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2013高考-平面向量的应用(题型分类)+参考答案(详解)

平面向量的应用
【高考考点】 1. 考察向量平行、垂直、数量积、长度(模) 、夹角、线性表示、参量等题型 2. 考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 3. 考查利用向量方法解决三角函数、函数等综合题型 【复习指导】 复习中重点把握好向量平行、 垂直的条件及其数量积的运算, 重视平面向量体现出的数形结 合的思想方法, 体验向量在解题过程中的工具性特点. 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的 直观与形象,向量本身是一个数形结合的产物,在利用向量解决问题时,要注意数与形的结 合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.要注意变换思维方式,能从不同角度 看问题,要善于应用向量的有关性质解题.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何 之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. 【知识梳理】 (1)平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e 2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底 (主要应用于线性表示)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(2)非零向量 a ? ( x, y ) 的单位向量为 ?

a 或 ? a

1 x2 ? y2

( x, y ) 。

(3)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理: a∥b ? a=λb(b≠0) ? x1y2-x2y1=0. (4) 证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b ? a· b=0 ? x1x2+y1y2=0.

(5)向量数量积: a ? b ? a ? b ? cos? = x1 x2 ? y1 y2 (6)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2+y2 2 2 【基础题型】 一、求参量 1. [2011·北京卷] 已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共 线,则 k=________. 2. [2011·广东卷] 已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ 为实数,(a+λ b)∥c, 则λ =_______ 3. [2011·辽宁卷] 已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则 k=________
-1-

4. [2011·课标全国卷] 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向 量 ka-b 垂直,则 k=________. 2π 5. [2011· 江苏卷] 已知 e1, 2 是夹角为 的两个单位向量, =e1-2e2, =ke1+e2, 若 a· e a b b 3 =0,则实数 k 的值为________. 6. 【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =________ 二、求长度(模) 1 7. [2011·全国卷] 设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a·b=- ,则|a+2b|=___________ 2 8. [2011·重庆卷] 已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则|2e1-e2|=________. 9. [2011· 淄博二模] 设平面向量 a=(1,2), =(-2, ), a∥b, b y 若 则|3a+b|等于_________ 10. 【 2012 高 考 重 庆 文 6 】 设 x ? R , 向 量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b

?

?

?

?

,则

? ? | a ? b |? ______
11. 【2012 高考新课标文 15】已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则

? ?

?

? ?

? b ? _____
12. 【2012 高考安徽文 11】 设向量 a ? (1,2m) ,b ? (m ? 1,1) ,c ? (2, m) , (a ? c) ? b , 若 则 | a |? ______ 13. 【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=(x,y) ,b=(2,-1) 。若 =_______ 三、求坐标,夹角及数量积: 14. [2011·湖南卷] 设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 15. [2011·安徽卷] 已知向量 a,b 满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a |=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为________. 16. [2011·福建卷] 若向量 a=(1,1),b=(-1,2),则 a·b 等于________. 17. [2011·广东卷] 若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=__________. 18. [2011· 湖北卷] 若向量 a=(1,2),=(1, b -1), 2a+b 与 a-b 的夹角等于__________ 则 19. [2011· 江西卷] 已知|a|=|b|=2, a+2b)· a-b)=-2, a 与 b 的夹角为________. ( ( 则 π 20. [2011·江西卷] 已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+ 3 4e2,则 b1·b2=________. 21. [2011·重庆卷] 已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a·b 的值 为_____ π 22. [2011·合肥一模] 若 e1,e2 是夹角为 的单位向量,且 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2, 3 则 a·b=___________ ,则

-2-

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 (a ? 2b) (a ? b) 23. (江西理 11)已知 , · =-2,则 a 与 b 的夹角为__________ ??? ???? ? 24. 【2012 高考浙江文 15】 在△ABC 中, 是 BC 的中点, M AM=3, BC=10, AB ? AC =________. 则
25. 【2012 高考江苏 9】如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, BC

