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2014江门一模文科数学1


2014 江门一模文科数学
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. i 是虚数单位, i(?1 ? 2i) ? ( A. i ? 2 B. i ? 2


C. ? 2 ? i

D. 2 ? i )

2.已知 f ( x) ? 1 ? x 定义域为 M , g ( x) ? e x 值域为 N ,则 M ? N ? ( A. [0 , 1] B. (0 , 1] C. (0 , ? ?) D. [ 1 , ? ?)

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 f (?1) ? ( A. 1 B. ? 1 C. 3 ) D. (4 , ? 8) D. ? 3



4.已知 a ? (1 , ? 2) , | b |? 2 5 ,且 a // b ,则 b ? ( A. (2 , ? 4) B. (?2 , 4)

C. (2 , ? 4) 或 (?2 , 4)

5.将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据整理成如右所示的茎叶图,由图可知( A.甲、乙两队得分的中位数相等 B.甲、乙两队得分的平均数相等 C.甲、乙两队得分的极差相等 D.甲、乙两队得分的方差相等 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C.若 l ? n ,m ? n ,则 l // m
4 6 3 3 6 8 3 7 9 1 2 3 4 5 2 2 1 1 乙 5 3 4 4 5 3



6.若 l , m , n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? ,l // ? ,则 ? ? ? )
开始



i ? 0, S ?1

7.设 a , b ? R ,则“ (a ? b)a 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的( A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件 )

S S ? S ? sin( ? ) 2

i ? i ?1 i ? 2013
否 输出 S 结束 是

8.执行如图 1 所示的程序框图,输出的 S ? ( A. 2013 C. 1 B. 2014 D. 2

图1

1

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9.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F 也是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点, P 是抛物线与双曲线的一个交点, a2 b2

若 | PF |? 5 ,则此双曲线的离心率 e ? ( A. 2 C. 2 B. 3 D. 2 ? 1



10.设 a , b ? R ,定义运算“ ? ”和“ ? ”如下:
?a , a ? b ?b , a ? b a ?b ? ? ,a ?b ? ? .若 m ? n ? 2 , p ? q ? 2 ,则( ?b , a ? b ?a , a ? b



A. mn ? 4 且 p ? q ? 4 C. mn ? 4 且 p ? q ? 4

B. m ? n ? 4 且 pq ? 4 D. m ? n ? 4 且 pq ? 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某厂对一批产品进行抽样检测,图 2 是抽检产品净重(单位:克)数据的频率 分布直方图,样本数据分组为[76,78) 、[78,80)、?、[84,86]。若这批产品 有 120 个,估计其中净重大于或等于 78 克且小于 84 克的产品的个数是
频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 76 78 80 82 84 86 克 图2



?y ? x ? 12.若变量 x , y 满足 ? x ? y ? 2 , z ? x ? 2 y 的最大值为 7 ,则实数 a ? ? y ? a ( a ? 2) ?



13.在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

2a n (n? N? ) ,试归纳出这个数列的通项公式 a n ? 2 ? an



2

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(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (3 ,
2? ) 到直线 ? cos? ? 1 的距离是 3



15. (几何证明选讲选做题)如图 3, AB 是圆 O 的直径, PB 、 PD 是圆 O 的切线,切点为 B 、 C ,
?ACD ? 30 0 .则

PC ? AC



P
C

D
A
O

B
图3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) , x ? R . 6 ⑴求 f ( x) 的最小正周期 T ; ⑵求 f (0) 的值; ⑶设 ? 是第一象限角,且 f (? ?

?

?
3

)?

3 ,求 sin ? 的值. 5

3

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17. (本小题满分 14 分) 如图 4,四棱锥 P ? ABCD 的俯视图是菱形 ABCD ,顶点 P 的投影恰好为 A . ⑴求证: BD ? PC ; ⑵若 AC ? 2a , BD ? 4a ,四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ? 2a 3 ,求 PC 的长.

