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三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析—— 专题11 排列组合、二项式定理


三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 第十一章 排列、组合、二项式定理
一、选择题 1.
【2016 高考新课标 2 理数】如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再

一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 为( )

(A)24 【答案】B 【解析】

(B)18

(C)12

(D)9

2 试题分析:由题意,小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有 C4 条路,再从 F 处到 G 处最短共 1 2 1 有 C3 条路,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 C4 ? C3 ? 18 条,故选 B.

考点: 计数原理、组合. 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情, 类与类之间是独立的. 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分, 而未完成这 件事,步步之间是相关联的.

2.

【2016 年高考四川理数】设 i 为虚数单位,则 ( x ? i )6 的展开式中含 x4 的项为 (A)-15x4 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4

【答案】A

考点:二项展开式,复数的运算. 【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算,复数的概念及运算也是高考的热点,几乎 是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项式
r 6? r r ( x ? i)6 的展开式可以改为 (i ? x)6 ,则其通项为 C6 i x ,即含 x 4 的项为 4 6? 4 4 C6 i x ? ?15x4 .

3.

【2014 高考广东卷.理.8】设集合 A ?

?? x , x , x , x , x ? x ???1, 0,1? , i ? 1, 2,3, 4,5? ,
1 2 3 4 5 i

那么集合 A 中满足条件“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为( A. 60 D. 130 【答案】D B. 90

) C. 120

【考点定位】本题考查分类计数原理,属于拔高题 【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理,属于难题.解题时一定要注意选出的元素是 否与顺序有关,否则很容易出现错误.利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步, 分类时要做到不重不漏,防止出现错误.

4.

?1 ? 2 3 【 2014 湖南 4】 ? x ? 2 y ? 的展开式中 x y 的系数是( ?2 ?
B. ? 5 C.5 D.20

5



A. ? 20 【答案】A

5? n ?1 ? 【解析】根据二项式定理可得第 n ? 1 项展开式为 C ? x ? ? ?2 y ? ,则 n ? 2 时, ?2 ? n 5

n

5? n 3 ?1 ? ?1 ? 2 3 2 3 C ? x ? ? ?2 y ? ? 10? ? x ? ? ?2 y ? ? ?20 x y ,所以 x y 的系数为 ?20 ,故选 A. ?2 ? ?2 ? n 5

n

2

【考点定位】二项式定理 【名师点睛】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题,解本题需要掌握的知识点是二项
k n ?k k 式定理, 即二项式 ? a ? b ? 的展开式的通项是 ?k ?1 ? Cn a b ,然后令 n 选取恰当的值得到
n

结果.

5.

【2016 年高考四川理数】用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇

数的个数为 (A)24 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为 1、3、5 中之一,其他位 置共有随便排共 A4 种可能,所以其中奇数的个数为 3 A4 ? 72 ,故选 D.
4

(B)48

(C)60

(D)72

4

考点:排列、组合 【名师点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏, 分步时要注意整个事件的完成步骤. 在本题中, 个位是特殊位置, 第一步应先安排这个位置, 第二步再安排其他四个位置..
2 6. 【2015 高考陕西, 理 4】 二项式 ( x ? 1)n (n ? N? ) 的展开式中 x 的系数为 15, 则n ? (



A.4 【答案】C

B.5

C.6

D.7

【考点定位】二项式定理. 【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件 “ n ? ?? ” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理,即二项式

?a ? b?

n

的展开式的通项是 ?k ?1 ? Cn a
k

n ?k

bk .

7. 【2016 高考新课标 3 理数】定义“规范 01 数列” ?an ? 如下:?an ? 共有 2 m 项,其中 m

项为 0, m 项 为 1,且对任意 k ? 2 m ,a1 , a2 ,?, ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m ? 4 ,则不同的“规 范 01 数列”共 有( ) (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个

(A)18 个 【答案】C 【解析】

试题分析:由题意,得必有 a1 ? 0 , a8 ? 1 ,则具体的排法列表如下: 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

0

0 0

0 1 0 1 考点:计数原理的应用.

1

0

【方法点拨】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所 求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来,常常会达到 岀奇制胜的效果.

