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2011-2012学年第二学期内蒙古包头市包头一中高三三模数学试题(理)

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2011~ 包头一中 2011~2012 学年校三模考试

高三数学理科试题
一、选择题(下列每小题所给选项只有一项符合题意,每小题 5 分,共 60 分。) 选择题(下列每小题所给选项只有一项符合题意,
1.设 1. 设 P = m ? 1 < m < 0 , Q = m ∈ R mx + 4mx ? 4 < 0对任意实数x恒成立 , 则下列
2

{

}

{

}

关系中成立的是 ( A. P ? Q

) C. P = Q D. P ∩ Q = Q

B. Q ? P

2.设 2.设 z 的共轭复数是 z ,若 z + z = 4, z ? z = 8, 则

z =( z
D. ± i



A. i

B.- i

C. ± 1

3.设 的图象 对称, 的值为( 3.设 f ( x ) = x + 1 + x ? a 的图象关于直线 x = 1 对称,则 a 的值为( A. 3 B. 2 C. 1 D. -1

)

4.已知 cos ? α ? 已知

? ?

π?

4 3 7π ? ? , 则 sin ? α + ? + sin α = ? 的值是 ( 6? 5 6 ? ?
B. .

)

A. ? .

2 3 5

2 3 5
)

C. ? .

4 5
D. 6 .

D. .

4 5

n=10 s=10 WHILE s<40 s=s+n n=n-1 WEND PRINT n END

5.右边程序运行结果为 ( 右边程序运行结果为 A.5 . B.4 .

C.7 .

6.若 的图象与函数 6.若函数 y = f ( x ? 1) 的图象与函数 y = ln ( )
2 x ?1

x + 1 的图象关于直线 y = x 对称,则 f ( x ) = 的图象关于直线 对称,
2 x+2

A. e .

B. e .

2x

C. e .

2 x +1

D. e .

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Http://www.fhedu.cn 7. 1 ? A. -4

(

x

的系数是( ) (1 + x ) 的展开式中 x 的系数是(
6 4



B. -3

C. C. 3

D. 4

8.若直线 8.若直线

x y + = 1 通过点 M ( cos α ,sin α ) ,则( a b
B. a + b ≥ 1
2 2



A. a + b ≤ 1
2 2

C.

1 1 + ≤1 a2 b2

D.

1 1 + ≥1 a2 b2


9.为得到函数 y = cos ? 2 x +

? ?

π?

的图象, 的图象( ? 的图象,只需将函数 y = sin 2 x 的图象( 3?

5π 5π 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 12 12 5π 5π C. 向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6 x +1 处的切线与直线 垂直, 等于( 10. 10.设曲线 y = 在点 ( 3, 2 ) 处的切线与直线 ax + y + 1 = 0 垂直,则 a 等于( x ?1 1 1 A. 2 B. C. ? D. ? 2 2 2
A. 向左平移



的侧棱与底面边长都相等, 11. 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等 , A1 在底面 ABC 内的射影为

?ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( 的中心, 所成角的正弦值等于(
A. .



1 3

B. .

2 3

C. .

3 3

D. .

2 3

[

12.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 的左、右焦点. a2 b2

的距离等于双曲线的实轴长, 在点 P ,满足 PF2 = F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 渐近线方程为 A. 3 x ± 4 y = 0 B. 3 x ± 5 y = 0 C. 4 x ± 3 y = 0 D. 5 x ± 4 y = 0

个小题, 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题(
则 ( 3b ? c ) cos A = a cos C ,则 cos A = r r r r r 14.已知 a = 1, b ? ( a ? b ) = 0, 则 b 的取值范围 14.已知 13.在 ?ABC 中, 在 为 . .

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Http://www.fhedu.cn 15.一个几何体的三视图 如图所示, 15.一个几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 一个几何体的三视图 如图所示 则该几何体的体积为

cm3 .

16.过抛物线 的直线, 16.过抛物线 x = 2 py ( p > 0 ) 的焦点 F 作倾斜角 30 的直线,与抛物线分别交于 A, B 两
2
o

轴左侧) 点(点 A 在 y 轴左侧) ,则

AF FB

=



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 解答题:解答应写出文字说明, 17. (本小题满分 12 分)在数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = 2an + 2 (1)设 bn = )
n

an , 证明 {bn } 是等差数列 2n ?1

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ) 18.( 乙二人进行一次围棋比赛, 18.(本题满分 12 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜 利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果 比赛结束,假设在一局中, , , 相互独立, 局中, 相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; )求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 的分布列及数学期望。 ) 局开始到比赛结束所进行的局数, 的分布列及数学期望。 19.( 如图, 19.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ⊥ AC , D 、 E 分别为 AA1 、

B1C 的中点, DE ⊥ 平面 BCC1 的中点,

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

(1)证明: AB = AC )证明: 所成的角的大小。 (2)设二面角 A ? BD ? C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小。 ) °求