P

A B
C

D

图4

4

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18. (本小题满分 14 分) 某药厂测试一种新药的疗效,随机选择 600 名志愿者服用此药,结果如下: 治疗效果 人数 病情好转 400 病情无明显变化 100 病情恶化 100

⑴若另有一病人服用此药,请估计该病人病情好转的概率; ⑵现从服用此药的 600 名志愿者中选择 6 人作进一步数据分析, 若在三种疗效的志愿者中各取 2 人, 这种抽样是否合理?若不合理,应该如何抽样?(请写出具体人数安排) ⑶在选出作进一步数据分析的 6 人中,任意抽取 2 人参加药品发布会,求抽取的 2 人中有病情恶化 的志愿者的概率.

5

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19. (本小题满分 14 分)

P 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q ,若 PQ 中点 M 的轨迹记为 ? .
⑴求 ? 的方程; ⑵若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 ? 相切,求直线 l 被圆 O 截得的弦长.

6

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20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? 1 . ⑴求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵是否存在正整数 p 、 q ( p ? 1 且 q ? 1 )使 a1 、 a p 、 a q 成等比数列?若存在,求出所有这样的 等比数列;若不存在,请说明理由.

7

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21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数. ⑴ ?a ? R ,试证明函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1 , f (1)) 处的切线经过定点; ⑵若函数 y ? f ( x) 图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围.

8

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江门一模文科数学参考答案
一、选择题 CBDCB DADCA

二、填空题 三、解答题

⒒ 90



7 3



2 n ?1



5 2



3

⒗⑴最小正周期 T ? ( ⑵ f (0) ? sin(? ⑶由 f (? ?

2? 2? ?) ? ? ??3 分(列式 2 分,结果 1 分) |? | 2

?

1 ) ? ? ??6 分(代入 1 分,结果 2 分) 6 2 3 ? 3 3 得 sin(2? ? ) ? ??7 分,所以 cos 2? ? ??8 分, 5 2 5 5

?
3

)?

1 ? 2 sin 2 ? ?

5 3 1 2 ??10 分,所以 sin ? ? ( sin ? ? ? )??11 分, 5 5 5 5 ??12 分. 5

因为 ? 是第一象限角,所以 sin ? ?

⒘⑴依题意, PA ? 底面 ABCD ??2 分 因为 BD ? 底面 ABCD ,所以 PA ? BD ??3 分 依题意, ABCD 是菱形, AC ? BD ??4 分 因为 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ??6 分,所以 BD ? PC ??7 分. ⑵V ?

1 1 ? S ABCD ? PA ??8 分, S ABCD ? ? AC ? BD ? 4a 2 ??10 分, 3 2

1 3 5 2a 3 ? ? 4a 2 ? PA , PA ? a ??12 分,所以 PC ? PA2 ? AC 2 ? a ??14 分. 3 2 2

9

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⒙⑴由已知统计表可知在 600 个病人中,服药后出现病情好转的频率为

400 2 ? ??1 分 600 3

所以估计另一个病人服用此药病情好转的概率为

2 ??3 分 3

⑵在三种疗效的志愿者中各取 2 人,这种抽样不合理??4 分 由于用药后人治疗效果之间存在明显差异,所以要进一步抽样则应该按照治疗效果进行分层抽样??5 分,即从病 情好转的志愿者中抽 4 人,从病情无明显变化的志愿者中抽 1 人,从病情恶化的志愿者中抽 1 人组成 6 人样本?7 分 ⑶将 6 人中病情恶化的 1 人用符号 A 代替,其余 5 人用分别用符号 1,2,3,4,5 代替??8 分 则从 6 人中任意抽取 2 人的基本事件表示如下: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,A) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,A) , (3,4) , (3,5) , (3,A) , (4,5) , (4,A) , (5,A)??10 分,一共 15 个基本事件??11 分 其中抽到病情恶化志愿者的基本事件为: (1,A) , (2,A) , (3,A) , (4,A) , (5,A)一共 5 个基本事件?12 分 每个基本事件是等可能的??13 分, 根据古典概型可得, 抽取 2 人中有病情恶化的志愿者的概率为

