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河南省洛阳市2008-2009学年高三数学第二次统一考试(理科).doc

河南省洛阳市 2008-2009 学年高三第二次统一考试 数学(理科)试题 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一.选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合 符合要求的。

1. (

1? i 2 ) 的值为 1? i
B. i C. ? 1 D. ? i

A. 1

2 .下列四组函数中,表示相同函数的一组是
A. f ( x) ? x , g ( x) ? B. f ( x ) ?

x2

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2

x2 ?1 C. f ( x ) ? , g ( x) ? x ? 1 x ?1
D. f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 1 , g ( x) ? x 2 ? 1

3 .对于平面 ? 和直线 m . n ,给出下列命题
① 若 m // n ,则 m . n 与 ? 所成的角相等; ② 若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ③ 若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ④ 若 m 与 n 是异面直线,且 m // ? ,则 n 与 ? 相交。 其中真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4 .若二项式 (3 x ?
A. 7

2 x

) n 的展开式存在常数项,则 n 值可以为
B. 8 C. 9 D. 10

?x ? 0 ? 5 .已知 x . y 满足约束条件 ?3 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 2x 的最小值为 ?y ? 0 ?
A.

2 5

B. 2 ? 1

C.

24 25

D. 1

用心

爱心

专心

6 .一个正四面体的外接球半径与内切球半径之比为
A. 3 : 1 B. 3 : 2 C. 4 : 1 D. 2 : 1

7 .已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? t ? 5 n ? 2 ?
A. 4 B. 5

1 ,则实数 t 的值为 5 4 C. 5

D.

1 5

8 .从 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 十个数字中,选出一个偶数和三个奇数组成
一个没有重复数字的四位数,这样的四位数共有 A. 1480 个 B. 1440 个 C. 1200 个 D. 1140 个

9 .已知 0 ? x ? y ? 1 , a ? logx ( x ? 1) , b ? logy ( y ? 1) ,则 a . b 的大小关系是
A. a ? b C. a ? b B. a ? b D.与 x . y 的具体取值有关

10 .在 ?ABC 中,内角 A . B . C 的对边分别为 a . b . c ,已知 a . b . c 成等比数列,

a ? c ? 3 , cos B ?
A.

3 2

3 ,则 AB ? BC 等于 4 2 B. ? 3

C. 3

D. ? 3

11 .设离心率为 e 的双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,直线 l 过焦点 a2 b2

F ,且斜率为 k ,则直线 l 与双曲线 C 的左右两支都相交的充要条件是
A. k ? e ? 1
2 2

B. k ? e ? 1
2 2

C. e ? k ? 1
2 2

D. e ? k ? 1
2 2

? f ( 4 ? x ) , x ? ?2 12 .函数 f ( x ) ? ? ? x 在 ?2,??? 上为增函数,且 f (0) ? 0 ,则 f ( x) 的最小 , x ? ?2 ?2
值是 A. f (0) B . f ( 2) C . f ( 4) D. f (?2)

第Ⅱ卷(选择题,共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。

13 .若 ? ~ N (2, ? 2 ) ,且 P(2 ? ? ? 4) ? 0.4 ,则 P(? ? 0) ?
14 .设 0 ? x ? 2 ,则函数 y ? 4
x? 1 2

。 。

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值是
用心 爱心 专心

?1 ? 1 ? x ,x ? 0 ? 15 .已知函数 f ( x) ? ? (m ? 0, m ? 1) 在 x ? 0 处连续,则 m 的值 x , x ? 0 ? x ? log 2 m ?
为 。

16 .设 A(?1,0) , B(1,0) , N 是单位圆 O ( O 为坐标原点)上不同于 A . B 的动点,过 N
的切线与过 A . B 的切线分别交于 D .C 两点,四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的 交点为 G ,则点 G 的轨迹方程为 。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明.证明过程和演算步骤。