??? ???? ? ??? ??? ? ? 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ .
26.【2102 高考北.京文 13】 已知正方形 ABCD 的边长为 1, E 是 AB 边上的动点, DE ? CB 点 则 的值为________, DE ? DC 的最大值为______。 四、其他题型: → → → → → 27. 平面上有四个互异点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC 的形状 是______. → ? → → ? → AB AC ? → AB AC 1 → → + 28. 在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? ·BC=0 且 · = ,则△ABC 为 ?|→| |→|? → → 2 AC ? |AB| |AC| ? AB 29. 已知△ABC,则“ AB ? AC ? 0 ”是“△ABC 为钝角三角形”的________(条件) 【综合题型】 五、平面向量在三角函数中的应用

??? ???? ? ??? ??? ? ? 30. 【2012 高考江苏 15】在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

31. 已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈? ,

?π 3π? ?. ?2 2 ?

→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α+sin 2α → BC → (2)若AC· =-1,求 的值. 1+tan α 32.(江西 18) .已知向量 x x ? x ? x ? a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4
-32

是否存在实数 x ? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0(其中f ?( x)是f ( x)的导函数) ? 若存在, 则 求出 x 的值;若不存在,则证明之.

33. 已知向量 a ? {2 cos x,1}, b ? {cos x, 3 sin 2 x}, x ? R .设 f ( x) ? a ? b .
(1)若 f ( x) ? 1 ? 3 且 x ? [?

? ?

, ] ,求 x 的值; 3 3

(2)若函数 y ? 2 sin 2 x 的图像按向量 c ? {m, n}(| m |? 像,求实数 m, n 的值.

?
2

) 平移后得到函数 y ? f (x) 的图

34. 已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2).

(1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值.
35. 已知向量 m ? (cos ? ,sin ? ) 和 n ?

??

?

?

?? ? 8 2 2 ? sin ? ,cos ? ,? ? ?? , 2? ? ,且 m ? n ? , 5

?

求 cos ?

?? ? ? ? ? 的值. ?2 8?

36. (2009 上海卷文) (本题满分 14 分) 已知Δ ABC 的角 A、 C 所对的边分别是 a、 c, B、 b、 设向量 m ? (a, b) , ? (sin B,sin A) , n

??

?

? ? p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 37. 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角 A .

?? ?

??

? ?

? ,求Δ ABC 的面积 . 3
B ? ? ? ? 1? ,且 m / / n ? 2 ?

B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量
2

? m ? 2 s iB ? , n

?

? 3 ? ? , n ? ? cos 2B, 2 cos ?

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值? 38. 已知 ?ABC 的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量

m ? (1 ? cos(A ? B), cos

A? B 5 A? B 9 ) ,且 m ? n ? . ) , n ? ( , cos 8 8 2 2 (Ⅰ)求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ)求 2 的最大值. a ? b2 ? c2

-4-

39. 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且 =1+tanA· B. tan 2 (1)若 a -ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小;

(tanA-tanB)

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围. 40.(10 江苏高考 15) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值

?

?

?

?

4sin ?) 41. (09 江苏高考 15) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ?), b ? (sin ?, 4cos ?), c ?(cos ?, ?
(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值;

?

?

?

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?

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w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

? ? (2)求 | b ? c | 的最大值;
(3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 六、平面向量在函数中的应用: 42. (湖北理 17) .已知向量 a ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数f ( x) ? a ? b 在区间
2

?

?

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

(-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围.

