当前位置:首页 >> 数学 >> 高三数学中档题训练1-5

高三数学中档题训练1-5


高三数学中档题训练 1
班级
2

姓名

1.集合 A={1,3,a} ,B={1,a } ,问是否存在这样的实数 a,使得 B ? A, 且 A∩B={1,a}?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,说明理由.

2、 ?ABC 中,a 、 、c 分别是三内角 A、 C 的对应的三边, 在 B、 已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc 。 b (Ⅰ)求角 A 的大小: (Ⅱ)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状。 2 2

1

3. 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 的点的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程.

3 3 .已知点 P (0, ) 到这个椭圆上 2 2

4.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 为等比数列,且

a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .
(1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4

2

高三数学中档题训练 2
班级
1.已知函数 f ? x ? ? 义域为集合 B.

姓名

6 ? 1 的定义域为集合 A,函数 g ?x ? ? lg ?? x 2 ? 2 x ? m? 的定 x ?1

⑴当 m=3 时,求 A ? ?C R B ? ;

⑵若 A ? B ? x ? 1 ? x ? 4 ,求实数 m 的值.

?

?

2、设向量 m ? (cos? , sin? ), n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos ? ) , ? ? (? ? ,?? ) ,若

??

?

?? ? ? m ? n ? 1 ,求: (1) sin(? ? ) 的值; 4

3 2

(2) cos( ? ?

7 ? ) 的值. 12

3

3.在几何体 ABCDE 中,∠BAC= 点,AB=AC=BE=2,CD=1

? ,DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC,F 是 BC 的中 2
E D F C A B

(Ⅰ)求证:DC∥平面 ABE; (Ⅱ)求证:AF⊥平面 BCDE; (Ⅲ)求证:平面 AFD⊥平面 AFE.

4. 已知Δ OFQ 的面积为 2 6 ,且 OF ? FQ ? m . (1)设 6 <m<4 6 ,求向量 OF与FQ 的夹角θ 正切值的取值范围; (2)设以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q(如图), OF ? c ,m=( 当 OQ 取得最小值时,求此双曲线的方程.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

????

6 4

-1)c ,

2

????

4

高三数学中档题训练 3
班级 姓名
3π , ) 2π , 2

1. 已知向量 a=(3sinα ,cosα ) ,b=(2sinα , 5sinα -4cosα ),α ∈( 且 a⊥b. (1)求 tanα 的值; (2)求 cos(

?
2

?

π )的值. 3

2、某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的 同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s) ,匀速通过该隧道,设车队的 速度为 xm/s,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距 离;当 10 ? x ? 20 时,相邻两车之间保持 ( x2 ?

1 6

1 x) m 的距离。自第 1 辆车车头进 3

入隧道至第 55 辆车尾离开隧道所用的时间为 y (s ) 。 (1)将 y 表示为 x 的函数。 (2)求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。

?

3 ? 1.73

?

5

3. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n = 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (III)设 cn=n(3-bn),求数列{cn}的前 n 项和 Tn

4.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2k ln x . (1)当 k=2 时,求函数 f(x)的增区间; (2)当 k<0 时,求函数 g(x)= f ?( x) 在区间(0,2]上的最小值.

6

高三数学中档题训练 4
班级 姓名
1. 已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数f ( x) ? m ? n. (1)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间。 (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

2.如图,在△ABF 中,∠AFB=1500, S ? AFB ? 2- 3 ,一个椭圆以 F 为焦点,以 A、B 分别作为长、短轴的一个端点,以原点 O 作为中心,求该椭圆的方程. y B

x O F A

7

3、 (1)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) . (Ⅰ)若 f (1) ? 3 ,求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
'

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?0,2?上的最大值.

4、已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且
2

只有一个元素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。设数 列 {a n } 的前 n 项和 S n ? f (n) 。 (1)求 f (x) 表达式; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)设 bn ? ( 3 )
an ? 5

6b 2 n ? bn ?1 ? bn , cn ? , {c n } 前 n 项和为 Tn , Tn ? n ? m对 bn bn ?1

( n ? N *, n ? 2) 恒成立,求 m 范围

8

高三数学中档题训练 5
班级
1.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

姓名

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2
3 2

(1)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 , F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦 点坐标; (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点, Q (0, ) ,求 PQ 的最大值;

1 2

2、设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b( x ? R) ,其中 a,b?R .
4 3 2

(Ⅰ)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;

