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北京市房山区高三年级第一学期期末统考数学(理科)


房山区高三年级第一学期期末统考 数
考试结束后,将答题卡交回。

学 (理科)

2014.1

本试卷共 5 页,150 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

1.设全集 U ? R ,集合 A ? x ? R x ? 2 x ? 0 , B ? y y ? e ? 1, x ? R ,则 A
2 x

?

?

?

?

B?(



A. {x |1 ? x ? 2} 2. 复数 z ?

B. {x | x ? 2}

C. {x | x ? 1}

D. {x |1 ? x ? 2}

i3 (其中 i 为虚数单位),则下列说法中正确的是( ) 1? i

A.在复平面内复数 z 对应的点在第一象限 B.复数 z 的共轭复数 z ? ?

1 i ? 2 2
1 2

C.若复数 z1 ? z ? b (b ? R ) 为纯虚数,则 b ? ? D.复数 z 的模 | z |?
a b

1 2
) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
a 2b

3.“ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

4.设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.8 B.4 C.1

2 1 ? 的最小值为( a b
D.

)

1 4

5. 若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为( A.n ? 5 B.n ? 6 C.n ? 7 6. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间 几何体的所有顶点都在一个球面上,则球的表面积是( 28 28 49 7 A. ? B. ? C. ? D. ? 9 3 3 9

) D.n ? 8 2 ) 正视图 2 2 俯视图 2 (第 6 题) 侧视图

?x ? y ? 3 ? 0 ? 7. 已知 直线 y ? 2 x 上存 在点 ( x, y ) 满足约 束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实 数 m 的取值 范围是 ?x ? m ?
( ) (A) (??, ?1] (B) [?1, ??) (C) [2, ??) (D) (??,1]

8. 如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? , CC ? 的中点,过直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ? [0,1] ,给出以下 四个命题: ①平面 MENF ? 平面 BDD?B? ;
A' D' N B' F C'

1 ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; 2
③四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数; 以上命题中假 命题 的序号为( . .. A.①④ B.② ) C.③

E D M B C

A

D.③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB AB 的延长线于点 D , CD ? 2 7 ,

AB ? BC ? 3 。则 BD 的长___________(2 分)

AC 的长_______(3 分).
C

10. 以双曲线 准方程是

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标 9 16
.
A

O D B

1 ? x ? t, ? 2 ? (t为参数) , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 11. 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? 3 t ? 1. ? ? 2

, s ? x= 2 + c?o (? 为参数) . 则直线 l 的倾斜角为_________;设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q ? ? y =sin ? .
到直线 l 的距离的最小值为_________. 12.用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四 位数的个数为__________.

13. 如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120 ,点 C 在 ? AB
uuu r uur uu u r 上,且 ?COB ? 30 ,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? ? ? ?



14. 2010 年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域

{( x, y) | x ? 0, y ? 0} 内植树,第一棵树在 A1 (0, 1) 点,第二棵树在 B1 (1, 1) 点,第三棵树在 C1 (1, 0) 点,第四棵树在 C2 (2, 0) 点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一颗树,那么,第
2014 棵树所在的点的坐标是 。

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,a=2,sin 且△ABC 的面积为 4 (Ⅰ)求 cosB 的值;(Ⅱ)求边 b、c 的长。

B 5 ? , 2 5

16. (本小题满分 14 分)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平 面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦值.

17. (本小题满分 13 分)前不久,社科院发布了 2013 年度“全国城市居民幸福排行榜”,北京市 成为本年度最“幸福城”.随后,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光” 社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名, 如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以 小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求

从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (Ⅲ)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表 示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2x ? 1) , a ? 0 . 2 2

(Ⅰ)已知函数 f ? x ? 在 x ? 2 取得极小值,求 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调区间. (Ⅲ) a >

1 1 1 2 时,存在 x0 ? ( ,+ ? ), f ( x0 ) < ? 2a ,求实数 a 的取值范围; 4 2 2

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为 点是椭圆 M 的一个焦点. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

2 , 且抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦 2

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

? 20. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 果 项 数 均 为 n n ? 2, n ? N 的 两 个 数 列 {an } , {bn } 满 足

?

