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江苏省盱眙县都梁中学苏教版高中数学必修五练习:1.3正弦定理、余弦定理的应用(含答案解析)

1.如下图,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察 站 C 的北偏东 20° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° , 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为__________. 2.如下图,一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75° 方向上 距塔 68 n mile 的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这艘船航行的速度为 __________. 3.在一次夏令营活动中,同学们在相距 10 n mile 的 A,B 两个小岛上的活动结束后, 有人提出到隔海相望的未知的 C 岛上体验生活,为合理安排时间,他们需了解 C 岛与 B 岛 或 A 岛的距离.为此他们测得从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,那么 B 岛和 C 岛之间的距离是__________n mile. 4. 甲、 乙两楼相距 60 m, 从乙楼底望甲楼顶仰角为 45° , 从甲楼顶望乙楼顶俯角为 30° , 则甲、乙两楼的高度分别为 __________m,__________m. 5.某航空公司经营 A,B,C,D 这四个城市之间的客运业务.它的部分机票价格如下: A—B 为 2 000 元; A—C 为 1 600 元; A—D 为 2 500 元; B—C 为 1 200 元; C—D 为 900 元. 若 这家公 司规定的机票价格与往 返城市间的直线距离成 正比 , 则 B—D 的机票 价格为 __________.(注:计算时视 A,B,C,D 四个城市位于同一平面内) 6.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30° ,60° ,则塔高为 __________. 7.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° ,此时货轮与灯塔 S 相 距 20 n mile,随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向, 则货轮的速度为__________. 8.如图,测量河对岸的塔高 AB,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D, 现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,则塔高 AB= __________. 9.如图,某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25° 方向,从 A 出发有一条南偏东 35° 走向的 公路,在 C 处测得与 C 相距 31 km 的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去,走了 20 km 后到达 D 处,此时测得 C,D 的距离为 21 km,则此人在 D 处距 A 还有多远? 参考答案 1. 3a km 点拨:解法一:由题意知,∠ACB=120° . 由余弦定理,得 AB2=a2+a2-2a2cos 120° =3a2, ∴AB= 3a(km). 解法二:∵∠ACB=120° ,CA=CB=a, ∴A=B=30° .∴AB=2AC· cos A= 3a(km). 17 2. 6 n mile/h 2 点拨:由题意知 PM=68 n mile,∠MPN=120° ,∠N=45° , PM MN 由正弦定理知 = , sin 45° sin 120° ∴MN=68× 3 × 2=34 6(n mile). 2 34 6 17 ∴速度为 = 6(n mile/h). 4 2 3.5 6 点拨:在△ABC 中, 由题意知∠CAB=60° ,∠ABC=75° , ∴∠ACB=45° . AB BC 由正弦定理得 = , sin 45° sin 60° ∴BC=5 6(n mile). 4.60 20(3- 3) 5.1 500 元 点拨:∵A—C 为 1 600 元,A—D 为 2 500 元,C—D 为 900 元. 又∵城市间距离与机票价格成正比, ∴AD=AC+CD. ∴C 在 AD 上,A,B,C,D 的位置关系如图所示. 设 B—D 为 x 元, 在△ABC,△ABD 中运用余弦定理即可求出. cosA ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 AB 2 ? AD2 ? BD 2 ? , 2 AB ? AC 2 AB ? AD 解得 x=1 500. 400 6. m 点拨:如图,设塔高 AB=x m, 3 则 200-x 200 400 = ,解得 x= . tan 60° tan 30° 3 点拨:在△SMN 中,∠SMN=15° +30° =45° ,∠SNM=60° + 7.20( 6- 2)n mile/h 45° =105° , ∴∠MSN=180° -(45° +105° )=30° ,MS=20. MN SM 由正弦定理得 = , sin 30° sin 105° 1 20× 2 20×sin 30° ∴MN= = =10( 6- 2). sin 105° 6+ 2 4 MN ∴v= =20( 6- 2)(n mile/h). t s· tan θsin β 8. sin(α+β) 点拨:在△BCD 中,∠CBD=π-α-β. BC CD 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD CDsin∠BDC s· sin β 所以 BC= = . sin∠CBD sin(α+β) s· tan θsin β 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= . sin(α+β) BC2+BD2-CD2 9.解:由题设知∠CAD=60° ,在△CBD 中,应用余弦定理有 cos B= 2BC· BD 312+202-212 23 12 3 = = ,∴sin B= . 31 31 2×31×20 BC· sin B 在△ABC 中,应用正弦定理有 AC= = sin∠CAB 12 3 31× 31 =24, 3 2 再由余弦定理得 BC2=AC2+A

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