2 , (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立,求 b 的取值范围

9

3.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45? 且 与点 A 相距 40 2 海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? + ? (其 中 sin ? =

26 , 0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

4、已知分别以 d 1 和 d 2 为公差的等差数列 {a n } 和 {bn } 满足 a1 ? 18 , b14 ? 36 .
(1)若 d 1 =18,且存在正整数 m ,使得 a m ? bm?14 ? 45 ,求证: d 2 ? 108 ;
2

(2)若 a k ? bk ? 0 ,且数列 a1 , a 2 ,?, a k , bk ?1 , bk ? 2 ,?, b14 的前 n 项和

S n 满足 S14 ? 2S k ,求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式;

10

高三数学中档题训练 1
1、解:由 A={1,3,a} ,B={1,a2} ? A,得 a2=3.或 a2=a. ,B 当 a2=3 时, a ? ? 3 ,此时 A∩B≠{1,a} ; ------------------- 7 分

当 a2=a 时,a=0 或 a=1, a=0 时,A∩B={1,0} ;a=1 时,A∩B≠{1,a} . 综上所述,存在这样的实数 a=0,使得 B ? A,且 A∩B={1,a} .-------------------14 分 2、解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,又 b2 ? c2 ? a 2 ? bc

1 ? , A ? ???????????????????6 分 2 3 B C (Ⅱ)∵ 2sin 2 ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ????????8 分 2 2 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 , 3 2? 2? cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 , 3 3
∴ cos A ?

3 1 ? sin B ? cos B ? 1 ,∴ sin( B ? ) ? 1 , 2 2 6
, ∴ ?ABC 为等边三角形。?????14 分 3 3 x2 y2 c 3 3. 解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y ) 为椭圆上的点,由 ? 得 a 2 a b a ? 2b 3 1 2 AM ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 ,(?b ? y ? b) 2 2 1 3 3 1 2 若 b ? ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 (?b ? ) 2 ? 7 , ?b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 3 2 2 1 1 若 b ? 时, y ? ? 时 4b 2 ? 3 ? 7 , b 2 ? 1 2 2 ∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?

,C ?

?

所求方程为 正整数,

x2 ? y 2 ? 1 4.解: (1)设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则 d 为 4

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n ?1
11

? ban?1 q3? nd ? 3?( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3,6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8n ?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

高三数学中档题训练 2
1.解: A ? {x

6 ? 1 ? 0} ? ?? 1,5? x ?1

2 (1)当 m=3 时, B ? {x ? x ? 2 x ? 3 ? 0} ? (?1,3)

∴ C R B ? {x x ? ?1或x ? 3} , A ? (C R B) ? [3,5] (2)由题意知:4 为方程-x +2x+m=0 的根,得:m=8
2

经检验 m=8 适合题意.

2、解: (1)依题意, m ? n ? cos ? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos ? )

?? ?

? 2 2(sin ? ? cos ? ) ?????????????3 分

? 4sin(? ? ) ?????????5 分 4 ?? ? 又 m?n ?1
∴ sin(? ?

?

?
4

)?

1 ?????????7 分 4

12

(2)由于 ? ? (? ? ,?? ) ,则 ? ?

3 2

?

5 3 ? (? ? ,? ? ) ?????9 分 4 4 4

??

3 ? 15 ??14 分 8

3.解:(Ⅰ) ∵DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC ∴DC//EB,又∵DC ? 平面 ABE,EB ? 平面 ABE,∴DC∥平面 ABE??(4 分) (Ⅱ)∵DC⊥平面 ABC,∴DC⊥AF,又∵AF⊥BC,∴AF⊥平面 BCDE??(8 分) (Ⅲ)由(2)知 AF⊥平面 BCDE,∴AF⊥EF,在三角形 DEF 中,由计算知 DF⊥EF, ∴EF⊥平面 AFD,又 EF ? 平面 AFE,∴平面 AFD⊥平面 AFE.??(14 分 4.(1)∵

? ? 1 ??? ??? OF FQ sin ?OFQ , 2 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 4 6 OF ? FQ ? OF FQ cos ?OFQ ? m ∴tanθ = . S?OFQ ?
m

又∵ 6 <m<4 6 ,∴1<tanθ <4.????????????6 分 2 2 x y (2)设所求的双曲线方程为 2 - 2 = 1 (a>0,b>0),Q(x1,y1), a b 则=(x1-c,y1),∴S△OFQ= 1 4 6 ||·|y1|=2 6 ,∴y1=± . 2 c 6 4 -1)c ,∴x1=
2

又由 OF ? FQ =(c,0)·(x1-c,y1)=(x1-c)c=(
2 2 ∴ OQ = x1 +y1 =

??? ??? ? ?

