<a<4,2<b<8, ∴2<2a<8,6<3b<24 ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8, ∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故 2a+3b 的取值范围是(8,32),a-b 的取值范围是(-7,2). 【探究一】 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意:同向不等式的两边可以相加 (相乘),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取 值范围. 【探究二】 同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件 进行适 当变形来求范围,注意变形的等价性.在本例条件下,求 的取值范围. 1 1 1 ∵2<b<8,∴ < < , 8 b 2 而 1<a<4, 1 1 1 1 a ∴1× <a· <4× ,即 < <2. 8 b 2 8 b

a b

a 1 故 的取值范围是( ,2). b 8

不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数,不等号方向改变,求 解中,应明确所乘数的正负. 例:已知-6<a<8,2<b<3,求 的取值范围. 解:因-6<a<8,2<b<3. 1 1 1 ∴ < < , 3 b 2 (1)当 0≤a<8 时,0≤ <4; (2)当-6<a<0 时,-3< <0. 由(1)(2)得:-3< <4.

a b

a b

a b

a b

利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数. 已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求 a+3b 的取值范围. 5 设 a+3b=λ 1(a+b)+λ 2(a-2b)=(λ 1+λ 2)a+(λ 1-2λ 2)b,解得 λ 1= ,λ 2= 3 2 - . 3 5 5 5 2 2 11 又- ≤ (a+b)≤ ,-2≤- (a-2b)≤- ,所以- ≤a+3b≤1. 3 3 3 3 3 3 (注:本题可以利用本章第三节内容求解)

1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 500 无,请瓦工共需付工资每人 400 元, 现有工人工资预算 20 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则工人满足的关系式是( A.5x+4y<200 C.5x+4y=200 B.5x+4y≥200 D.5x+4y≤200 )

解析:选 D 据题意知,500x+400y≤20 000,即 5x+4y≤200,故选 D. 2.若 x≠-2 且 y≠1,则 M=x +y +4x-2y 的值与-5 的大小关系是( A.M>-5 C.M≥-5
2 2 2 2

)

B.M<-5 D.M≤-5

解析:选 A M-(-5)=x +y +4x-2y+5 =(x+2) +(y-1) , ∵x≠-2,y≠1,
2 2

∴(x+2) >0,(y-1) >0,因此(x+2) +(y-1) >0. 故 M>-5. 3.如果 a>b,那么 c-2a 与 c-2b 中较大的是________. 解析:c-2a-(c-2b)=2b-2a=2(b-a)<0. 答案:c-2b 4.若-10<a<b<8,则|a|+b 的取值范围是________. 解析:∵-10<a<8, ∴0≤|a|<10, 又-10<b<8, ∴-10<|a|+b<18. 答案:(-10,18) 5.(1)已知 x≤1,比较 3x 与 3x -x+1 的大小; 1 1 2 2 (2)若-1<a<b<0,试比较 , ,a ,b 的大小.
3 2

2

2

2

2

a b
3

解: (1)3x - (3x -x + 1)= (3x - 3x ) +(x -1) =3x (x -1) +(x- 1)= (x- 1)(3x + 1). ∵x≤1,∴x-1≤0. 又 3x +1>0, ∴(x-1)(3x +1)≤0, ∴3x ≤3x -x+1. (2)∵-1<a<b<0, ∴-a>-b>0, ∴a >b >0. ∵a<b<0, 1 1 ∴a· <b· <0,
2 2 3 2 2 2

3

2

2

2

2

ab

ab

1 1 即 0> > ,

a b

1 1 2 2 ∴a >b > > .

a b

一、选择题 1.设 M=x ,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M>N C.M<N B.M=N D.与 x 有关
2

)