?

ak ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 且 集 合 {a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn } ? {1,2,3,?,2n} , 则 称 数 列 {an },{bn } 是一对 “ n 项相关数列”.
(Ⅰ)设 {an },{bn } 是一对“4 项相关数列”,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 和 b1 ? b2 ? b3 ? b4 的值,并写出一 对“ 4 项相关数列” {an },{bn } ; (Ⅱ)是否存在 “ 15 项相关数列” {an },{bn } ?若存在,试写出一对 {an },{bn } ;若不存在,请说

明理由; (Ⅲ)对于确定的 n ,若存在“ n 项相关数列”,试证明符合条件的“ n 项相关数列”有偶数对.

房山区高三年级第一学期期末练习参考答案 数
一、 选择题: 1D 2C 3B 4A
3 7 2

学 (理科) 2014.01

5B 6C

7D

8C

二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 4, 12. 10.

( x ? 5)2 ? y 2 ? 16
3

11.

? , dmin ? 2 3
14. (10,44)

3 ?1 2

1 1 2 C2 C2 A2 ? 8 13.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15(本小题满分 13 分) (1) cos B ? 1 ? 2sin
2

B 3 ? (2) b ? 17.c ? 5 2 5

16. (本小题满分 14 分) 【解析】方法一:(1)∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐 标系 Axyz, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).不妨令 P(0,0,t),∵ PF =(1,1,-t), DF =(1, -1,0), ∴ PF · DF =1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,即 PF⊥FD.……4 分 (2)存在.设平面 PFD 的一个法向量为 n=(x,y,z),结合(1), 由?

? ?n ? PF ? 0 ?

? ?x+y-tz=0 ,得? ?x-y=0 ? ?n ? DF ? 0

t t t ,令 z=1,解得:x=y= .∴n=( , ,1). 2 2 2

1 1 设 G 点坐标为(0,0,m),E( ,0,0),则 EG =(- ,0,m), 2 2

1 t t t 要使 EG∥平面 PFD,只需 EG ·n=0,即(- )× +0× +m×1=m- =0, 2 2 2 4 1 1 得 m= t,从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. …………………………………8 分 4 4 (3)∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB =(1,0,0), 又∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 1 1 得∠PBA=45°,PA=1,结合(2)得平面 PFD 的法向量为 n=( , ,1), 2 2

AB ? n ∴cos〈 AB ,n〉= = | AB | ? | n |

1 2 1 1 + +1 4 4



6 ,由题意知二面角 A-PD-F 为锐二面角. 6

故所求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦值为

6 .…………………………………12 分 6
2 2 2

方法二:(1)连接 AF,则 AF= 2,DF= 2,又 AD=2,∴DF +AF =AD ,∴DF⊥AF, 又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A,∴DF⊥平面 PAF,又∵PF? 平面 PAF,∴DF⊥PF. 1 (2)过点 E 作 EH∥DF 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD,且有 AH= AD, 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP, 4 ∴平面 EHG∥平面 PFD,∴EG∥平面 PFD. 1 从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. 4 (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,且∠PBA=45°,∴PA=AB=1, 取 AD 的中点 M,则 FM⊥AD,FM⊥平面 PAD, 在平面 PAD 中,过 M 作 MN⊥PD 于 N,连接 FN,则 PD⊥平面 FMN, 则∠MNF 即为二面角 A—PD—F 的平面角, MN MD 5 ∵Rt△MND∽Rt△PAD,∴ = ,∵PA=1,MD=1,PD= 5,∴MN= , PA PD 5 又∵∠FMN=90°,∴FN= 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 众数: 8.6; 中位数: 8.75 ; 3分 ???????? 6 30 MN 6 = ,∴cos∠MNF= = . 5 5 FN 6

(Ⅱ)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则

P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?

3 1 2 C12 C4 C12 121 ; ? ? 3 3 140 C16 C16

????????7 分

(Ⅲ) ξ 的可能取值为0,1,2,3.高?考.资.源+网

高.考.资.源+网

1 3 9 27 ; 3 27 ; 1 1 3 2 ; P(? ? 3) ? ( 1 ) 3 ? 1 . P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为: ξ
P
所以 E? ? 0 ?

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64
k

????????12分

另解: ξ 的可能取值为0,1,2,3.高..考.资., 则 ? ~ B (3, ) , P (? ? k ) ? C3 ( ) ( )
k

1 4

1 4

3 4

3? k

.