6 4

c.??8 分

????

96 3 2 c ≥ 12 . 2 + c 8

当且仅当 c=4 时, ||最小,这时 Q 点的坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,- 6 ).12 分
2 ? 62 - 62 = 1 ? ?a =4 b ∴?a , ∴? 2 . ?b =12 ? ?a2+b2=16

x y 故所求的双曲双曲线方程为 = 1 .???????????14 分高三 4 12

2

2

数学中档题训练 3
1. 解: (1)∵a⊥b,∴a·b=0.而 a=(3sinα ,cosα ) ,b=(2sinα , 5sinα -4cos α ), 故 a·b=6sin2α +5sinα cosα -4cos2α =0.??????????????2 分 由于 cosα ≠0,∴6tan2α +5tanα -4 =0. 解之,得 tanα =- 分
13

4 1 ,或 tanα = .?????????????????5 3 2

∵α ∈(

1 4 3π .∴tanα =- .??6 分 , ) 2π ,tanα <0,故 tanα = (舍去) 2 2 3

(2)∵α ∈( 由 tanα =- ∴ sin cos(

? 3π 3π . ( ,π) , ) 2π ,∴ ? 2 2 4

?
2

?

4 ? 1 ? ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2 5 ? 2 5
, cos 2 ?? 5

5

,??????????????????11 分

?
2

?

π ? π ? π )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 =? =? . ???????14 分 2. ? ? ? 5 2 5 2 10

解:当 0 ? x ? 10 时, y ?

2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? (55 ? 1) 3780 ? x x 1 1 2150 ? 10 ? 55 ? ( x 2 ? x) ? (55 ? 1) 6 3 当 10 ? x ? 20 时, y ? x 2700 ? ? 9 x ? 18 x

3780 ? (0 ? x ? 10) ? x 所以, y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18(10 ? x ? 20) ? x 3780 (1) 当 x ? (0,10] 时,在 x ? 10 时, y min ? ? 378 ( s) 10
当 x ? (10,20] 时, y ?

2700 2700 ? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ? 9 x ? ? 18 ? 180 3 x x

? 329 .4( s)
当且仅当 9 x ?

2700 ,即: x ? 17.3(m / s) 时取等号。 x

因为 17.3 ? (10,20] ,所以 当 x ? 17.3(m / s) 时, y min ? 329 .4( s) 因为

378 ? 329.4

所以,当车队的速度为 17.3(m / s) 时,车队通过隧道时间 y 有最小值 329 .4( s) 3. (Ⅰ)
14

∵ n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? a1 ?2

∴ a1 ? 1

∵ S n ? 2 ? an 即 an ? Sn ? 2 ,∴

an ?1 ? Sn ?1 ? 2 两式相减: an ?1 ? an ? Sn ?1 ? Sn ? 0 即 an?1 ? an ? an ?1 ? 0
故有 2an ?1 ? an ∵ an ? 0 ,∴ 所以,数列 {an } 为首项 a1 ? 1 ,公比为

an ?1 1 ? (n ? N * ) an 2

1 1 的等比数列, an ? ( )n ?1 (n ? N * ) 6分 2 2 1 n (Ⅱ)∵ bn ?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,3, …) ,∴ bn ?1 ? bn ? ( )?1 2 1 1 1 b2 ? b1 ? 1 得 b3 ? b2 ? b4 ? b3 ? ( )2 ? bn ? bn ?1 ? )? 2 ( n 2 2 2

( n ? 2,3 …) 将这 n ? 1 个等式相加

1 1 1 1 bn ? b1 ? 1 ? ? ( )2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ?2 ? 2 2 2 2

1 1 ? ( )n ?1 1 2 ? 2 ? 2( ) n ?1 1 2 1? 2

1 12 分 2 1 (Ⅲ)∵ cn ? n(3 ? bn ) ? 2n( ) n ?1 2 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[( )0 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? … ? (n ? 1)( ) n ?2 ? n( ) n ?1 ] ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 而 Tn ? 2[( ) ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? … ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n ] ② 2 2 2 2 2 2 1 1 0 11 1 2 1 n ?1 1 ①-②得: Tn ? 2[( ) ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ] ? 2n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 4n( 1 )n ? 8 ? 8 ? 4n( 1 ) n ? 8 ? (8 ? 4n) 1 (n ? 1, 2,3, …) 18 分 4.答 Tn ? 4 1 2 2n 2 2n 1? 2
又∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ( n ? 1, 2,3 …) 案:解: (1)k=2, f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 4ln x .则 f ?( x) = 2 x ? 2 ?