43. 已知平面向量 a=( 3 ,-1),b=(
2

1 3 , ). 2 2

(1) 若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t -3)b, y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数的关系式 k=f(t); (2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间。

? ? 3 1 44. 已知平面向量 a =( 3 ,-1), b =( , ),若存在不为零的实数 k 和角α ,使
2
2

? ? ? ? ? ? ? ? 向量 c = a +(sinα -3) b , d =-k a +(sinα ) b ,且 c ⊥ d ,试求实数 k 的取值范
围。 七、平面向量在解析几何中的应用:

x2 y 2 45.(2009 浙江理)过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该 a b
直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C . A ? B 若 B C

?? ? 1 ? 2

, 则双曲线的离心率是_____

-5-

46. 已知双曲线 x ?
2

????? ????? y2 ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 2

到 x 轴的距离为_____________ 47. 已 知 两 点 M ( - 2 , 0 ) N ( 2 , 0 ) 点 P 为 坐 标 平 面 内 的 动 点 , 满 足 、 ,

MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则动点 P(x,y)的轨迹方程为__________
48. 已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足 PA ? PB ? x ,则点 P 的轨迹是__________
2

49. (2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线 2
???? ?

段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =______________

??? ?

??? ?

51. (2009 年上海卷理)已知 F1 、F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点,P a2 b2

为椭圆 C 上一点,且 PF1 ? PF2 .若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 52. 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量, a = ( x ? 3 )i ? yj , b = ( x ? 3 )i ? yj , 设

? ?

?

?

?

?

?

?

? ? 且满足| a |+| b |=4.

(1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. ? (2)如果过点 Q(0, m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 L 与点 P 的轨迹交于 A, B 两点,当 ? AOB 的面积取到最大值时,求 m 的值。

53. 已知点 A( ? 2 2 ,0),B( ? 2 ,0)动点 P 满足 AP ? AB ? (1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1,求曲线 C1 的方程. (2)已知曲线 C1 交 y 轴正半轴于点 Q,过点 D(0, ?

2 | AB | ? | BP |

2 )作斜率为 k 的直线交曲线 3

C1 于 M、N 点,求证:无论 k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点 Q.

-6-

54.

a ? ( x, y ? 2), b ? ( x, y ? 2), a ? b ? 8,
(Ⅰ)求 M( x, y )的轨迹 C; (Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线交于 A,B 两点, OP ? OA ? OB ,是否存在直线 l 使

OAPB 为矩形.

55. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 M (1, ?3) , N (5,1) ,若点 C 满足

???? ???? ? ???? OC ? t OM ? (1 ? t) ON( t? R,点 C 的轨迹与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点; )
(1)求点 C 的轨迹方程; (2)求证: OA ? OB ; (3)在 x 轴正半轴上是否存在一定点 P(m, 0) ,使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的 长度是原点到该弦中点距离的 2 倍,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ?

56. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3 ,0) 。

(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且
OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

y
P M

F1
1

o

F2

x

-7-

参考答案 1). 3 2).

1 2

3). 12 4). 1 5).

5 4

6). 1 7).

3

8).

3

9). 5 5

10).

10

11). 3 2
0

12).

2
0

13).

3 5 5

14). (-4,-2) 15). 60 21). 4 22). ?

0

16). 1

17). 0 18). 45

19). 60

20). -4

7 2

23). 60

0

26). 1,1 27). 等腰三角形 28). 等边三角形 29). 充分不必要条件 ??? ???? ? ??? ??? ? ? 30. (2012 年江苏省 14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . 24). 34 25).

2

(1)求证: tan B ? 3tan A ;

5 ,求 A 的值. 5 ??? ???? ? ??? ??? ? ? 【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3 BA? BC , ∴ AB?AC ? A=3BA?BC?cos B , 即 cos
(2)若 cos C ?

AC ?cos A=3BC?cos B 。

AC BC = ,∴ sin B ?cos A=3sin A? B 。 cos sin B sin A sin B sin A =3? 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 2 5 5 (2)∵ cos C ? , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 ? 5 ? = 5 。∴ tan C ? 2 。 ? 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 4 tan A 1 ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? 。 tan 由 (1) ,得 2 1 ? 3tan A 3
∴ tan ?? ? ? A ? B ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ? ? ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A= 31. 解

? 。 4

→ → (1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3),

→ ∴AC2=(cos a-3)2+sin2α=10-6cos α, → BC2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, → → → → 由|AC|=|BC|,可得AC2=BC2,即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α. 5π ?π 3π? 又∵α∈?2, 2 ?,∴α= 4 . ? ? → BC → (2)由AC· =-1, 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,
-8-