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20.( 20.(本小题满分 12 分)设 f ( x ) = x + 3ax + ( 3 ? 6a ) x + 12a ? 4 ( a ∈ R ) ,若 f ( x ) 在 若
3 2

x = x0 处取得极小值, x0 ∈ (1,3) ,求 a 的取值范围 处取得极小值, 的取值范围.
(本题满分 21. 本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它 ( ( , ) 到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d.当点 P 运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 . 当点 运动时, (1)求点 P 的轨迹 C; ) ; 长度的最大值。 (2)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。 ) , 两点, 四、选考题(本小题满分 10 分)请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做, 选考题( 22、23、 三题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分. 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 把所选题目的题号涂黑. 则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. 22.选修 4—1:平面几何 AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过点 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于 C,若 DA=DC,求证: AB=2BC
D
21 世 纪 教 育网 世 纪 教 育网 世 纪 教 育网 世 纪 教 育网

A O

B

C

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 23.

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?

? x = 3 cos a ? . ? y = sin a ?

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, 24. 24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) =| x ? a | 。

{ x | ?1 ≤ x ≤ 5} ,求实数 a 的值; (1)若不等式 f ( x ) ≤ 3 的解集为
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Http://www.fhedu.cn (2)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) + f ( x + 5) ≥ m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围。

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高三数学理科试题
) 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意, 选择题(每小题5 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意, 1 A 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 9 A 10 D 11 B 12 C

个小题, 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题(
13. .

3 3

14. 14. [ 0,1]

15.18

16.

1 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 解答题:解答应写出文字说明, 17. 解: (Ⅰ) 证明:Q an +1 = 2an + 2 证明:
n

an +1 a = nn 1 + 1 n 2 2? ∴ bn +1 ? bn = 1 ∴
又 b1 = a1 = 1

∴{bn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列
(Ⅱ)由(1)知 an = n ? 2
n ?1

∴ S n = 1 ? 20 + 2 ? 21 + ... + ( n ? 1) ? 2 n ?1 + n ? 2n ?1 ∴ 2Sn = 1 ? 21 + 2 ? 22 + ... + ( n ? 1) ? 2n ?1 + n ? 2 n

所以两式相减得

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? S n = 1 + 2 + ... + 2

n ?1

1 ? 2n ? n?2 = ? n ? 2n 1? 2
n

∴ S n = ( n ? 1) ? 2n + 1
18. 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜, i = 3, 4,5

B j 表示事件:第 j 局甲获胜, i = 3, 4
(Ⅰ)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中,甲,乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中甲先 胜两局,从而

B = A3 A4 + B3 A4 A5 + A3 B4 A5

由于各局比赛结果相互独立,故

P ( B ) = P ( A3 A4 ) + P ( B3 A4 A5 ) + P ( A3 B4 A5 )

= P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) + P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) = 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.6 × 0.6 + 0.6 × 0.4 × 0.6 = 0.648

(Ⅱ) ξ 的可能取值为 2,3 由于各局比赛结果相互独立,所以

P (ξ = 2 ) = P ( A3 A4 + B3 B4 )

= P ( A3 A4 ) + P ( B3 B4 )

= P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B3 ) P ( B4 ) = 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.4 = 0.52

P (ξ = 3) = 1 ? P (ξ = 2 ) = 0.48

ξ 的分布列为 ξ
P 2 0.52 3 0.48

E (ξ ) = 2 × P (ξ = 2 ) + 3 × P (ξ = 3) = 2 × 0.52 + 3 × 0.48 = 2.48

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19 解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF
A1 B1 D A C B E C1

1 B1 B ,从而 EF DA。 2

连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 BCC1 ,故 AF⊥平面 BCC1 , 从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C
0.

的平面角。由题设知,∠AGC=60 .

设 AC=2,则 AG=

2 。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。 3 2 . AD 2 + 22 ,解得 AD= 2 。 3

由 AB ? AD = AG ? BD 得 2AD=

故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=
0
.

1 B1C =2, 2
0

所以∠ECH=30 ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 . 解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的 直角坐标系 A—xyz。 设 B(1,0,0) ,C(0,b,0) ,D(0,0,c) ,则 B1 (1,0,2c),E

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1 b ( , ,c). 2 2


于是 DE =(

→ → → 1 b , ,0) BC =(-1,b,0).由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, DE ? BC =0, , 2 2

求得 b=1,所以

AB=AC。
→ → → → →

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 AN = ( x, y , z ), 则 AN ? BC = 0, AN ? BD = 0.