17 . (本小题满分 10 分)
已知函数 f ( x) ? 2 cos x cos(

?
6

? x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 。

(1) 求 f ( x) 的周期和最大值; (2) 若 f ( x) ? ?1 ,且 x ? [? ? , ? ] ,求 x 的值。

2 3

2 3

18 . (本小题满分 12 分)
甲.乙两名同学进行乒乓球单打比赛.根据以往经验,单局比赛甲胜乙的概率为 0 .6 , 本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局者获胜,比赛结束.设各局比赛相互没有影响. (1)求本场比赛中甲获胜的总局数为 2 的事件 A 的概率; (2)令 ? 为本场比赛的局数,求 ? 的概率分布和数学期望。 ((1).(2)结果均保留两位小数)

用心

爱心

专心

19 . (本小题满分 12 分)
已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长和侧棱长均为 a , M 为棱 A1C1 上的动点。 (1) 当 M 在何处时, BC1 // 平面MAB1 ; (2) 在(1)下,求平面 MB1 A 与平面

ABC 所成二面角大小。

20 . (本小题满分 12 分)

斜率为 1 的直线过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点,与抛物线交于 A . B 两点。
2

(1) 若

AB ? 8 ,求抛物线的方程;
p p p ) 且方向向量为 a ? ( , ) 的直线 l 上有一动点 N ,求 NA ? NB 的 2 2 2

(2) 过点 (0, 值。

用心

爱心

专心

21 . (本小题满分 12 分)
已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和 S n ? n 2 an (n ? 1) 。 2

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 记 b1 ? 0 , bn ?

S n?1 (n ? 2) , Tn 为 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 求 证 : Sn

1 0 ? Tn ? n ? 。 2

22 . (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a ln x 。 (1) 若函数 f ( x) 在区间 ?0,1? 上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (2) 当 t ? 1 时,不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。

用心

爱心

专心

参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 CAAD ABDAB CB

13 . 0.1

14 .

5 2

15 .

1 4

16 . x 2 ? 4 y 2 ? 1 (?1 ? x ? 1)

17 . f ( x) ? 2 cos x(cos

?
6

cos x ? sin

?
6

sin x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x

? 2 sin x cos x ? 3 cos2x ? sin 2x ? 3 cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

(1) f ( x) 的周期为 ? ,最大值为 2 .
( 2) 由 2 sin( 2 x ?
1 )?? , 3 3 2 2? 2? ? 5 ?x? 又? , ? ? ? 2x ? ? ? , 3 3 3 3 ? ? 5? 7? ∴ 2x ? ? ? 或? 或 3 6 6 6 ? 7? 5 ? ∴x ? ? 或 ? 或 4 12 12 ) ? ?1 得 sin( 2 x ?

?

?

18 . (1) 显然事件 A 即表示乙以 3 : 2 获胜,
∴ P( A) ? C4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.14
2 2 3

( 2) ? 的所有取值为 3,4,5 .

P(? ? 3) ? 0.63 ? 0.43 ? 0.28
2 2 P(? ? 4) ? C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.6 ? C3 ? 0.6 ? 0.42 ? 0.4 ? 0.3744
2 2 P(? ? 5) ? C4 ? 0.62 ? 0.42 ? 0.6 ? C4 ? 0.6 2 ? 0.4 2 ? 0.4 ? 0.3456

∴ ? 的分布列为:

?

3

4

5

P

0.28
用心 爱心

0.3744
专心

0.3456

数学期望 E? ? 3 ? 0.28 ? 4 ? 0.3744? 5 ? 0.3456 ? 4.07 .

19 . (1) 当 M 在 A1C1 中点时, BC1 // 平面 MB1 A .
延长 AM . CC1 交于 N ,则 NC1 ? CC1 ? a , 连结 NB1 并延长交 CB 延长线于 G , 则 BG ? CB , NB1 ? B1G . 在 ?CNG 中, BC1 为中位线, BC1 // NG , 又 NG ? 平面MAB1 , ∴ BC1 // 平面MAB1 .

( 2) ∵ ?AGC 中, BC ? BA ? BG
∴ ?GAC ? 90? ,即 AC ? AG 又 AG ? AA1 , AA 1 ? AG ? A , ∴ AG ? 平面 A1 ACC1 ∴ AG ? AM .

∴ ?MAC 为平面 MB1 A 与平面 ABC 所成二面 角的平面角。 又 tan ?MAC ? 2 , ∴所求二面角的大小为 arctan 2 .