2 ∴sin α+cos α= .① 3 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α. sin α 1+tan α 1+ cos α 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= , 9
2 5 2sin α+sin 2α 5 ∴2sin αcos α=- .∴ =- . 9 9 1+tan α

32. 解: f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos sin( ?

x 2

x 2

?

x ? x ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 4 2 4 2 4

x 2 x 2 x ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2

1 ? tan

? sin x ? cos x.

x x tan ? 1 x x x 2? 2 ? 2 sin cos ? 2 cos2 ? 1 x x 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2

令f ( x) ? f ?( x) ? 0, 即 : f ( x) ? f ?( x) ? sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 2 cos x ? 0

可得x ?

?
2

, 所以存在实数x ?

?
2

? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0.

33. [解析] (1)依题设,f(x)=(2cosx,1) ·(cosx, 3 sin2x)

=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ 由 1+2sin(2x+ ∵-
3 ? ? )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=- . 2 6 6

? ) 6

? ? ? ? 5? ≤x≤ , ∴- ≤2x+ ≤ , 6 3 3 2 6 ? ? ? ∴2x+ =- , 即 x=- . 6 3 4 (2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n)平移后得到函数 y=2sin2(x
-m)+n 的图象,即函数 y=f(x)的图象.

? ? , ∴m=- ,n=1. 12 2 12 34. 解 (1)因为 a∥b,所以 2sin θ=cos θ-2sin θ,
由(1)得 f (x)= 2 sin 2( x ?
) ?1

?

∵m<

1 于是 4sin θ=cos θ,故 tan θ=4. (2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以 1-2sin 2θ+4sin2θ=5.
-9-

从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4, π? 2 ? 即 sin 2θ+cos 2θ=-1,于是 sin?2θ+4?=- 2 . ? ? π π 9π 又由 0<θ<π 知,4<2θ+4< 4 , π 5π π 7π π 3π 所以 2θ+4= 4 或 2θ+4= 4 .因此 θ=2或 θ= 4 .
35. 解: m ? n ? cos ? ? sin ? ? 2,cos ? ? sin ?

?? ?

?

?

?? ? m?n ?

? cos? ? sin? ? 2 ?

2

? (cos? ? sin ? )2 =

?? ?? ? ? 4 ? 2 2(cos ? ? sin ? ) = 4 ? 4cos ? ? ? ? = 2 1 ? cos ? ? ? ? 4? 4? ? ?
由已知 m ? n ?

?? ?

8 2 ?? 7 ?? ? ? ? ? , ,得 cos ? ? ? ? ? 又 cos ? ? ? ? ? 2cos 2 ( ? ) ? 1 5 4 ? 25 4? 2 8 ? ?

? ? 16 ? cos 2 ( ? ) ? 2 8 25
?? ? ? ? cos ? ? ? ? 0 ?2 8?
u v v

? ? ? ?? , 2? ?

?

5? ? ? 9? ? ? ? 8 2 8 8

4 ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 5 ?2 8?

36. 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

a b ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b ? b? 2R 2R ??ABC 为等腰三角形 u u v v 解(2)由题意可知 m // p ? 0, 即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0

? ab ? 4(舍去ab ? ?1)

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3 ? ? B 37. 【解析】:(1) m / / n ? 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B 2
?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵0<2B<π,∴2B= ,∴锐角 B= 3 3
- 10 -

π 5π (2)由 tan2B=- 3 ? B= 或 3 6 π ①当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵△ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

∴△ABC 的面积最大值为 3 5π ②当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) ∵△ABC 的面积 S△ ABC= 1 1 acsinB= ac≤ 2- 3 2 4

∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 38. 【解析】 (Ⅰ)由 m ? n ?