1 2 3 2 解析:选 A M-N=x +x+1=(x+ ) + >0. 2 4 ∴M>N. 2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩 x 不低于 95 分,文化课总分 y 高于 380 分,体育成绩 z 超过 45 分,用不等式(组)表示就是( )

x≥95 ? ? A.?y≥380 ? ?z>45 x>95 ? ? C.?y>380 ? ?z>45

x≥95 ? ? B.?y>380 ? ?z≥45 x≥95 ? ? D.?y>380 ? ?z>45

解析:选 D 由题中 x 不低于 95 即 x≥95,

y 高于 380 即 y>380, z 超过 45 即 z>45.
3.若 abcd<0,且 a>0,b>c,d<0,则( A.b<0,c<0 C.b>0,c<0 )

B.b>0,c>0 D.0<c<b 或 c<b<0

解析:选 D 由 a>0,d<0,且 abcd<0,知 bc>0, 又∵b>c,∴0<c<b 或 c<b<0. β ? π? ? π? 4.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,则 2α - 的范围是( 2? 2? 3 ? ? )

? 5 ? A.?0, π ? ? 6 ?
C.(0,π )

? π 5 ? B.?- , π ? ? 6 6 ? ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?

β π 解析:选 D 0<2α <π ,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,由同向不等式相加得到- <2α - <π . 6 3 6 3 5.已知:a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是( A.若 a>b,c>b,则 a>c B.若 a>-b,则 c-a<c+b C.若 a>b,c<d,则 >
2 2

)

a b c d

D.若 a >b ,则-a<-b 解析:选 B 选项 A,若 a=4,b=2,c=5,显然不成立,选项 C 不满足倒数不等式的

条件,如 a>b>0,c<0<d 时,不成立;选项 D 只有 a>b>0 时才可以. 否则如 a=-1,

b=0 时不成立,故选 B.
二、填空题 6.比较大小:a +b +c ________2(a+b+c)-4. 解析:a +b +c - =a +b +c -2a-2b-2c+4 =(a-1) +(b-1) +(c-1) +1≥1>0, 故 a +b +c >2(a+b+c)-4. 答案:> 1 7.已知|a|<1,则 与 1-a 的大小关系为________. 1+a 解析:由|a|<1,得-1<a<1. ∴1+a>0,1-a>0. 1 1+a 1 即 = 2 1-a 1-a ∵0<1-a ≤1, ∴ ∴ 1 2≥1, 1-a 1 ≥1-a. 1+a 1 ≥1-a 1+a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

答案:

8.某公司有 20 名技术人员,计划开发 A、B 两类共 50 件电子器件,每类每件所需人员 和预计产值如下: 产品种类 每件需要人员数 1 2 1 3 每件产值(万元/件) 7.5 6

A类 B类

今制定计划欲使总产值最高, 则 A 类产品应生产________件, 最高产值为________万元. 解析:设应开发 A 类电子器件 x 件,则开发 B 类电子器件(50-x)件,则 + 2 解得 x≤20. 由题意,得总产值 y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,

x 50-x
3

≤20,

当且仅当 x=20 时,y 取最大值 330. 所以应开发 A 类电子器件 20 件,能使产值最高,为 330 万元. 答案:20 330 三、解答题 9.某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约:生产此产品的工人不超 过 200 人;每个工人的年工作时间约为 2 100 h;预计此产品明年的销售量至少为 80 000 袋;生产每袋需用 4 h;生产每袋需用原料 20 kg;年底库存原料 600 t,明年可补充 1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量. 4x≤200×2 100 ? ? 解:设明年的产量为 x 袋,则?x≥80 000 ? ?0.02x≤600+1 200 解得 80 000≤x≤90 000. 预计明年的产量在 80 000 到 90 000 袋之间. 10.(1)a<b<0,求证: < ; 1 1 (2)已知 a>b, < ,求证:ab>0.



b a a b

a b

证明:(1)由于 - = =

b a b2-a2 a b ab

?b+a??b-a? ,

ab

∵a<b<0, ∴b+a<0,b-a>0,ab>0, ∴ ?b+a??b-a? b a <0,故 < .

ab

a b

1 1 (2)∵ < ,

a b

1 1 ∴ - <0,

a b



b-a <0,而 a>b, ab

∴b-a<0,∴ab>0.


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