20 . (1) 由题意知 AB 的方程为 y ? x ?

p ,设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y 2 ) . 2 1 2 p ? 0. 4

p ? ?y ? x ? 联立 ? 2 ? y 2 ? 2 px ?
∴ x1 ? x2 ? 3 p .

得 x ? 3 px ?
2

由抛物线定义 | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 p ? 8 ,
2 ∴ p ? 2 .抛物线方程 y ? 4 x ,

用心

爱心

专心

( 2) 由题意知 l 的方程为 y ? x ?
则 NA ? ( x1 ? x0 , y1 ? x0 ? ∴ NA ? NB

p p .设 N ( x 0 , x 0 ? ) , 2 2

p p ) , NB ? ( x 2 ? x0 , y 2 ? x0 ? ) , 2 2

? x1 x 2 ? x0 ( x1 ? x 2 ) ? x0 ? y1 y 2 ? ( x0 ?
由 (1) 知 x1 ? x2 ? 3 p , x1 x 2 ?

2

p p )( y1 ? y 2 ) ? ( x0 ? ) 2 . 2 2

1 2 p , y1 y2 ? ? p 2 , y1 ? y2 ? 2 p . 4 3 7 2 2 2 2 则 NA ? NB ? 2 x0 ? 4 px 0 ? p ? 2( x0 ? p) ? p 2 2 7 2 ∴当 x0 ? p 时, NA ? NB 的最小值为 ? p . 2
21 . (1) ∵ S n ? n 2 an (n ? 1) ,
∴ S n?1 ? (n ? 1) 2 an?1 . ∴ an ? S n ? S n?1 ? n 2 an ? (n ? 1) 2 an?1 ∴ (n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 即

an n ?1 ? a n ?1 n ? 1 an an?1 an?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 s an?1 an?2 an?3 a2 a1
n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 1 ? ? ??? ? ? n ?1 n n ?1 4 3 2

∴ an ?

?

?

1 n(n ? 1)

n ? 1 时,也成立
∴ an ?

1 n(n ? 1)
n , n ?1 n ?1 1 ? n ? 1 ? 2 (n ? 2) n n n ?1

( 2) S n ? n 2 a n ?

∴ bn ?

S n ?1 Sn

用心

爱心

专心

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 1 1 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 2 3 n 1 1 1 1 ? n ? ( 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ) 1 2 3 n 1 ∵ bn ? 1 ? 2 ? 0 (n ? 1) , n ? 0 ? (1 ?
又 Tn ? n ? (

1 1 1 1 ? ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 ? n ? (1 ? ) n ?1 1 1 1 ? n? ?( ? ) 2 2 n ?1 1 ?n? 2 1 ∴ 0 ? Tn ? n ? 2 a 22 . (1) f ?( x) ? 2 x ? 2 ? , x
∵ f ( x) 在 ?0,1? 上单调, ∴ f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在 ?0,1? 上恒成立. 即 2 x ? 2 x ? a ? 0 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 恒成立.
2 2

a ? ?(2 x 2 ? 2 x) 或 a ? ?(2 x 2 ? 2 x) 在 ?0,1? 上恒成立.
又 ? (2 x ? 2 x) ? ?2( x ?
2

1 2 1 ) ? ? ?? 4,0 ?, 2 2

∴ a ? 0 或 a ? ?4 .

( 2) 由 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 得:

(2t ? 1) 2 ? 2(2t ? 1) ? a ln(2t ? 1) ? 2(t 2 ? 2t ? a ln t ) ? 3 ,
t2 化简得 2(t ? 1) ? a ln 2t ? 1
2
2 当 t ? 1 时, t ? 2t ? 1 , ln

t2 ? 0, 2t ? 1
用心 爱心 专心

∴a ?

2(t ? 1) 2 2(t ? 1) 2 ? t2 (t ? 1) 2 ln lm[1 ? ] 2t ? 1 2t ? 1

又 ln[1 ?

(t ? 1) 2 (t ? 1) 2 ]? ? (t ? 1) 2 , 2t ? 1 2t ? 1

∴a ?

2(t ? 1) 2 ?2 (t ? 1) 2

当 t ? 1 时, a ? R , 综上,实数 a 的取值范围是 ?? ?,2?

用心

爱心

专心


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