4 .???3 分 x

2 (此处用“≥”同样给分) ????????5 分 ? ( x ? 1)( x ? 2) >0, x
15

注意到 x>0,故 x>1,于是函数的增区间为 (1, ??) . (写为 [1, ??) 同样给分)7 分 (2)当 k<0 时,g(x)= f ?( x) = 2 x ? 2 ?

2k ?k .g(x)= 2( x ? ) ? 2 ≥ 4 ?k ? 2 9 分 x x

当且仅当 x= ? k 时,上述“≥”中取“=” . ①若 ? k ∈ (0, 2] ,即当 k∈ [?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为

4 ?k ? 2 ;?11 分
②若 k<-4,则 g ?( x) ? 2(1 ?

k ) 在 (0, 2] 上为负恒成立, x2

故 g(x)在区间 (0, 2] 上为减函数, 于是 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 g(2)=6-k. ?????????13 分 综上所述,当 k∈ [?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ; 当 k<-4 时,函数 g(x)在区间 (0,2] 上的最小值为 6-k. ?????????15 分

高三数学中档题训练 4
1. 解: f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 sin(2 x ? (1)最小正周期 T ?

?
6

) ? 3 ----4 分

2? ? ? --------------6 分 2 ? ? 3? 当 (2 x ? ) ? [2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z ) 时,函数 f(x)单调递减 6 2 2 ? 2? ∴函数 f(x)单调递减区间 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) --------------10 分 6 3 ? ? 1 (2) f ( A) ? 2 sin(2 A ? ) ? 3 ? 4 ∴ sin(2 A ? ) ? 6 6 2 1 3 ? ∵ A ? (0, ? ) ∴ A ? ----12 分 又 S ? ? bc sin A ? 2 2 3
∴c=2----14 分 ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 …..16 分
2 2
2

3、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ,因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .???3 分 又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 ,

16

所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .?6 分 , (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ①当

2a .??????????7 分 3

2a 2] ≤ 0 , 即 a ≤ 0 时 , f ( x) 在 [0, 上 单 调 递 增 , 从 而 3

f max ? f (2) ? 8 ? 4a 9 分
②当 分 ③当 0 ? 单调递增?13 分 从而 f max ? ?

2a 即 从而 f max ? f (0) ? 0 11 2] ≥ 2 , a≥ 3 时, f ( x) 在 [0, 上单调递减, 3

2a ? 2a ? ? 2a ? 2 ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上 3 ? 3 ? ? 3 ?

0 ?8 ? 4a,? a ≤ 2, ?????????????????15 分 ?0, 2 ? a ? 3.

综上所述, f max ? ?

?8 ? 4a,a ≤ 2, ??????????????16 分 a ? 2. ?0,
2

4.解(1)? f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,? ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0或a ? 4, 当 a=4 时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在(0,2) 上递减,故存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,当 a=0 时,函数 f ( x) ? x 2 在(0,??) 上递增
故 不 存 在 0 ? x1 ? x 2 , 使 得 不 等 式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立 , 综 上 , 得 a=4 ,

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4
2 (2)由(1)可知 S n ? n ? 4n ? 4 ,当 n=1 时, a1 ? s1 ? 1

当 n ? 2 时, a n ? s n ? s n ?1 ? (n ? 4n ? 4) ? [( n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 4] ? 2n ? 5
2 2

17

n ?1 ?1, ? a n ? s n ? s n ?1 ? ? n?2 ?2 n ? 5
(3)? bn ? ( 3 )
an ? 5

?27 , n ? 1 1 ?? n ,?b1 ? , 27 ?3 , n ? 2

2 c1 ? 18 ? 27

6 ? 3 2 n ? 3 n ?1 ? 3 n 1 1 n ? 2时 , n ? c ? 2 ? n ? n ?1 n n ?1 3 ?3 3 3

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? 2(n ? 1) ? (

1 1 ? n?1 ) ] 2 3 3 2 1 1 1 1 = 18 ? ? 2n ? 2 ? ? n?1 ? 16 ? ? 2n ? n?1 ? n ? m 对 n ? N *, n ? 2 恒 27 9 3 27 3
成立,

可 转 化 为 : m ? 16 ?