所以 E? = 3 ?

1 ? 0.75 . 4

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?

4a ? 1 1 , ??) ,且 f ?( x ) = x ? (1+2 a )+ ,………1 分 2 2x ?1

因为函数 f ? x ? 在 x ? 2 取得极小值,所以 f ?(2) ? 0, 即 f ?(2) =2 ? (1+2 a )+ 解得 a ? 1

4a ? 1 =0,. 4 ?1

……………………2 分 .………………3 分

经检验: a ? 1 时, 函数 f ? x ? 在 x ? 2 取得极小值,所以 a ? 1 .……………4 分 (Ⅱ) f ?( x ) = x ? (1+2 a )+ 令 f ?( x ) =0,则 x = i、当 2 a >

4a ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1-2) ? 4a ? 1 ? 2 x ? 1?? x ? 2a ? = = 2x ?1 2x ?1 2x ?1
……………6 分

1 或 x =2 a 2

1 1 ,即 a > 时, 2 4
(?

x
f ?( x ) f ( x)

1 1 , ) 2 2
+

1 2
0



1 ,2 a ) 2

2a 0

(2 a ,+ ? ) +

?

所以 f ( x ) 的增区间为( ?

1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ),减区间为( ,2 a )……7 分 2 2 2
2

? 2 x ? 1? ? 0 在( ? ,+ ? )上恒成立, ii、当 2 a = ,即 a = 时, f ?( x ) = 2 4 2 2x ?1
1 1 1
所以 f ( x ) 的增区间为( ?

1 ,+ ? ) 2

……………8 分

iii、当 0<2 a <

1 1 ,即 0< a < 时, 2 4
(?

x
f ?( x )

1 ,2 a ) 2
+

2a 0

(2 a ,

1 ) 2

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

?

f ( x)
所以 f ( x ) 的增区间为( ? 综上所述: 0< a <

1 1 1 ,2 a )和( ,+ ? ),减区间为(2 a , )……9 分 2 2 2

1 1 1 1 时, f ( x ) 的增区间为( ? ,2 a )和( ,+ ? ),减区间为(2 a , ) 4 2 2 2

a = 时, f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? ) a > 时, f ( x) 的增区间为( ?
(Ⅲ)由题意, a >

1 4 1 4

1 2

1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ),减区间为( ,2 a ) 2 2 2

1 1 1 1 1 2 时,存在 x0 ? ( ,+ ? ), f ( x0 ) < ? 2a ,即 a > 时, f ( x ) 在( , 4 4 2 2 2

+ ? )上的最小值小于 由(Ⅱ) a >

1 ? 2a 2 2

.……………10 分

1 1 1 时, f ( x ) 在( ,2 a )上递减,在(2 a ,+ ? )上递增, f ( x ) 在( ,+ ? ) 4 2 2

上的最小值为 f (2a) ,…………………………………………………11 分 所以 f (2a) <

1 1 4a ? 1 ? 2a 2 , 即 2a2 ? 2a(1 ? 2a) ? ln(4a ? 1) < ? 2a 2 …………………12 分 2 2 2
e ?1 , 4

化简得 ln(4a ? 1) ? 1 , 4a ? 1 ? e , a ? 又a>

1 1 e ?1 1 e ?1 ). ……………13 分 ,所以 ? a ? ,所求实数 a 的取值范围为 ( , 4 4 4 4 4

19(本小题满分 14 分) 解:(I)由已知抛物线的焦点为 ( 2,0) ,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

则 c ? 2,由e ?

x2 y 2 2 ? 1. ……5 分 , 得a ? 2, b2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? 4 2 2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m ,

则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

消去

y 得, (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0,

……………6



? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ①…………7 分
设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) ,则:

x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? …………8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 x0 y2 ? 0 ?1 . 4 2

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

……… 9 分

4k 2 m2 2m2 从而 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. ……10 分 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
又点 O 到直线 l 的距离为:

1 2 ?k |m| 1 1 2 2 d? ? ? 1? ? 1? ? 2 2 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k 1? k
当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

………11 分 ………12 分

从而点 P 的坐标为 (?2,0)或(2,0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 . 所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)依题意, a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2, a3 ? b3 ? 3, a4 ? b4 ? 4 ,相加得,