5 1 ? .....14 分. 15 3

⒚⑴设 M ( x , y) 是轨迹 ? 上任意一点,对应的圆 O 上的点为 P( x0 , y 0 ) ??1 分,则

? x ? x0 ? x 0 ? x, ? 2 2 x0 ? y 0 ? 4 ??2 分,且 ? y0 即 ? ??4 分, y ? . y ? 2 y . 0 ? ? 2 ?
∴x
2

? (2 y ) 2 ? 4 ??5 分,即

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 ? 方程为 ? y 2 ? 1 ??6 分. 4 4

? x2 ? ? y 2 ? 1, 1 ? 4k 2 ?x 2 ? 24 kx ? 32 ? 0 ??8 分 ⑵由 ? 4 ??7 分,得 ? ? ? y ? k x ? 3.
2 ∵直线 l 与曲线 ? 相切,∴ ? ? ?24 k ? ? 4(1 ? 4k ) ? 32 ? 0 ??9 分 解得 k ? 2 ,则 k ? ? 2 ??10 分
2 2

当k ?

2 时,直线 l : y ? 2 x ? 3 ,此时圆 O 的圆心到直线 l 的距离 d ?

3 2 ?1

? 3

??12 分,直线 l 被圆 O 截得的弦长为 2 4 ? 3 ? 2 ??13 分 当 k ? ? 2 时,根据椭圆和圆的对称性知,直线 l 被圆 O 截得的弦长为 2??14 分.

10

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⒛⑴ a1 ? S1 ? 1??1 分

n ? 1时, a n ? S n ? S n ?1 ? 4n ? 2 ??3 分(列式 1 分,结果 1 分)
?1 , 4 ?1 ? 2 ? 2 ? 1??4 分,所以 a n ? ? ?4 n ? 2 ,
2

n ? 1, n ? 1.

??5 分

⑵假设存在正整数 p 、 q ( p ? 1 且 q ? 1 )使 a1 、 a p 、 a q 成等比数列??6 分
2 则 a p ? a1 ? a q ??8 分,由⑴得 (4 p ? 2) ? 1 ? (4q ? 2) ??9 分

即 2(2 p ? 1) ? 2q ? 1 ??10 分,因为 p 、 q 是整数,所以 2(2 p ? 1) ? 2q ? 1 即 q ? (2 p ? 1) 2 ?
2 2

1 不可能成立, 2

假设错误??11 分 所以,不存在正整数 p 、 q ( p ? 1 且 q ? 1 )使 a1 、 a p 、 a q 成等比数列??12 分.

21.⑴ f / ( x) ? 2 x ? a(1 ?

1 ) ??1 分 x f (1) ? 1 ? a , f / (1) ? 2 ? 2a ? ? 2 分 , 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 (1 , f (1)) 处 的 切 线 为 y ? (1 ? a) ? (2 ? 2a)( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a)(2 x ? 1) ??4 分 1 1 ?a ? R ,当 x ? 时, y ? (1 ? a)(2 x ? 1) ? 0 ,即切线 y ? (1 ? a)(2 x ? 1) 经过定点 ( , 0) ??5 分 2 2 2 2 ⑵ a ? 0 时, f ( x) ? x ,因为 x ? 0 ,所以点 ( x , x ) 在第一象限??6 分
依题意, f ( x) ? x ? a( x ? ln x) ? 0 ??7 分
2

a ? 0 时 , 由 对 数 函 数 性 质 知 , x ? (0 , 1) 时 , ln x ? (?? , 0) , a ln x ? (?? , 0) , 从 而 “ ?x ? 0 ,
f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 ”不成立??8 分

1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) ??9 分 a x x 1 1 x ?1 2 / 设 g ( x) ? ?( ? 2 ln x) , g ( x) ? 3 ? 3 ln x ??10 分 x x x x (0 , 1) (1 , ? ?) x 1

a ? 0 时,由 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 得

g / ( x)

- ↘

0
极小值

?


g ( x) g ( x) ? g (1) ? ?1 ,从而

1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) ? ?1 , ? 1 ? a ? 0 ??13 分 a x x 综上所述,常数 a 的取值范围 ? 1 ? a ? 0 ??14 分.

11

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