8.

【2014 四川,理 2】在 x(1 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数为(
6
3



A. 30

B. 20

C. 15

D. 10

【答案】C 【解析】 试题分析:x(1 ? x) ? x(1 ? 6 x ? 15x ? 20 x ? 15x ? 6x ? x ) , 所以含 x 项的系数为 15.
6 2 3 4 5 6
3

选C

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解,其中通项是核心,运算是保证;比较复杂 的问题要回到最本质的计数原理去解决,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及幂的 运算出现错误, 或者不能从最本质的计数原理出发解决问题, 盲目套用公式都是考试中常犯 的错误.

10.

【2014 四川,理 6】六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排

甲,则不同的排法共有( ) A. 192 种 【答案】B 【解析】 试题分析:最左端排甲,有 5! ? 120 种排法;最左端排乙,有 4 ? 4! ? 96 种排法,共有 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种

120 ? 96 ? 216 种排法.选 B.
【考点定位】排列组合. 【名师点睛】涉及排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题 与顺序有关,组合问题与顺序无关.“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取 出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.通常 用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

11.

【2015 高考四川,理 6】用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其 ) (C)96 个 (D)72 个

中比 40000 大的偶数共有( (A)144 个 【答案】B

(B)120 个

【考点定位】排列组合. 【名师点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏. 在本题中,万位与个位是两个特殊位置,应根据这两个位置的限制条件来进行分类.

12.【2015 高考新课标 1,理 10】 ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为(
(A)10 【答案】C (B)20 (C)30 (D)60

)

【解析】在 ( x2 ? x ? y)5 的 5 个因式中,2 个取因式中 x 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ,其余
2

2 1 2 因式取 y,故 x5 y 2 的系数为 C5 C3C2 =30,故选 C.

【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档题, 求多项展开式式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如何得到该 项,再利用排列组知识求解.

14. 【2014 年.浙江卷.理 5】在 (1 ? x)6 (1 ? y)4 的展开式中,记 x m y n 项的系数为 f (m, n) ,
则 f (3,0) ? f (2,1) ? f (1,2) ? f (0,3) ? A.45 答案:C 解析:由题意可得
3 2 1 1 2 3 故 f ?3,0? ? f ? 2,1? ? f ?1,2? f ? 0,3? ? C6 ? C6 C4 ? C6 C4 ? C4 ? 20 ? 60 ? 36 ? 4 ? 120 ,

( C.120 D. 210



B.60

选C 考点:二项式系数. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项 的系数,属于中档题.求二项展开式中的项的方法:求二项展开式的特定项问题,实质是考
k n-k k 查通项 Tk+1=Cn a b 的特点,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k

的取值范围(k=0,1,2,?,n).(1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项;(2)常数项: 即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程;(3)有理项:令通项中 “变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述 方法求解.

15.【2014 高考重庆理第 9 题】某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1
个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 【答案】B B.120 C.144 ) D.168

考点:1、分类加法计数原理;2、排列. 【名师点睛】本题考查了综合应用排列与组合知识解决实际的计数问题,属于中档题目,根 据条件将分类,然后用分类计数原获得结果.

16. 【2014 湖北卷 2】若二项式 (2 x ? a )7 的展开式中 13 的系数是 84,则实数 a ? (
x
x
A.2 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 C7 ? (2 x) ? ( )
r r



B.

5

4

C. 1

D.

2 4

a x

7?r

r ? C7 ? 2 r ? a 7 ? r ? x ?7 ? 2 r ,令 ? 7 ? 2r ? ?3 ,得 r ? 2 ,

所以 C7 ? 2 ? a
2 2

7 ?2

? 84 ,解得 a ? 1 ,故选 C.

考点:二项式定理的通项公式,容易题. 【名师点睛】本题考查了二项式定理的运用,其解题的关键是根据已知建立方程关系,属容 易题.充分体现了方程思想在数学解题中的应用,能较好的考查学生对教材中的基本概念、 基本规律和基本操作的识记能力和运算能力.

17.

