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高中数学配套同课异构2.3.1


第二章 圆锥曲线与方程

2.3.1 双曲线及其标准方程

如果我是双曲线,你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面 然而我们又无缘,漫漫长路无交点 为何看不见,等式成立要条件 难到正如书上说的,无限接近不能达到 为何看不见,明月也有阴晴圆缺 此事古难全,但愿千里共婵娟

北京摩天大楼

巴西利亚大教堂

法拉利主题公园

花瓶

反比例函数的图像

冷却塔

罗兰导航系统原理

全球卫星定位导航系统

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线
动画演示

思考:1.在作图的过程中哪些量是定量? 哪些量是不定量? 2.动点在运动过程中满足什么条件? 3.这个常数与|F1F2|的关系是什么? 4.动点运动的轨迹是什么? 5.若拉链上被固定的两点互换, 则出现什么情况?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
F o F M

1

2

||MF1| - |MF2||=常数(小于|F1F2|)

探究:
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 为8,则M点的轨迹是什么?

双曲线的一支

(2)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为10,则M点的轨迹是什么?

动点M的轨迹是分别以点A,B为端点,方向指向 AB外侧的两条射线.
(3)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为12,则M点的轨迹是什么?

不存在

(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?

线段AB的垂直平分线

感悟:
1)当常数等于|F1F2|时,动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点,方向指向F1F2外侧的两条射线. 2)当常数大于|F1F2|时,动点M的轨迹 不存在 3)若常数等于0时,轨迹是 线段F1F2的垂直平分线 4)在双曲线的定义描述中要注意: 差的绝对值、常数小于|F1F2|及常数大于0这三 个条件

双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤: 1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系 2.设点. . 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.限式 4.代换 5.化简
F
1

y
M

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a
即 ( x ? c) ? y
2 2

? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2

y
M

代数式化简得:
x

F

1

O

F

2

(c ? a ) x ? a
2 2 2

2

y ? a (c ? a )
2 2 2

2

可令:c2-a2=b2 代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程

即: x a

2 2

y ? b

2

2

?(a ? 0, b ? 0) 1

其中c2=a2+b2

y
M F O
1

若建系时,焦点在y轴上呢?
y

F2

x F ( ±c, 0) F(0, ± c)

O

x

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 2 ?(a ? 0, b ? 0) 1 2 2 a b a b 练习:写出以下双曲线的焦点坐标 x2 y2 x2 y2 () ? 1 ? 1, (2) ? ? ?1 16 9 16 9

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? (二次项系数为正,焦点在相应的轴上)

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 5 4 3 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

焦点 a.b.c 的关 系

c ?a ?b
2


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