9 5 9 2 A? B ,得 [1 ? cos(A ? B)] ? cos ? 8 8 2 8 5 1 ? cos(A ? B) 9 即 [1 ? cos(A ? B)] ? ? 8 2 8 也即 4 cos(A ? B) ? 5 cos(A ? B)
∴ 4 cos A cos B ? 4 sin A sin B ? 5 cos A cos B ? 5 sin A sin B ∴ tan A tan B ?

∴ 9 sin A sin B ? cos A cos B (2)

1 9

ab sin C ab sin C 1 1 ? ? ? tan C ? tan[? ? ( A ? B)] 2 2 a ?b ?c 2ab cosC 2 2 1 1 tan A ? tan B ? ? ? tan(A ? B) ? ? ? 2 2 1 ? tan A ? tan B
2

? tan A ? tan B ? 2 tan A ? tan B

1 2? 1 tan A ? tan B 1 2 tan A ? tan B 1 3 ??3 ?? ? ?? ? ?? ? 2 1 ? tan A ? tan B 2 1 ? tan A ? tan B 2 1? 1 8 9
39.

- 11 -

40

41.

- 12 -

42. 解法 1:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,
2 3 2

则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t.

若f ( x)在(?1,1)上是增函数, 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.
? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2 x, 在区间(?1,1)上恒成立, 考虑函数g ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 1 由于g ( x)的图象是对称轴为x ? , 3
开 口 向 上 的 抛 物 线 , 故 要 使 t ? 3x ? 2 x 在 区 间 ( - 1 , 1 ) 上 恒 成 立
2

? t ? g (?1), 即t ? 5.
而当t ? 5时, f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数.
故t的取值范围是t ? 5 .
解法 2:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,
2 3 2

f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数, 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.

? f ?(x) 的图象是开口向下的抛物线,

?当且仅当f ?(1) ? t ? 1 ? 0, 且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时
f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t ? 5.
t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 43. [解析](1)法一:由题意知 x=( , ), 2 2
y=(

3 1 t- 3 k, t+k),又 x⊥y 2 2 3 t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 1 ×( t- 3 k)+ ×( t+k)=0。 2 2 2 2

故 x · y=
3

整理得:t -3t-4k=0,即 k=

1 3 3 t - t. 4 4

法二:∵a=( 3 ,-1),b=(

1 3 , ), ∴. a =2, b =1 且 a⊥b 2 2

- 13 -

∵x⊥y, ∴x · y=0, 即-k a +t(t -3) b =0, ∴t -3t-4k=0,即 k= (2) 由(1)知:k=f(t) =

2

2

2

3

1 3 3 t- t 4 4

1 3 3 3 3 3 t - t ∴kˊ=fˊ(t) = t - , 4 4 4 4

令 kˊ<0 得-1<t<1;令 kˊ>0 得 t<-1 或 t>1. 44. [解析] 仿例 3(1)解法(二)可得

k=

1 3 9 ( sinα - )2- ,而-1≤sinα ≤1, 4 2 16

∴当 sinα =-1 时,k 取最大值 1; 又∵k≠0

sinα =1 时,k 取最小值-

1 . 2

1 ∴k 的取值范围为 [? , 0) ? (0,1] . 2
47. y 2 ? ?8 x 48. .抛物线 49.

45.

5

46.

2 3 3

2
?

51. 3

52. 解:(1)? a = ( x ? 3 )i ? yj , | b |= ( x ? 3 )i ? yj ,且| a |+| b |=4.

?

?

?

?

?

?

?

? 点 P(x,y)到点( 3 ,0),(- 3 ,0)的距离这和为 4,故点 P 的轨迹方
程为 x ? y 2 ? 1 4 (2)设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 )依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程,得
4 5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,则 x1 + x 2 =- 8 m, x1 ? x 2 = 5 (m 2 ? 1) 5

2

因此, S ?AOB ?

1 2

AB d ?

2 5

(5 ? m 2 )m 2
10 2

当 5 ? m 2 ? m 2 时,即 m= ?

时, S max ? 1
AB ? ( 2 ,0) BP ? ( x ? 2 , y )

53. 解: (1)设 P(x,y),则有 AP ? ( x ? 2 2 , y ) ∵ AP ? AB ?
2 2

2 ? | AB | ? | BP |

∴ 2x ? 4 ?