【2015 高考湖北,理 3】已知 (1 ? x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, ) C. 210 D. 29

则奇数项的二项式系数和为( A. 212 【答案】D B. 211

【解析】因为 (1 ? x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,所以 Cn ? Cn ,解得
3 7

1 n ? 10 ,所以二项式 (1 ? x)10 中奇数项的二项式系数和为 ? 210 ? 2 9 . 2
【考点定位】二项式系数,二项式系数和. 【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数,各二项式系数和:
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等

0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? ?Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ?Cn ? ? ? ? ? 2n?1 .

18.【2014 辽宁理 6】 把椅子摆成一排, 3 人随机就座, 任何两人不相邻的做法种数为 (
A.144 【答案】C B.120 C.72 D.24



考点:排列组合. 【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看,基本 是排列与组合相结合,多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号,分析任何两人 都不相邻的情况,再安排人员就坐,现实背景熟悉,分析形象直观,易于理解. 本题是一道基础题, 考查排列组合基础知识, 同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题 的能力.
3 a ? ? 19. 【2015 湖南理 2】已知 ? x ? ? 的展开式中含 x 2 的项的系数为 30,则 a ?( x? ?

5



A. 3 【答案】D. 【解析】

B. ? 3

C.6

D-6

试题分析: Tr ?1 ? C5 (?1) a x 2 ,令 r ? 1 ,可得 ? 5a ? 30 ? a ? ?6 ,故选 D.
r r r

5

?r

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于容易题,只要掌握 (a ? b)n 的二项展
r n ?r r 开式的通项第 r ? 1 项为 Tr ?1 ? Cn a b ,即可建立关于 a 的方程,从而求解.

二、填空题 1.
【2016 年高考北京理数】在 (1 ? 2 x) 的展开式中, x 的系数为__________________.
6
2

(用数字作答) 【答案】60. 【解析】

试题分析:根据二项展开的通项公式 Tr ?1 ? C6 (?2) x 可知, x 的系数为 C6 (?2) ? 60 ,
r r r
2

2

2

故填: 60 . 考点:二项式定理. 【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项,是指展开式中的某一项,如第 n 项、常数项、有 理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时,先准确写出通项 Tr ?1 ? Cn a
r n ?r r

b ,再把系数与

字母分离出来(注意符号),根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等 式来求解即可;2、求有理项时要注意运用整除的性质,同时应注意结合 n 的范围分析.

2.

【2016 高考新课标 1 卷】 (2 x ? x )5 的展开式中,x3 的系数是

.(用数字填写

答案) 【答案】 10

考点:二项式定理

3.

2 8 【2016 高考天津理数】 ( x ? ) 的展开式中 x2 的系数为__________.(用数字作答)

1 x

【答案】 ?56 【解析】
r 2 8? r r r r 16 ?3 r 试题分析:展开式通项为 Tr ?1 ? C8 ( x ) (? ) ? (?1) C8 x ,令 16 ? 3r ? 7 , r ? 3 ,

1 x

3 所以 x7 的 (?1)3 C8 ? ?56 .故答案为 ?56 .

考点:二项式定理 【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和 通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n,r 均 为非负整数,且 n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项. 2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据 具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.

4. 【2016 高考山东理数】若(ax2+
【答案】-2 【解析】
r (ax 2 )5? r ( 试题分析:因为 Tr ?1 ? C5

1 5 ) 的展开式中 x5 的系数是—80, 则实数 a=_______. x

1 x

)r ? C5r a5? r x

5 10 ? r 2

,所以由 10 ? r ? 5 ? r ? 2 ,因此

5 2

2 5? 2 C5 a ? ?80 ? a ? ?2.

考点:二项式定理 【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型,二项展开式的通项公式,往往是考试的 重点.本题难度不大,易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.

5.

1 ? ? 2 【2015 高考天津,理 12】在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为 4x ? ?
15 16

6

.

【答案】

【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式 的通项,求出当 r ? 2 时的系数,即可求得结果,体现了数学中的方程思想与运算能力相结 合的问题.

6.

【2013 高考北京理第 12 题】将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每

人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是__________. 【答案】96 【解析】 试题分析:连号有 4 种情况,从 4 人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的
3 分法有 4× C1 4 A3 =96(种).