1 1 ? n ? n ?1 对 n ? N *, n ? 2 恒 成 立 , 因 为 27 3

16 ?

1 1 ? n ? n?1 是关于 n 的增函数,所以当 n=2 时,其取得最小值18, 27 3

所以 m<18

高三数学中档题训练 5
1.解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1 , F2 两点的距离之和是 4,得

2a ? 4
3 ( )2 1 2 3 即 a ? 2 ,又 A(1, ) 在椭圆上,? ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 3 ,于是 c 2 ? 1 2 2 b
所以椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ,焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 4 3

设 P( x, y ) ,则

x2 y2 4 ? ? 1 ,? x 2 ? 4 ? y 2 4 3 3

1 4 1 1 17 1 3 PQ 2 ? x 2 ? ( y ? )2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? ? ? ( y ? )2 ? 5 2 3 4 3 4 3 2 3 又 ?? 3 ? y ? 3 , ? 当 y ? ? 时 , PQm a ? 5 2 、 解 :( Ⅰ ) x 2
18

f ?( x) ? 4 x3 ? 3ax 2 ? 4 x ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) .

10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(?∞, 0)
?


0 0
极小值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2 ? ,? ?2 ?
?


2

(2, ∞) ?

?


0
极大值

0
极小值

?


所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2, ∞) 内是增函数,在 (?∞, , ? ,? 内是减函数. 2 ? 0) (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.
2

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

为 使 f ( x) 仅 在 x ? 0 处 有 极 值 , 必 须 4 x 2 ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒 成 立 , 即 有

? ? 9a 2 ? 64 ≤ 0 .
解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3

8 3

8 3

? 8 8? ? ?

2 (Ⅲ)解:由条件 a ? ? ?2,? 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

, 因此函数 f ( x) 在 ? ?11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 2 , 为使对任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立,当且仅当

19

? f (1) ≤ 1, ? ? f (?1) ≤ 1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

2 在 a ? ? ?2,? 上恒成立.所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是
3. 解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,

?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26
26 2 5 26 ) ? . 26 26

由于 0? ? ? ? 90? ,所以 cos ? = 1 ? (

由余弦定理得 BC=

AB 2 ? AC 2 ? 2 AB?AC ?cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13 cos(45? ? ? ) ? 30 ,
? y2=ACsin ?CAD ? 10 13 sin(45 ? ? ) ? 20.

所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

20

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ?
2

9 10 ? . 10 10

在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

10 AB sin ?ABC 10 ? 40. AQ= ? sin(45? ? ?ABC ) 2 2 10 ? 2 10 40 2 ?
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC )
?

= 15 ? 所以船会进入警戒水域.

5 ? 3 5 ? 7. 5

(3)在(2)的条件下,令 cn ? 2 n , d n ? 2 n ,问不等式 c n d n ? 1 ≤ cn ? d n 是否
a
b

对 n ∈N+恒成立?请说明理由.

4、解: (1)依题意, [18 ? (m ? 1) ? 18] ? 36 ? (m ? 14 ? 14)d 2 ? 45 ,
2

即 (18m) ? md 2 ? 9 ,
2

9 ? 2 18 2 ? 9 ? 108 ; m 9 1 等号成立的条件为 18 2 m ? ,即 m ? , m 6
即 d 2 ? 18 2 m ?

21

? m ? N * ,?等号不成立,?原命题成立.????????5 分
(2)由 S14 ? 2S k 得: S k ? S14 ? S k ,即: 则 9k ? 18 ? (15 ? k ) ,得 k ? 10

18 ? 0 36 ? 0 ?k ? ? (14 ? k ? 1) , 2 2

d1 ?