2 ? 2 ? (x ? 2)2 ? y 2

得: x ? 2 y ? 4

(2)由

x2 y2 ? ?1 4 2

得 Q (0, 2 ) 设直线 C 的方程为 y=kx-

2 3

代入 x2+2y2=4 得 (1+2k2) x2 ?

4 2 32 kx ? ?0 3 9

设 M(x1,y1) N(x2,y2)

QM ? ( x1 , y1 ? 2 ), QN ? ( x 2 , y 2 ? 2 )

- 14 -

∵ x1 ? x 2 ?

4 2k 3(1?)k 2

x1 ? x 2 ? ?

32 9(1 ? 2k 2 )

又∵ QM ? QN ? x1 x 2 ? (kx1 ?

4 2 4 2 ) (k x2 ? ) 3 3

32 (1 ? k 2 ) 4 2 32 4 2 4 2k 32 = x1 x 2 (1 ? k 2 ) ? k ( x1 ? x 2 ) ? ?? 9 ? k? ? ?0 2 2 3 9 3 1 ? 2k 3(1 ? 2k ) 9
∴点 Q 在以 MN 为直径的圆上. ? ? 54. 解: (Ⅰ) a ? b ? 8 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 设 F1 (0, ?2), F2 (0, 2) ,则 MF1 ? MF2 ? 8 因此,点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,长轴长为 8 的椭圆,其方程为 (Ⅱ)假设存在这样的直线,使得 OAPB 为矩形,并设 l : y ? kx ? 3 与椭圆方程联立得: (3k 2 ? 4) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 (*) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1、x2 是(*)的两根, 且 x1 ? x2 ? ?
18k 21 , x1 x2 ? ? 2 2 3k ? 4 3k ? 4
A
l

∴ QM ? QN

x2 y 2 ? ?1 12 16

P

y

B

因为 OAPB 为矩形,故 OA ? OB 则 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? ?kx1 ? 3??kx2 ? 3? ? 0

O

x

?k

2

? 1 x1 x2 ? 3k ?x1 ? x2 ? ? 9 ? 0

?

21 k 2 ? 1 3 ? 18k 2 ? 2 ?9 ? 0 由此可得: ? 3k 2 ? 4 3k ? 4
解得: k 2 ?
5 16 ?k ? ? 5 4 5 时,可使 OAPB 为矩形. 4

?

?

因此,当直线的斜率为 ?

55. 解: (1)设 C ( x, y ) ,由 OC ? tOM ? (1 ? t )ON 知,点 C 的轨迹为 y ? x ? 4 . (2)由 ?

????

???? ?

????

?y ? x ? 4 2 消 y 得: x ? 12 x ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? 16 , x1 ? x2 ? 12 , 所以 y1 y2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ?16 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,于是 OA ? OB (3)假设存在过点 P 的弦 EF 符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方
- 15 -

??? ?

??? ?

程为 x ? ky ? m ,由 ?

? x ? ky ? m 2 消 x 得: y ? 4ky ? 4m ? 0 ,设 E ( x3 , y3 ) , F ( x4 , y4 ) , 2 ? y ? 4x

则 y3 ? y4 ? 4k , y3 y4 ? ?4m . 因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的 2 倍,所以 OE ? OF 即

??? ?

??? ?

y32 y4 2 x3 x4 ? y3 y4 ? 0 ,所以 ? y3 y4 ? 0 得 m ? 4 ,所以存在 m ? 4 . 16
56. 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 由已知得 a ?

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0).

3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

?1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?
即k2 ?

1 且k 2 ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3
??? ??? ? ? 6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

x A ? xB ?

而 xA xB ? y A yB ? x A xB ? (kx A ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1


于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3
1 ? k 2 ? 1. 3
3 3 ) ? ( ,1). 3 3

由①、②得

故 k 的取值范围为 (?1, ?

- 16 -


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