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2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定及性质模拟演练文


2018 版高考数学一轮总复习 第 7 章 立体几何 7.5 直线、平面垂直 的判定及性质模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1.[2017·福州质检]“直线 l 垂直于平面 α ”的一个必要不充分条件是( A.直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直 B.过直线 l 的任意一个平面与平面 α 垂直 C.存在平行于直线 l 的直线与平面 α 垂直 D.经过直线 l 的某一个平面与平面 α 垂直 答案 D 解析 若直线 l 垂直于平面 α ,则经过直线 l 的某一个平面与平面 α 垂直,当经过直 线 l 的某一个平面与平面 α 垂直时,直线 l 垂直于平面 α 不一定成立,所以“经过直线 l 的某一个平面与平面 α 垂直”是“直线 l 垂直于平面 α ”的必要不充分条件.故选 D. 2.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α ,n⊥平面 β ,直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α , )

l?β ,则(

)

A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 答案 D 解析 由于 m,n 为异面直线,m⊥平面 α ,n⊥平面 β ,则平面 α 与平面 β 必相交, 但未必垂直,且交线垂直于直线 m,n,又直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,则交线平行于 l.故选 D. 3.[2017·潍坊模拟]已知 α ,β 表示平面,m,n 表示直线,m⊥β ,α ⊥β ,给出下 列四个结论: ①? n? α ,n⊥β ;②? n? β ,m⊥n;③? n? α ,m∥n;④? n? α ,m⊥n. 则上述结论中正确的个数为( A.1 C.3 答案 B 解析 由于 m⊥β ,α ⊥β ,所以 m? α 或 m∥α .? n? α ,n⊥β 或 n,β 斜交或 n∥ β ,①不正确;? n? β ,m⊥n,②正确;? n? α ,m∥n 或 m,n 相交或互为异面直线,③ 不正确;④正确.故选 B. 4.正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于( A.A′C′ C.A′D′ 答案 B 解析 连接 B′D′, ∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′, B.BD D.AA′ ) ) B.2 D.4

1

且 A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE? 平面 CC′E,∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.故选 B. 5. [2017·济南模拟]已知如图, 六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形, PA⊥平面 ABCDEF. 则下列结论不正确的是( )

A.CD∥平面 PAF B.DF⊥平面 PAF C.CF∥平面 PAB D.CF⊥平面 PAD 答案 D 解析 A 中,因为 CD∥AF,AF? 平面 PAF,CD?平面 PAF,所以 CD∥平面 PAF 成立; B 中,因为 ABCDEF 为正六边形,所以 DF⊥AF, 又因为 PA⊥平面 ABCDEF,所以 PA⊥DF, 又因为 PA∩AF=A,所以 DF⊥平面 PAF 成立; C 中,因为 CF∥AB,AB? 平面 PAB,CF?平面 PAB,所以 CF∥平面 PAB;而 D 中 CF 与 AD 不垂直,故选 D.
2

6.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 答案 3

解析 如图所示.∵PA⊥PC,PA⊥PB,

PC∩PB=P,
∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC? 平面 PBC, ∴PA⊥BC.同理 PB⊥AC,PC⊥AB. 但 AB 不一定垂直于 BC. 7.[2017·辽宁五校联考]假设平面 α ∩平面 β =EF,AB⊥α ,CD⊥β ,垂足分别为 B,

D,如果增加一个条件,就能推出 BD⊥EF,现有下面四个条件:
①AC⊥α ;②AC∥α ;③AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上;④AC∥EF. 其中能成为增加条件的是________.(把你认为正确的条件序号都填上) 答案 ①③ 解析 如果 AB 与 CD 在一个平面内,可以推出 EF 垂直于该平面,又 BD 在该平面内,所 以 BD⊥EF.故要得到 BD⊥EF,只需 AB,CD 在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.

8. 如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的 有________(写出全部正确命题的序号). ①平面 ABC⊥平面 ABD;
3

②平面 ABD⊥平面 BCD; ③平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE; ④平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE. 答案 ③ 解析 由 AB=CB,AD=CD 知 AC⊥DE,AC⊥BE,从而 AC⊥平面 BDE,故③正确. 9.如图,已知长方形 ABCD 中,AB=2 2,AD= 2,M 为 DC 的中点.将△ADM 沿 AM 折 起,使得平面 ADM⊥平面 ABCM.

(1)求证:AD⊥BM; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,三棱锥 E-ADM 的体积与四棱锥 D -ABCM 的体积之比为 1∶3? 解 (1)证明:∵长方形 ABCD 中,AB=2 2,AD= 2,M 为 DC 的中点,
2 2 2

∴AM=BM=2,∴AB =AM +BM ∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM, ∴BM⊥平面 ADM. ∵AD? 平面 ADM,∴AD⊥BM. 1 1 1 2 1 (2)当 E 为 DB 的中点时,VE-ADM= VB-ADM= VD-ABM= × VD-ABCM= VD-ABCM, 2 2 2 3 3 ∴E 为 DB 的中点.