考点:排列组合. 名师点睛:本题考查排列、组合及计数原理有关问题,本题属于中等难度问题,高考每年都

会考查这个问题,题目或简或难,由于命题可以很灵活,可以考查简单的计数,也可以考查 具体的排列组合基本方法如:相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用 除法、 隔板法等, 本题为先选后排问题, 从 4 人中挑一人得到连号参观券, 其余可以全排列, 而得连号有四种可能情况发生, 解决这样的问题需要学生不但要有扎实的基本功, 还要有分 析问题和解决问题的能力.

7.

【2014 高考北京理第 13 题】把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻, 且 种.

产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有 【答案】36

考点:排列组合,容易题. 【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题,本题属于中等难度问题,高考每年 都会考查这个问题,题目或简或难,由于命题可以很灵活,可以考查简单的计数,也可以考 查具体的排列组合基本方法如:相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题 用除法、隔板法等,需要学生不但要有扎实的基本功,还要有分析问题和解决问题的能力.

8.

【2015 高考北京,理 9】在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x 3 的系数为
5

. (用数字作答)

【答案】40 【解析】 利用通项公式, Tr ?1 ?

C 5r 25?r ? x r ,令 r ? 3 ,得出 x 3 的系数为 C 53 ? 22 ? 40

【考点定位】本题考点为二项式定理,利用通项公式,求指定项的系数. 【名师点睛】本题考查二项式定理,利用通项公式求出指定项的系数,本题属于基础题,要 求正确使用通项公式Tr ?1 ?

C nr a n ?r b r ,准确计算指定项的系数.

9. 【2014 高考广东卷.理.11】从 0 .1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 中任取七个不同的数,则这七个
数的中位数是 6 的概率为 【答案】 .

1 . 6

【解析】上述十个数中比 6 小的数有 6 个,比 6 大的数有 3 个,要使得所选的七个数的中位 数为 6 ,则应该在比 6 大的数中选择 3 个,在比 6 大的数中也选择 3 个,因此所求事件的概

率为 P ?

3 3 C6 C3 1 ? . 7 C10 6

【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算,属于能力题. 【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型,属于中等题.解题时要抓住重要字眼 “中位数是 6 ” ,否则很容易出现错误.用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏,防 止出现错误.解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式,即

? ? ?? ?

?包含的基本事件的个数 . 基本事件的总数

10.

【2015 高考广东,理 9】在 ( x ? 1) 4 的展开式中, x 的系数为

.

【答案】 6 .

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力,属于容易题,解答此题关键在于熟
r n?r r * 记二项展开式的通项即展开式的第 r ?1 项为: Tr ?1 ? Cn a b n ? N 且n ? 2, r ? N .

?

?

11.

【2015 高考广东,理 12】某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条 条毕业留言. (用数字作答)

毕业留言,那么全班共写了 【答案】 1560 .

【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以全
2 班共写了 A40 ? 40 ? 39 ? 1560 条毕业留言,故应填入1560 .

【考点定位】排列问题. 【名师点睛】本题主要考查排列问题,属于中档题,解答此题关键在于认清 40 人两两彼此 给对方仅写一条毕业留言是个排列问题.

12.【2014 山东.理 14】
值 .

3 2 2 若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a ? b 的最小
2 6

b x

【答案】 2

【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式、基本不等式.从近几年高考对二项式定理 的考查看,基本是以通项公式为解题的突破口,本题对有理指数幂的运算要求较高,容易出 现计算不准而使解答陷入误区. 本题是一道小综合题,重点考查二项式定理及其通项公式、基本不等式等基础知识,同时考 查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.

13.【2014 新课标,理 13】 ? x ? a ?10 的展开式中, x7 的系数为 15,则 a=________.(用数
字填写答案) 【答案】

1 2

r 10?r r 3 7 3 【解析】因为 Tr ?1 ? C10 x a ,所以令 10 ? r ? 7 ,解得 r ? 3 ,所以 T4 ? C10 x a =15 x7 ,

解得 a ?

1 . 2

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式,属于基础题,利用通项公式写出特定 项的系数,是二项式题目的最常见题目.

