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3.1.2 (1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式


3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
(第一课时)

复习
两角差的余弦公式

cos(? -?)= cos?cos? + sin?sin?

( C(?-?) )

注意: (1) 式子中α,β是任意的角. (2) 记忆口诀: “余余、正正异号连”.

学生探究? cos(? -?) = cos?cos? + sin?sin? cos(? + ?) = ? sin(? -?) = ? ( C(?-?) )

sin(? + ?) = ?
tan(? + ?) = ? tan(? -?) = ?

在两角差的余弦公式中

cos(? -?)= cos?cos? + sin?sin? ( C(?-?) ) 用- ?代替?看看有什么结果? cos[?-(-?)] = cos?cos(-?)+sin?sin(-?) 即cos(?+?) = cos?cos?-sin?sin?

两角差的余弦公式 cos(? -?)= cos?cos? + sin?sin? 两角和的余弦公式 cos(? +?) = cos?cos? - sin?sin?
注意: (1) 式子中α,β是任意的角. (2) 记忆口诀: “余余、正正异号连”.

( C(?-?) )

( C(?+?) )

如何推导两角和与差的正弦公式?
2 ? sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] 2 ? ? cos[( ? ? ) ? ? ] 2 ? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? 2 2 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos(

?

?? )

提示:利用诱 导公式五(或六) 可以实现正弦 , 余弦的互化

两角和的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? (S(?+?))

sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] 2
? cos[(

?

?

2 ? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? 2 2

?? ) ? ? ]

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

两角差的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? (S(?-?))
也可在S(?+?)用- ?代?得出

两角和的正弦公式

sin(? + ?)= sin?cos? + cos?sin? 两角差的正弦公式
sin(? -?) = sin? cos? - cos? sin?
注意:

( S(?+?) )

( S(?-?) )

(1) 式子中α,β是任意的角. (2) 记忆口诀: “正余、余正同号连”.

如何推导两角和与差的正切公式?
sin ? 提示 : tan ? ? cos ?

sin(? ? ? ) tan( ? ? ? ) ? cos(? ? ? )
sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
?

(这里有什么要求?)
? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) 2

sin ? cos ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? cos ? cos ? ?) cos ? cos ? sin ? sin ? (又有什么要求 ? ? ? ? k? ? cos ? cos ? cos ? cos ? 2
? ? k? ? ? (k ? Z ) 2

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

两角和的正切公式
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

(T(?+?))

两角差的正切公式
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

(T(?-?))

注意:
? ? ? (1) ? ? k? ? ; ? ? k? ? ; ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 2 2 2

(2) 口诀: “同名函数;分子同号,分母异号”.

S(?+?)、 C(?+?)、 T(?+?) 为和角公式

S(?-?)、C(?-?)、T(?-?) 为差角公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
-? 代 ?
?
? ?? ? ? ?

S(?+?)

2

C(?+?)

-? 代 ?

?

C(?-?)

2

? ?? ? ? ?

S(?-?)

相除
S ?? ? ? ? C?? ? ? ?
-? 代 ?

相除
S ?? ? ? ? C?? ? ? ?

T(?+?)

T(?-?)

注:只要记住两角差的余弦公式就可以推出其余公式。

课本P129例3

题型一:正用公式求值

3 ?? ?? ? ?? ? ? 已知sin ? ? ? , ?是第四象限角 , 求 sin? ? ? ?, cos? ? ? ?, tan?? ? ?. 5 4? ?4 ? ?4 ? ?

解:

3 ? sin ? ? ? , ?是第四象限角 5 4 2 ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 5 sin ? 3 ? tan ? ? ?? cos ? 4 ? ? 7 2 ?? ? ? sin ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? 4 4 10 ?4 ? ? ? 7 2 ?? ? cos? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? 4 4 10 ?4 ? ? ? ? tan ? ? tan 4 ? tan ? ? ? ? ? ? ?7 4 ? 1 ? tan ? tan ? ? 4

题型二:逆用公式化简、求值
课本P130例4

利用和(差)角公式计算下列各式的值

? 1? sin 72? cos 42? ? cos 72? sin 42? ; ? 2 ? cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? ;
1 ? tan15? ? 3? 1 ? tan15?

从右至左使用和 ( 差 ) 角公式 即掌握公式的逆用

解:

(1)sin 72? cos 42? ? cos 72? sin 42? ? sin 72? ? 42? ? sin 30? ?

?

?

1 2

(2)cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? ?cos 20? ? 70? ? cos 90? ? 0
1 ? tan15? tan 45? ? tan 15? ? ? ? ? (3) ? tan 45 ? 15 ? tan 60 ? 3 ? ? ? 1 ? tan15 1 ? tan 45 tan 15

?

?

?

?

课本P131-132练习5
求下列各式的值

?1?sin 72? cos18? ? cos72? sin 18? ;

解:原式=sin ? 72? ? 18? ? ? sin 90? ? 1 ?2? cos72? cos12? ? sin 72? sin 12? ; 1 ? ? ? 解:原式=cos ? 72 ? 12 ? ? cos 60 ? 2 t an12? ? t an33? ?3? ; ? ? 1 ? t an12 t an33 解:原式=tan ? 12? ? 33? ? ? tan 45? ? 1

课本P131-132练习5
求下列各式的值
? ? ? ?

?4?cos74 sin 14 ? sin 74 cos14 ; 3 解:原式=sin ? 14 ? 74 ? ? ? sin 60 ? 2 ? ? ? ? ?5?sin 34 sin 26 ? cos34 cos26 ; 1 解:原式=? ? cos 34 cos 26 ? sin 34 sin 26 ? ? ? cos ? 34 ? 26 ? ? ? 2 ?6?sin 20? cos110? ? cos160? sin 70?. 解:原式=sin 20 cos110 ? cos 20 sin110 ? sin ? 20 ? 110 ? ? ?1
? ? ?
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(? +?)= cos?cos? - sin?sin? cos(? -?)= cos?cos? + sin?sin? ( C(?-?) ) ( C(?+?) )
( S(?+?) ) ( S(?-?) )

课 堂 小 结

sin(? +?)= sin?cos? + cos?sin? sin(? - ?)= sin?cos? - cos?sin?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

( T(?+?) )
( T(?-?) )

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
-? 代 ?
?
? ?? ? ? ?

S(?+?)

2

C(?+?)

-? 代 ?

?

C(?-?)

2

? ?? ? ? ?

S(?-?)

相除
S ?? ? ? ? C?? ? ? ?
-? 代 ?

相除
S ?? ? ? ? C?? ? ? ?

T(?+?)

T(?-?)

注:只要记住两角差的余弦公式就可以推出其余公式。

4月21日作业
课本第137页A组第7,9题, 第13题的(2)(3) 下一节:习题课


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