2 . 2

13 分

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 10 ,又 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 36 ,
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 23 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 13 . “4 项相关数列” {an } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1(不唯一)???3 分 参考: (“4 项相关数列”共 6 对:

{an } :8,5,4,6; {bn } :7,3,1,2
或 {an } :7,3,5,8; {bn } :6,1,2,4 或 {an } :3,8,7,5; {bn } :2,6,4,1 或 {an } :2,7,6,8; {bn } :1,5,3,4 或 {an } :2,6,8,7; {bn } :1,4,5,3 或 {an } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1 (Ⅱ)不存在. 理由如下: 假设存在 “15 项相关数列” {an },{bn } , 则 a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2,?, a15 ? b15 ? 15,相加,得

(a1 ? a2 ? ? ? a15 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b15 ) ? 120
又由已知 a1 ? a2 ? ? ? a15 ? b1 ? b2 ? ? ? b15 ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ? 465,由此

2(a1 ? a2 ? ? ? a15 ) ? 585,显然不可能,所以假设不成立。
从而不存在 “15 项相关数列” {an },{bn } ???7 分

(Ⅲ)对于确定的 n ,任取一对 “ n 项相关数列” {an },{bn } , 令 ck ? 2n ? 1 ? bk , d k ? 2n ? 1 ? ak (k ? 1,2,?, n) , 先证 {cn }, {d n } 也必为 “ n 项相关数列” . 因为 ck ? d k ? (2n ? 1 ? bk ) ? (2n ? 1 ? ak ) ? ak ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 又因为 {a1 , a2 ,

, an , b1, b2 ,

, bn } ? {1, 2,3, 4,

, 2n} ,很显然有

{(2n ? 1) ? a1 , (2n ? 1) ? a2 ,?, (2n ? 1) ? an , (2n ? 1) ? b1 , (2n ? 1) ? b2 ,?, (2n ? 1) ? bn }
? {1,2,3,?,2n} ,
所以 {cn }, {d n } 也必为 “ n 项相关数列”. 再证数列 {cn } 与 {an } 是不同的数列.

假设 {cn } 与 {an } 相同,则 {cn } 的第二项 c2 ? 2n ? 1 ? b2 ? a2 ,又 a2 ? b2 ? 2 ,则 2b2 ? 2 n ?1 , 即 b2 ?

2n ? 1 显然矛盾. 2 ,
┅┅┅┅┅┅ 13 分

从而,符合条件的 “ n 项相关数列”有偶数对.

备用:
? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 1.设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D . 在区域 D 内随机取一个点, 则此点到直线 y +2=0 ? y ? ?2 ?

的距离大于 2 的概率是( ) A.

4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

2.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( A. )C D.

1 4

B.

1 5
?

C.

1 6

1 7

3.函数 y=tan(

?x
4

?
2

)(0<x<4)的图像如图所示,A 为图像与 x 轴

的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 C、B 两点, 则 (OB? OC ) ? OA ? ( A.―8 B.―4
? ? ?

)D C .4 D .8

18. (本小题满分 14 分) 某同学在研究性学习中, 收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量 (单 位:万盒)的数据如下表所示: 月份 x 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6

y (万盒)

? ?a ? ? bx ? ,根据表中数据已经正确计算出 (Ⅰ)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
? ? 0.6 ,试求出 a ? 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数; b

(Ⅱ)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒,小红同 学从中随机购买了 3 盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问 题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
1 1 解:(Ⅰ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3, y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 , 5 5 ? ? bx ? a 过点 ( x, y) , 因线性回归方程 y

∴ a ? y ? bx ? 5 ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ,
? ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ? 6.8 ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y

…………….6 分

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3,
P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
3 1 2 C5 C4 C5 40 10 10 5 ? ? , P ( ? ? 1) ? ? ? , 3 3 84 21 C9 84 42 C9

2 1 C4 C5 30 5 C3 4 1 ? ? , P(? ? 3) ? 4 ? ? . 3 3 84 14 84 21 C9 C9

…………………….10 分

其分布列为
?

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

P
? E? ?

5 10 5 1 4 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 42 21 14 21 3

…………………….14 分

已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y 2 2 (I) 由 题 意 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b ? 3 a b ? x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (II)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m 2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m 2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2, 0), k AD ? k BD ? ?1 ,

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0 , 7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ?


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