14.【2015 高考新课标 2,理 15】 (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为
32,则 a ? __________. 【答案】 3 【解析】 由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x , 故 (a ?x) ( 1 ?x )
4 2 3 4 4

的展开式中 x 的奇数

3 3 5 次幂项分别为 4ax ,4ax ,x ,6 x ,x , 其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 , 解得 a ? 3 .

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题考查二项式定理,准确写出二项展开式,能正确求出奇数次幂项以及相应 的系数和,从而列方程求参数值,属于中档题.

15. 【2015 高考四川,理 11】在 (2 x ?1)5 的展开式中,含 x2 的项的系数是
字作答). 【答案】 ?40 . 【解析】

(用数

(2x ?1)5 ? ?(1 ? 2 x)5 ,所以 x2 的系数为 ?C52 ? (?2)2 ? ?40 .
【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】涉及二项式定理的题,一般利用其通项公式求解.

16.

2? ? 【2016 高考上海理数】在 ? 3 x ? ? 的二项式中,所有项的二项式系数之和为 256, x? ?

n

则常数项等于_________. 【答案】 112 【解析】 试题分析:
n 因为二项式所有项的二项系数之和为 2 ,所以 2 ? 256 ,所以 n ? 8 ,

n

二项式展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 ( 3 x )
r

8? r

8 4 ? r 8 4 2 r 3 3 (? )r ? (?2)r C8 x ,令 ? r ? 0 ,得 r ? 2 , 3 3 x

所以 T3 ? 112 . 考点:1.二项式定理;2.二项展开式的系数. 【名师点睛】根据二项式展开式的通项,确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项,是 二项式定理问题中的基本问题, 往往要综合运用二项展开式的系数的性质、 二项式展开式的 通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.

17. 【2014 课标Ⅰ,理 13】 ? x ? y ?? x ? y ?8 的展开式中 x2 y 7 的系数为________.(用数字
填写答案) 【答案】 ?20

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查考生的记忆能力和计算能力.

18.

【2014 年.浙江卷.理 14】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将

这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有_____种(用数字作答).

答案: 60
2 2 解析:不同的获奖分两种,一是有一人获两张将卷,一人获一张,共有 C3 A4 ? 36 ,二是有 3 三人各获得一张,共有 A4 ? 24 ,因此不同的获奖情况有 60 种

考点:排列组合. 【名师点睛】本题考查排列、组合的应用,关键在于明确事件之间的关系,同时要掌握分类 讨论的处理方法; 解决排列问题的主要方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题, 既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是 从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置.(2)解决相邻问题的方法是“捆 绑法”,即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列,同时要注意捆绑元素的内部排 列.(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相 邻的元素插在前面元素排列的空当中.(4)对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后, 再除以定序元素的全排列.(5)若某些问题从正面考虑比较复杂,可从其反面入手,即采用 “间接法”.两类组合问题的解法(1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素 取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选 取.(2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关 键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时, 考虑逆向思维,用间接法处理.

1 ? ? 8 19. 【2015 高考重庆,理 12】? x3 ? ? 的展开式中 x 的系数是________(用数字作答). 2 x? ?
【答案】

5

5 2
k 3 5? k

【解析】二项展开式通项为 Tk ?1 ? C5 ( x )
2 2 8 得 k ? 2 ,因此 x 的系数为 ( ) C5 ?

(

7k 15? 7k 1 ? 8 ,解 )k ? ( )k C5k x 2 ,令 15 ? 2 2 2 x

1

1 2

5 . 2

【考点定位】二项式定理 【名师点晴】 (a ? b) 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念,前者只是指
n

k ,它仅是与二项式的幂的指数 n 及项数有关的组合数,而与 a,b 的值无关;而后者是 Cn

指该项除字母外的部分,即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关,而且也与 a,b 的系 数有关.在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.

20.

【 2014 , 安 徽 理 13 】 设 a ? 0, n 是 大 于 1 的 自 然 数 , ?1 ?

? ?

x? ? 的展开式为 a?

n

a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n .若点 Ai (i, ai )(i ? 0,1,2) 的位置如图所示,则 a ? ______ .