10.[2017·长沙模拟]如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1 分别是棱 AD,AA1 的中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.

4

证明 (1)∵F 为 AB 的中点, 又知 AB=4,BC=CD=2,∴AF 綊 CD, ∴四边形 AFCD 为平行四边形,∴CF∥AD. 又∵ABCD-A1B1C1D1 为直棱柱,∴C1C∥D1D. 而 FC∩C1C=C,D1D∩DA=D, ∴平面 ADD1A1∥平面 C1CF. ∵EE1? 平面 ADD1A1,∴EE1∥面 FCC1.

(2)如图,连接 D1C. 在直四棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴CC1⊥AC. ∵底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4,BC=2,F 是棱 AB 的中点,∴CF=AD=BF=2, ∴△BCF 为正三角形,∠BCF=∠CFB=60°,∠FCA=∠FAC=30°,∴AC⊥BC. 又∵BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, ∴AC⊥平面 BB1C1C,而 AC? 平面 D1AC, ∴平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. [B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.[2017·青岛质检]设 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则能得 出 a⊥b 的是( ) B.a⊥α ,b⊥β ,α ∥β D.a? α ,b∥β ,α ⊥β A.a⊥α ,b∥β ,α ⊥β C.a? α ,b⊥β ,α ∥β 答案 C 解析 对于 C 项,由 α ∥β ,a? α 可得 a∥β ,又 b⊥β ,得 a⊥b,故选 C.

5

12.如图,在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,AD=AB=1,∠BCD=45°,且 BD =DC= 2.给出下面四个命题: ①AD⊥BC;②三棱锥 A-BCD 的体积为 中正确命题的序号是( A.①② C.①③ 答案 B ) B.③④ D.②④ 2 ;③CD⊥平面 ABD;④平面 ABC⊥平面 ACD.其 2

解析 设 BD 的中点为 E,并连接 AE,如图所示.对于①,因为 AB=AD,所以 AE⊥BD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,则 AE⊥平面 BCD,AE⊥BC,若 AD⊥BC,则 BC⊥平面 ABD,则 BC⊥BD 1 1 1 2 2 与题意不符,故①错;对于②,VA-BCD= S△BCD·AE= × × 2× 2× = ,故②错;对 3 3 2 2 6 于③,因为 AE⊥平面 BCD,所以 AE⊥DC,又 CD⊥BD,BD∩AE=E,所以 CD⊥平面 ABD,故③ 正确;对于④,由③知,CD⊥平面 ABD,所以 CD⊥AB,又 AD⊥AB,AD∩CD=D,所以 AB⊥平 面 ACD,又 AB? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ACD,故④正确.

13.[2017·温州十校联考] 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是 A1B1 的中 点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF,则线段 B1F 的长为________. 答案 1 2

解析 设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF? 平面 C1DF,所以 AB1⊥DF. 1 由已知可以得 A1B1= 2,设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h,则 DE= h. 2

6

2 3 3 2 2 又 2× 2=h 2 +? 2? ,所以 h= ,DE= . 3 3 在 Rt△DB1E 中,B1E= 由面积相等得 6 × 6 6 ? 2?2 ? 3?2 ? ? -? ? = 6 . ?2? ?3?

x2+?

2 1 ? 2?2 ? = x,得 x=2, ?2? 2

1 即线段 B1F 的长为 . 2 14.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,∠ABC=90°,且 SA=AB,点 M 是 SB 的中点,AN⊥SC 且交 SC 于点 N.

(1)求证:SC⊥平面 AMN; (2)当 AB=BC=1 时,求三棱锥 M-SAN 的体积. 解 (1)证明:因为 SA⊥底面 ABC,所以 SA⊥BC. 又 BC⊥AB,AB∩SA=A,所以 BC⊥平面 SAB. 又 AM? 平面 SAB,所以 BC⊥AM. 又 SA=AB,M 为 SB 的中点,所以 AM⊥SB. 又 SB∩BC=B,所以 AM⊥平面 SBC,所以 AM⊥SC. 又 AN⊥SC,AM∩AN=A,所以 SC⊥平面 AMN. (2)因为 SC⊥平面 AMN,所以 SN⊥平面 AMN. 而 SA=AB=BC=1,所以 AC= 2,SC= 3. 又 AN⊥SC,所以 AN= 6 3 ,SN= . 3 3

因为 AM⊥平面 SBC,所以 AM⊥MN. 而 AM= 2 6 ,所以 MN= , 2 6

1 1 2 6 3 所以 S△AMN= AM×MN= × × = . 2 2 2 6 12

7

1 1 3 3 1 所以 V 三棱锥 M-SAN=V 三棱锥 S-AMN= S△AMN×SN= × × = . 3 3 12 3 36

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