0 ? 18 36 ? 0 ? ?2 , d 2 ? ? 9 , 则 a n ? ?2n ? 20 9 14 ? 10



bn ? 9n ? 90 ;????10 分
(3)在(2)的条件下, cn ? 2 n , d n ? 2 n ,
a
b

要使 c n d n ? 1 ≤ cn ? d n ,即要满足 (c n ? 1)( d n ? 1) ≤0, 又 cn ? 220? 2 n ? 410? n ,d n ? 29 n ?90 ? 512n ?10 ,∴数列 {c n } 单调减;{d n } 单调增, ①当正整数 n ? 9 时, c n ? 1 ? 0 , d n ? 1 ? 0 , (cn ? 1)( d n ? 1) ? 0 ; ②当正整数 n ? 11 时, c n ? 1 ? 0 , d n ? 1 ? 0 , (cn ? 1)( d n ? 1) ? 0 ; ③当正整数 n ? 10 时, c n ? 1 ? 0 , d n ? 1 ? 0 , (cn ? 1)( d n ? 1) ? 0 , 综上所述,对 n ∈N+,不等式 c n d n ? 1 ≤ cn ? d n 恒成立.??16 分

22


更多相关文档:

高三数学中档题训练1-5(带详细答案).doc

高三数学中档题训练1-5(带详细答案) - 高三数学中档题训练 1 班级 2 姓

高三数学中档题训练1-5.doc

高三数学中档题训练1-5 - 高三数学中档题训练 1 班级 2 姓名 1.集合

高三数学中档题训练1 推荐.doc

高三数学中档题训练1 推荐 - 高三数学中档题过关训练 2 1 1 1、解不等式

高三数学中档题+详细答案(全).doc

高三数学中档题+详细答案(全)_数学_高中教育_教育专区。高三数学必做精选中档题,内附超详细版答案!高三党必做! 高三数学中档题训练 26 班级 姓名 1.如图所示,...

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a5(附答案) 精品.doc

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a5(附答案) 精品 - 中档题训练 5 姓名 1.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ 与η ,且ξ ...

高三数学第一轮复习中档题训练(全套).doc

高三数学第一轮复习中档题训练(全套) - 高三数学第一轮复习基础题训练 1.集合

高三数学复习 中档题训练7.doc

高三数学复习 中档题训练7 - 中档题训练 7 1.猎人射击距离 100 米远处的目标,命中的概率为 0.6。 (1)如果猎人射击距离 100 米远处的静止目标 3 次,求至少...

高考数学:高三数学第一轮复习中档题训练(全套).doc

高考数学:高三数学第一轮复习中档题训练(全套) - 高三数学第一轮复习基础题训练 1.集合 A={1,3,a} ,B={1,a2} ,问是否存在这样的实数 a,使得 B ? A...

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a8(附答案) 精品.doc

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a8(附答案) 精品 - 中档题训练 8 姓名 1.下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有 50 人,成绩分 1~5 五个档次....

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a9(附答案) 精品.doc

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a9(附答案) 精品 - 中档题训练题 11 学号 姓名 1. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 A1 D1 的...

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a2(附答案) 精品.doc

高三数学-2018年高三数学复习中档题训练a2(附答案) 精品 - 中档题训练 2 ? ? 1.设 a 、 b 是两个不共线的非零向量(t∈R) ①若 a 与 b 起点相同,t...

高三数学中档题训练31.doc

高三数学中档题训练31 - 中档题训练 1.设人的某一特征(如眼睛大小)是由他一

高三数学中档题训练1-5(带详细答案).doc

高三数学中档题训练1-5(带详细答案) - 高三数学中档题训练 1 班级 2 姓

高三数学中档题训练5.doc

高三数学中档题训练5 - 高三数学中档题训练 1.如图,已知长方体 A B C

高三数学中档题过关训练1-4.doc

安宜高级中学(西)高三数学备课组 高三数学中档题过关训练() 1、已知向量 O

高三数学中档题+详细答案!!!.doc

高三数学中档题+详细答案!!!_数学_高中教育_教育专区。高三数学必做精选中档题,内附超详细版答案!高三党必做! 高三数学中档题训练 16 班级 姓名 1. 已知函数 ...

高三数学中档题训练16-20(带详细答案).doc

高三数学中档题训练16-20(带详细答案) - 高三数学中档题训练 16 班级

高三(下)数学中档题训练5-6答案.doc

高三(下)数学中档题训练5-6答案 - 高三(下)数学中档题训练(5) 班级 姓

高三数学中档题训练11-15(带详细答案).doc

高三数学中档题训练11-15(带详细答案) - 高三数学中档题训练 11 班级

高三数学中档题训练21--25【答案】.doc

高三数学中档题训练21--25【答案】高三数学中档题训练21--25【答案】隐藏>> 高三数学中档题训练 21 1.解: (1)由题意得 2b cos B = a cos C + c cos...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com