, 又 BC =(-1,1, 0)
→ ?? x + y = 0 BD =(-1,0,c),故 ? ?? x + cz = 0

令 x=1, 则 y=1, z=

1 → 1 , AN =(1,1, ). c c

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0)

AC 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN , =60°, AN ? AC = AN ? AC ? cos60 °,求得 c =

1 2



于是

AN = 1, 2) , CB1 = (1, 1, 2) ( 1, ?
CB cos AN, 1 = AN ? CB1 AN ? CB1 = 1 , 2

AN, 1 = 60 ° CB
所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°
2 20 由 f ′( x ) = 0 得 x + 2 ax ? 1 ? 2a = 0

(i)当 ? 2 ? 1 ≤ a ≤ (ii)当 a >

2 ? 1 时, f ( x ) 没有极小值;

2 ? 1 或 a < ? 2 ? 1 时,由 f ′( x ) = 0 得

x1 = ? a ? a 2 + 2a ? 1, x2 = ? a + a 2 + 2a ? 1
故 x0 = x2 。由题设知 1 < ?a + a + 2a ? 1 < 3 ,
2

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Http://www.fhedu.cn 当a >

2 ? 1 时,不等式 1 < ?a + a 2 + 2a ? 1 < 3 无解;
2

当 a < ? 2 ? 1 时,解不等式 1 < ?a + a + 2a ? 1 < 3 得 ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 (?

5 < a < ? 2 ?1 2

5 , ? 2 ? 1) 。 2
2 2

21. 由题设

(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d = 4 ( x ? 3) ? y + 3︳x-2︳

当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) + y = 6 ?
2 2

1 x, 2

化简得

x2 y 2 + = 1. 36 27

21 世纪教育 网

当 x ≤ 2 时 由①得 (3 + x ) + y = 3 + x,
2 2

化简得 y 2 = 12 x

x2 y2 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 : + = 1 在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 C2 : y 2 = 12 x 在直 36 27
线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 , C2 的交点都是 A(2, 2 6 ) , B(2, ?2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知

PF = 6 ?

1 x. 2



21 世纪教育网

当点 P 在 C2 上时,由③知

PF = 3 + x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y = k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2 N( x 2 , y 2 )都在 C
1 上,此时由④知

6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y1 ) ,

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1 ∣NF∣= 6 x 2 2 1 1 1 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 x1 )+ (6 x 2 )=12 - ( x1 + x 2 ) 2 2 2

1 ∣MF∣= 6 x1 2

? y = k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 (3 + 4k ) x ? 24k x + 36k ? 108 = 0 则 x1 , y1 是这个方程的两根, =1 ? + ? 36 27

24k 2 1 12k 2 所以 x1 + x 2 = *∣MN∣=12 ( x1 + x 2 )=12 3 + 4k 2 2 3 + 4k 2
因为当 k ≤ 2 6, 或k ≥ 2 6时, k 2 ≥ 24,

MN = 12 ?

12k 2 12 100 = 12 ? = . 2 1 3 + 4k 11 +4 k2

当且仅当 k = ±2 6 时,等号成立。 ( 2 ) 当 k AE < k < k AN , ?2 6 < k < 2 6 时 , 直 线 L 与 轨 迹 C 的 两 个 交 点

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 分别在 C1 , C2 上,不妨设点 M 在 C1 上,点 C2 上,则④⑤知,
1 MF = 6 ? x1 , NF = 3 + x2 2
设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 < x1 , x2 < 2.

1 1 MF = 6 ? x1 < 6 ? x0 = EF , NF = 3 + x2 < 3 + 2 = AF 2 2
所以 MN = MF + NF < EF + AF = AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且

k AE = ?2 6, 有(1)知 AE =

100 100 , 所以 MN < 11 11

若直线 ι 的斜率不存在,则 x1 = x2 =3,此时

1 100 MN = 12 ? ( x1 + x2 ) = 9 < 2 11 100 综上所述,线段 MN 长度的最大值为 11
选考题 22. (本小题满分 22. 本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ( (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC,

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Http://www.fhedu.cn 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠ DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB 。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。故 AB=2BC。
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学|科|网 Z|X|X|K]

23. 解析】 【解析 ( 23. 解析】 Ⅰ)把极坐标系下的点 P ? 4, 【

? ?

π?

因为点 P 的直角坐标 ( 0, 4 ) 满足直线 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上。 (Ⅱ)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 l 的距离为

P ( 0, 4 )

化为直角坐标, ? 化为直角坐标,得 2?

(

3 cos α ,sin α ,

)

d=

3 cos α ? sin α + 4 2 ? ?

π? ? 2 cos ? α + ? + 4 π? 6? ? ? = = 2 cos ? α + ? + 2 2 6? 2 ?

由此得,当 cos ? α +

π?

? = ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 6?

24. 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ) ≤ 3 得 | x ? a |≤ 3 ,解得 a ? 3 ≤ x ≤ a + 3 ,

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

?a ? 3 = ?1 { x | ?1 ≤ x ≤ 5} ,所以 ?a + 3 = 5 ,解得 a = 2 。 ? 又已知不等式 f ( x ) ≤ 3 的解集为
(Ⅱ)当 a = 2 时, f ( x) =| x ? 2 | ,设 g (x )=f ( x) + f ( x + 5) ,于是

??2 x ? 1,x < ? 3 ? ?5, ? 3 ≤ x ≤ 2 ? g (x )=|x-2|+ | x + 3 | = ?2 x + 1,x >2 , 所 以 当 x<-3 时 , g(x)>5 ; 当 -3 ≤ x ≤ 2 时 , g(x)>5 ;当 x>2 时, g(x)>5 。

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