【答案】 3

考点:1.二项展开式的应用. 【名师点睛】二项式常规问题直接利用二项式定理求解,其中通项是核心,运算是保证;比 较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉 及幂的运算出现错误, 或者不能从最本质的计数原理出发解决问题, 盲目套用公式都是考试 中常犯的错误.本题要结合图形给定的条件与二项式展开中各项的表示.

21.【2015
案) 【答案】 35

3 高考安徽,理 11】 ( x ?

1 7 ) 的展开式中 x 5 的系数是 x

.(用数字填写答

3 【 解 析 】 由 题 意 , 二 项 式 (x ?

1 7 1 ) 展 开 的 通 项 Tr ?1 ? C7r ( x 3 )7 ? r ( ) r ? C7r x 21? 4 r , 令 x x

5 4 2 1? 4 r? 5 ,得 r ? 4 ,则 x 的系数是 C7 ? 35 .

【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.

【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解,其中通项是核心,运算是保证;比较复杂 的问题要回到最本质的计数原理去解决,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及幂的 运算出现错误, 或者不能从最本质的计数原理出发解决问题, 盲目套用公式都是考试中常犯 的错误.

22.【2015 高考福建,理 11】 ? x ? 2 ?5
数字作答) 【答案】 80 【解析】 ? x ? 2 ?
5

的展开式中, x 的系数等于

2

. (用

2 3 2 的展开式中 x 项为 C5 2 x ? 80 ,所以 x 的系数等于 80 .
2 2

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】 本题考查二项式定理的特定项问题, 往往是根据二项展开式的通项和所求项的 联系解题,属于基础题,注意运算的准确度. 23.【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 10 分)
4 (1)求 7C3 6 –4C7 的值;

(2)设 m,n ? N*,n≥m,求证:
m m m m m +2 (m+1) Cm m +(m+2) Cm +1 +(m+3) Cm +2 +?+n Cn –1 +(n+1) Cn =(m+1) Cn +2

.

【答案】 (1)0(2)详见解析

3 4 试题解析:解: (1) 7C6 ? 4C7 ? 7?

6? 5? 4 7 ? 6?5? 4 ? 4? ? 0. 3 ? 2 ?1 4 ? 3 ? 2 ?1

(2)当 n ? m 时,结论显然成立,当 n ? m 时

(k ? 1)Ckm ?

(k ? 1) ? k ! (k ? 1)! 1 ? (m ? 1) ? (m ? 1)Ckm?? 1 , k ? m ? 1, m ? 2,?, n. m!(k ? m)! (m ? 1)![(k ? 1) ? (m ? 1)]!

1 m? 2 m? 2 又因为 Ckm?? 1 ? Ck ?1 ? Ck ? 2 ,

2 所以 (k ? 1)Ckm ? (m ? 1)(Ckm??22 ? Ckm?? , ?,n. 1 ),k ? m? 1,m+2

m m m m (m ? 1)Cm ? (m ? 2)Cm ?1 ? ( m ? 3)Cm ? 2 ? ? (n ? 1)Cn

因此

m m m m ? (m ? 1)Cm ? [(m ? 2)Cm ?1 ? ( m ? 3)Cm ? 2 ? ? (n ? 1)Cn ] m?2 m?2 m?2 m?2 m?2 m?2 m?2 ? (m ? 1)Cm ? 2 ? ( m ? 1)[(Cm ? 3 ? Cm ? 2 ) ? (Cm ? 4 ? Cm ? 3 ) ? ? (Cn ? 2 ? Cn ?1 )] m?2 ? (m ? 1)Cn ?2

考点:组合数及其性质 【名师点睛】 本题从性质上考查组合数性质, 从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有 关命题,从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型 . 组合数性质不仅有课本上介绍的
1 Ckm ? Ckm?1 ? Ckm?? 1



Ckm =Ckk ? m







k k ?1 kCn ? nCn ?1











1 (k ? 1)Ckm ? (m? 1)Ckm?? 1 ,(k ? m, m ? 1,?, n) ,这些性质不需记忆,但需会推导,更需会应用.


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